1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. если точка алежит на окружности единичного круга. Если а лежит внутри едииичногокруга, то а' будет вне его, и обратно, причем этим путем мы получаем,очевидно,.JIлексноЙвзаимнооднозначноеплоскости,лежащимисоответствиевнемеждувсемиточкамикомединичного круга, и всеми ТОlJками,JIеЖLJщимiI внутри этогu круга 11 о т Л и '1 Н Ы М и о т н у л я.§ 18]ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХна одной прямой; лишьдостигатьсяИз(11),вэтомСJlучаев121ЧИСЕЛформулах(11)могутравенства.ввидуа-Р=а+(-Р) и(12)(это равенство следует хотя бы из геометрическогочисла - р), вытекают также неравенстватолкования(13)т.е.идлядлямодулямодуляразностиимеютмес готакие же неравенства, какСУММЫ.Неравенства (11) можно было бы получить также следующим путем.Пусть а(С05 <рj 8in <р), ~(С08 <р'i 8in <р') и пусть тригонометрическая форма числа а~ есть а~ = R (С08 'Фi sin 'Ф).
Складывая отдельнодействительные и отдельно мнимые части, получаем:=,+=,'+++,+ " cos <р' =, sin <р + " sin <р' =С08 <р+R cos 'Ф,R sin 'Ф;умножая обе части первого равенства на С05 ф, обе части второго-на siпискладывая,,т.(С05 <р С05 Ф'"получаем:+ siп <р s1П ф) + "(С05 <р' С05 Фе.'С05 (<р-ф)+ sin <р' sin ф) =+,' cos (<р' -ф) =R (С052 Ф + sin 2 ф),R.Отсюда, так как косинус никогда не бывает больше единицы, следует нера+"венетво,~- ~ = (а +~)R,I а 1+1 ~ 1~ I а + ~ 1.т.
е.+ (- ~).С другой стороны, a=(a+~)Отсюда, по доказанному и в силу'а / ~Ia+~ 1+I-~ I =/a+~(12),/ +/ ~ 1,откуда lal-I~/~/а+~I.Следует заметить, что для комплексных чисел понятия «больше)}и«меньше»немогут бы гь разумно определены, так как эти числа,в отличие от действительныхлинии, точкикоторойплоскости. Поэтомум о д у л и)с а м ин и к о г д ачисеJl,естественнымрасполагаются необразомк о м пл е к с н ы ен е л ь з Янапрямойупорядочены,ч и с л аС О е Д и н я т ь(а3 Н а к о ман енаИХн е р ав е н с т в а.Сопряженные числа.
Пусть дано комплексное чисJlо а=аЧИСJlО а-Ы, отличающееся от а лишь знаком при+Ы.мнимой части,называется числом, соnряжен.н.ы,м с а, и обозначается а.Напомним,что при рассмотрении деJlения комплексных чисел мыприбегали к сопряженным числам, хотя и не вводили этого названия.Числом, сопряженным с а, будет, очевидно,а, т. е.можноговорить о паре сопряженных чисел.
ДействитеJlьные числа, и толькоони, сопряжены сами себе.122I{ОМПЛЕКСНЫЕ[гл.ЧИСЛА4Геометрически сопряженные числа являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 7). Отсюда следуютравенства(14)arga=-arga./al=/a/,Суммаипроизведениесопряженныхкомплексныхявляются действительными числа.Аtи.
В самом деле,а+а=2а,аа=а 2 + Ь 2 =/ а 12.Последнее равенство показывает,тельно при а=1= О.в}(15)что число аадажеположибудет получена теорема, показывающая,§ 24что доказанноеичиселчиселявляетсясеЙ'lас свойство сопряженныхдляниххарактерным.Равенство(a-bl)+ (с -di)=(a +c)-(b-fd) iпоказывает, что число, СОnРЯ.женное с СУМ.АlОЙ'=i~;ГL-=---I---D двух чисел,Оравносумменых со слагаемыми:чисел,сопряжен·(16)ёtРис.Аналогично, из равенства7.(авытекает, чточисло,bl)(с -сопряженноеdi) =с(ас- bd) - (ad + Ьс) iпроизведением,равнопро·изведению чисел, сопряженных с сомножителя.ми:(17)Непосредственная проверка показывает также справедливостьформул(18)( 19)Докажем следующееобразом выражено черезутверждение:комплексныеесличислочислаа~1' ~2'некоторым••• ,~n припомощи сложен,ия, умн,ожения, вычитания и делен,ия, то, заменяяв атом выражении все числа ~k их соnряженн,ыми,число,сопряженноемыnолучи.ttс а; в частности, если число а действительное,то оно не меняется при замене всех комплексных чисел ~k их сопряженными.Будем доказывать это утверждение индукцией поприn=2оно вытекает из формулn,таккак(16)-(19).Пусть число а выражено через числа ~1' ~2' ••• , ~n' не обязательно различные.
В этом выражении указан определенный порядок,§ 19]вИЗВЛЕЧЕНИЕкоторомприменяютсяКОРНЯИЗКОМПЛЕКСНЫХоперациии деления. Последним шагом123ЧИСЕЛсложения, умножения, вычитаниябудетприменениеоднойизэтихопераций к числу '\'1, выраженному через числа ~11 ~2' ••• , ~k' где1 ~k~n-l, и к числу '\'2' выраженному через числа ~k+1' ••• , ~n.По индуктивному предположению замена чисел ~1' }2' ... , ~kна сопряженные влечет за собой замену числа'\'1 на '\'1' а замена чисел ~k+l' ~k+2' ••• , ~n на сопряженные заменяет '\'2 на "У2'Oд~aKO по одной из формул (16)-(19) переход от '\'1 и '\'2 К у;:Н'\'2 превращает число а в а.Извлечение корня И3 комплексных чисел§ 19.ивПереходим к вопросу о возведении комплексных чисел в степеньИЗ них корня. Для возведения числа а= аЫцелуюнию (аи+извлечениидляположительную+ Ы)nстепеньnдостаточно применить к выражеформулу бинома Ньютона (эта формулакомплексныхсправедливачисел, так как ее доказательство основано лишьна законе дистрибутивности), а затем воспользоваться равенствамиi2 = - I , i3 =-i,i4k =l,i 4 =1, откуда вообщеi 4k + 1 =i,i 4k + 2 =_I,i 4k + З =_i.Если число а задано в тригонометрической форме, то при целомположительномnизформулывытекает следующая формула,[г (СО5 ер(4)предшествующегопараграфаназываемая формулой Муавра:+ i sil1 ер)Г =гn(С05 пер+ i sin пер),(1)т.
е. при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в атустепень,степени. Формулаааргу.лlентумножаетсянаnоказатель(1) верна и для целых отрицательных поi<азателеЙ.Действительно, ввиду а- n =(а- 1 )n, достаточно ПР!1менить формулуМуавра к числу a- 1 , тригонометрическую форму которого даетформула(1 О)предшествующегопараграфа.Примеры1)137 =1,/122=_1;2) (2 +5i)3 =23 +3·22 ·5; +3 ·2.5Ч 2 + 53i 3,==8+60i-150-125i=-142-65i;3)[У2 ( cos ~ + i sin ~4)[з(cos ~ + i sin ~ ) ]=з -3 [cos ( -)]4-3=fл)= ( У2")4 (cos Л + i sin л) =+i sin ( - ~ л )] = ь-(icos4;iл + 1 sin л) .124КОМПЛЕКСНЫЕ[гл.ЧИСЛА4Частный случай фОРМУJlЫ Муавра, а именно равенство(С05 <р+ i sin <р)n= cos n<р +i sin n<р,позволяет легко получить формулы для синуса и косинуса кратногоУГJlа.
Действительно,формуле биномаираскрывая левуючастьэтогоравенствапоприравнивая отдельно действительные и мнимыечасти обеих частей равенства,мы ПОЛУЧИМ:cosn<p=cosn<p-(~) cosn-2<р.Siп2<р+(~) cosn- 4 <р,SiI1 4 qэ- ... ,Sillпер =(7 ) cosn-1 <р' sin<р - (~ )COS n -3<р' sin 3 <р ++ (~) соsn-i>.s:п 5 <р_ ••• ;здесь (~) есть обычное обозначение биномиального коэффициента:( п)= n (n-I) (п-2) ... (п-k+I).kПриn=21·2·3 ... kмы ПРИХОДИМ к известным формула'МСО5 2<р = COs 2 <р -sil1 2<р =siп 2 <р,2 cos <р si/l <р,а при n=З-к формуламcos 3<р = COS3 rp - 3 cos rp sin 2 <р,sin 3<р= 3 С052 <р sil1 <р -si/l З <р.Извлечение корня из комплексных чисел представляет уже многобольшетрудностей.числа а= а+ т.НачнемМы несзнаемизвлеченияпока,квадратного корня изсуществуетлитакоеком·плексное число, квадрат которого равен а.
Предположим, что такоечисло иможно+ viсуществует, т. е.,употреб.1ЯЯобычнуюсимволику,написатьVa+bi=u+vi.Из равенстваследует(2)Возводя в кв.адрат обе части каждого из равенствдываяих,(U 2 _V 2)2+откуда(2),получаем:4u2v 2 =(u 2 + v 2 )2=a2 + Ь2 ,а затем скла§ 19}ИЗВЛЕЧЕНИЕКОРНЯИЗКОМПЛЕКСНЫХ125ЧИСЕЛvположительный знак взят потому, что числа и идействительные,и поэтому левая часть равенства положительная. Из этого равенстваи ~з первого из равенствUZ(2)получаем:={- (а+ Уа2 +Ь2),v2 = ~ (-а+ Уа 2 +Ь2 ).Мы приходим, извлекая квадратные корни, к двум значениям для и,отличающимсядляv.друготдругазнаком,атакжекдвумзначениямВсе эти зна'lения будут действительными, так как квадратные корни будут извлекаться при любых а и Ь из положительных'1исел.
Полученные зна'lения для и и v нельзя комбинировать междусобой произвольным образом, так как, ввиду второго из равенств (2),знак произведенияuvдолжен совпадать со знаком Ь. Это дает двевозможные комбинации зна'lений и и V, т. е. два '1исла вида uкоторыемогутслужитьзна'lениямиквадратногокорняиз+ vi,'1исла се;эти числа ОТЛИ'lаются друг от друга знаком.
Элементарная, хотя игромоздкая, проверка (возведениемотдельно для случая Ь> О иполученных .чисел в квадрат,СЛУ'lая ЬО) показывает, что<длянайденные нами числа действительно являются значениями квадратного корня из числа се. Такимобразом,извлечениеквасратногокорня из комплексного числа всегда возможно и дает два значе·ния, отлuчаlOщиеся друг от друга знаком.В '1астности, теперь делается возможным извле'lение квадратногокорня и из отрицательного действительного числа, причем зва'lенияэтого корня будут чисто мнимыми.В самомделе,еслиа<ОиЬ=О, то Уа2 + Ь2 =- а, так как этот корень должен быть положительным,атогда1u 2 =2(a-а)=0,т.е.и=О,откудаVa=±vi.Пример.ПоэтомуV=± 2.U2Пусть a=21-20i.ТогдаJ!a 2 +b 2 =Y441+400=29.11=2(21+29)=25, v2 ="2(-21+29)=4, откуда u=±5,Знаки и и V должны быть различнымиввидуотрицательностиЬ,поэтомуу 21-20i =Попытки извле'lения иза+ Ы,корнейболее±(5-2п.комплексныхвысокойстепени,'1исел,заданныхввидечем вторая, встре'lаютсяс непреодолимыми затруднениями.
Так, если бы мы здхотели таким жеметодом, как выше, извле'lЬ из числа аЫ кубичныйкорень,то должны были бы решить некоторое вспомогательное кубичное+уравнение, чего мы покане умеем и '1ТО в свою очередь требует,как мы узнаем в § 38, извлечения кубичного корня из комплексногочисла. С другой стороны, тригонометрическая форма весьма хорошо126КОМПЛЕКСНЫЕприспособлена для извлечения корней любой степениею,мы сейчас полностью исчерпаем4[гл.ЧИСЛАи, пользуsкьэтот вопрос.Пусть нужно извлечь корень n-й степени из числа а=г( cos<p+isin<p).Ilредположим, что это сделать можно и что в результате получаетсячисло р (cosО), т. е.0+ i sin[р (cos0+ i sinО)]n=Г (С05 <р+ i sin <р).vТогда, по формуле Муавра, рn = Г, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
