1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

е. у.м11.0же11.uече~l,3 -1\5-24следовало ожидать,матриц зависит от порядка мно­.AtampUI'уже1~) .хотяnеко.ммутати811.а_ Этого, впро­быпотому,чт(, В определениемзтрицы С, данное выше при помощи формулы (3), матрицы А и Ввходятнеравноправным образом: в А берутся строки, в В­столбцы.Примеры неперестановочных матриц ll-fО порядка, т. е. матриц,произведениекоторыхменяетсяn,приперестановкесомножителей,всехрядка в примеренеперестановочны).

С другой стороны, две дан­1)начиная сn= 2можно указать дляные матрицы случайно могут оказатьсяказывает следующий(матрицы второго по­перестановочными,как по­пример:( 7 -12) (26 45) _ (26 45) (7 -12) _ (2 3)\ -47 ' 15 26 - 15 26 . -47 - 1 2 .у.Аt11.0же11.uетельно,об.матрицассоциатиВ11.0;можно говорить, следова­однозначно определенном произведении любого конеч­ного числа матриц n-го порядка,умножения) в определенномвзятых (ввиду некоммутативностипорядке.§ 13]МАТРИЦ93даны трипроизвольные матрицыУМНОЖЕНИЕд о к а з а т е л ь с Т В о.Пустьл-го порядка А, В и С. Запишем их следующим сокращенным спо­собом, указывающим общий вид их элементов: А = (a jj ), В= (bi})'С= (Си)' Введем, далее, следующие обозначения:Ав=и=(ии),BC=V=(vij),= Т= (tij)'(АВ) с= S= (sij),А (ВС)Нам нужно доказать справедливость равенства (АВ) С= А (ВС),т.

е. S= Т. Однакоnn"Н = ~k==1и поэтому, ввиду равенств~V kj =aikbkl ,S= ис,1 ==1bkICl/'Т= А V,ПППSij=~~ ~"i/Clj=1==1aikbklClj,1=1 k==1пппtij=~ajkVkj=k=1~ ~ajkbk1c lj'k==11==1т. е.Sij= tij при i, j= 1, 2, ... , n.Дальнейшее изучение свойств умножения матриц требует привле­чения их определителей,причем мы условимся для краткости обо­значать определитель матрицы А через 1Аизрассмотренныхмножаемыхсвышематрицопределителемипримеровсравнитпроизведения1.Если читатель в каждомподсчитаетпроизведениезаданныхопределителиэтихматриц,пере­определителейтообнаружитвесьма любопытную закономерность, выражаемую следующей оченьважной т е о р е м о й о б У м н о ж е н и и оп р е д е л и т е л е й:Определитель произведения нескольких.матрщ,n-го порядкаравен произведению определителей этих .матриц.Достаточно доказать эту теорему для случая двух матриц.

Пустьданы матрицы л-го порядка А = (a ij ) и В= (Ьи) и пусть АВ== С= (Cil)' Построим следующий вспомогательный определитель /j.2n: в его левом верхнем углу поставим матрицу А, в пра­порядкавом нижнем-матрицу В, весь правый верхний угол займем нулямии,наконец, по главнойчисло- 1, занявдиагоналилевого нижнего угла поставимвсе остальные места также нулями. Определите.'lЬ /j.имеет, следовательно,такой вид:а а а 12 ••• аln Оа21 а22 ... а2n О/j.=а n l а n2 ••• а nn Оо ыlо Ь21- 1 О •"О -1 ...О. •• оО...

оО••• оb1nЬ 12 •••Ь 22 ••• Ь 2n•[ГЛ.АЛГЕБРА МАТРИЦПрименениепопервымnкопределителюсрокам-ДприводитКтеоремыследующемуЛапласа3разложение-равенству:Д=\А\.\В\.(4)Попытаемся, с другой стороны, так преобразовать определитель д,не меняя его значения, чтобы все элементы bij , i, j = 1, 2, .... , n,оказались замененными нулями. для этой цели к (n+ 1)-му столбцуопределителя Д прибавим его первый столбец, умноженный на ы l 'второй, умноженный на Ь 21 , и Т. дО, наконец n-й столбец, умножен­ный на bn10 Затем к (n+ 2)-му столбцу определителя Д прибавимпервый столбец,умноженныйна Ь 12 , второй,умноженный на Ь 22 ,и т.

д. Вообще, к (n+ Л-му столбцу определителя д, где j== 1, 2, ... , n, мы прибавим сумму первых n столбцов, взятых, со­ответственно, с коэффициентами b 1j , b 2j , ••• , b nj .Легко видеть, что эти преобразования, не меняющие определи­теля, на самом деле приводят к ~aMeHe всех элементов Ьи нулями.Одновременно вместо нулей, стоявших в правом верхнем уrлу опре­делителя,и(n+ Л-гопоявятсяследующие числа:столбца определителя,теперь число ailblj+ai2b2j+'"менту Си матрицы с= АВо+a;nbnj' равное,д=ана 21а 22а n1а n2-1ОО-1ООi-й строкибудет стоятьввиду (3), эле­Правый верхний угол определителя за­нимает теперь, следовательно,анна пересеченииi, j= 1,2, ... , n,......матрица С:СНа 2nС21а nnС n1ООО..,ОООО·О'-1ОО·........'"С 12·..а 1nС22·..С 1nC~nС n 2 ••• С nnо.оПрименим еще раз теорему Лапласа, разлагая определитель поn столбцам о дополнительный минор для минора I С I равен(_1)n, а так как минор 'СI расположен в строках с номерамипоследним1, 2, ••.

, n и в столбцах с номерами n+ 1, n+2, ... , 2n, причем1+ 2 + ... + n + (n + 1) + (n + 2) + ... + 2ft = 2n + n,2тоили, ввиду четности числа2 (n Z+ n),Д=IС/.(5)§ 14]'ИзОБРАТНАЯ(4)ивытекает,(5)95МАТРИЦАнаконец, доказываемое равенствоICI=IAI·!BI·Теорема об умножении определителей могла бы быть доказанаи без использования теоремы Лапласа. Одно из таких доказательств§ 16.читатель найдет в конце§ 14.Обратная. матрицаКвадратная матрица называетсявырожденной (или особенной),если ее определитель равен нулю, и .невырожденноЙ (или неособен­ной) - в противоположном случае.

Соответственно линейное преоб­разование неизвестныхназывается вырожденным или невырожден,­ным в зависимости от того, будет ли равен нулю или отличен отнуляопределительизкоэффициентовэтогопреобразования. И3теоремы, доказанной в конце предшествующегокают следующие утверждения:rпараграфа,выте-Произведение ""tатриц. хотя бы одн,а из которых вырожденн,ая.будет вырожден,н,ой матриt{еЙ.Произведен,ие любыхн,евырожден,н,ых.Аттрur, само будет н,е-.вырожденн,ой матрицей.Отсюда следует, ввиду связи, существующей между умножениемматриц и последовательным выполнением линейных преобразований,такое утверждение: результат последовательного выполн,ен,ия н,е­СКОЛbf(их лин,ейн,ых nреобразован,ий тогда и тОЛbf(О тогда будетн,евырожден,н,ымnреобразованием, есливсезаданные nреобразо­вания н,евырожденные.Роль единицы вумноженииматриц играет единичная мат­put{aЕ=1 О ...

О)( О 1 ... О•••••ООt... 1причем она перестановочна с любой матрицей А данного порядка,АЕ=ЕА=А.Доказываютсяправилаэтиумноженияравенстваматриц,(1)или непосредственным применениемилиженаоснованиизамечания,чтоединичная матрица соответствует тождественному линейному пре­образованию неизвестных96АЛГЕБРА(гл.МАТРИЦ3выполнение которого до или после любого другого линейного пре­образования, очевидно,не меняет этого последнего.Заметим, что .матрица Е является единственной .матрицей.удовлетворяющей условию (1) ПРи любой .матрице А. Действи­тельно, если бы существовала еще матрица Е' с этим же свойством,то мы имели быЕ'Е=Е',Е'Е=Е,откуда Е' = Е.Вопрос о существовании для данной матрицы А обратной .ма­оказывается более сложным.

Ввиду некоммутативности умно­жения матриц мы будем говорить сейчас о правой обратной ма­трице, т. е. о такой матрице А -1, что произведение матрицы АmPUZ'blсправанаэтуматрицудаетединичнуюматрицу,АА-1 =Е.(2)Если матрица А вырожденная, то, если бы матрица А -1 существо­BaJla, произведение,какмы знаем,стоящее в левой части равенствавырожденнойматрицей,втовремя(2),какбыло бы,насамомделе матрица Е, стоящая в правой части этого равенства, являетсяневырожденной, так как ее определитель равен единице. Таким об­разом,вырожденная матрицане может иметь правой обратной ма­трицы. Такие же соображения показывают, что она не имеет и левойобратной и поэтому для вырожденной .матрицы обратная .матрицавообще не существует.Переходя кслучаюневырожденнойматрицы,введем сначалас.1едующее вспомогательное I10нятие. IIусть дана матрица n-го по­рядкаМатрицасоставленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А,причем алгебраическое дополнение к э.1ементу аи стоит на пересе­чении j-й строкииi-roстолбца,называется nрисоедuненной (иливзаи.мноЙ) матрицей к матрице А.Найдем произведения АА* и А* А.

Используя известную из§ 6форму лу разложения определителя по строке или столбцу, а такжетеоремуиз§ 7осуммепроизведенийэлементовлюбой СТРОКИ§ 14]ОБРАТНАЯ97МАТРИЦА(столбца) определителя на алгебраические дополнения к соответствен­ным элементам другой строки (столбца), и обозначая через d опре­делитель матрицы А,d=/A/,мыполучимследующиеравенства:AA*=A.A=(~. ~ :::~)оо...dОтсюда вытекает, что если ,матрица А /1,евырожде/1,/1,ая, то ееnрисоедин.е/1,н.ая ,матрица А* также будет /1,евырожден./1,ОЙ, nричеяопределитель,матрицы А* равен. (n - 1)-й стеnе/1,и определи.d*теЛ/fd,матрицы А.В самом деле, переходя от равенствделителями, мыполучимоткуда ввиду*dТеперь легковсякойсначала,доказатьсуществованиеодно и то же числонаэтоматрицы Амы рассмотрими все элементы одного изразделятсяк равенству между опре­Он е в ы р о ж Д е н fI о Йчто если'(3)d,тообратнойматрицы длянайти ее вид.

Заметимпроизведениемножителей,всеидвухнапримерВ,матриц АВразделимэлементы произведенияже число: для доказательстванаАВ такженужно лишьвспо­мнить определение умножения матриц. Таким образом, еслиd=/ А/*О,то из равенств(3)вытекает, что обратн.оЙ ,матрицей для А будетслужить ,матрица, fLOЛУ'1ающаяся из nрисоедин.ен.н.оЙ ,матрицы А*деле/1,ие,м всех ее эле,ме/1,тов /1,ачислоd:[) Можно было бы доказать, что если матрица А выражденная, то и ееприсоединенная матрица А* также вырождеНllая, причем имеет ранг, непревосходящий числа1.98АЛГЕБРА[гл.МАТРИЦ3действительно, И3 (3) вытекают pabel-lСтва(4)Ещеразподчеркнем,чтовi-й с т р о к еалгебраические дополне-ния к элементам= \А \.теля I А 1, деленные на dЛегкоДоказать,чтоматрицаi-roA-lматрицыс тол бц аявляетсяA-lстоятопредели­единственнойматрицей, удовлетворяющей условию (4) для данной невырождеltнойматрицы А.

Действительно, если матрица С такова, чтоАС=СА=Е,тоCAA-l =C(AA-l) = СЕ= С,CAA-l = (СА) A-l =EA-l =А-!,откудаИ3C=A-l.(4;) И теоремыобумноженииопределителей вытекает,чтоопределитель матрицы A-l равен ~, та" что эта матрица .такжебудетневырожденной;обратнойдлянееслужит матрица А.Если теперь даны квадратные матрицы n-го порядка А и В, И3которых А-невырожденная,аВ-произвольная, то мы можемвыполнить nравое и левое деления В на А, т. е.

решить матрич­ныеуравненияАХ=В,УА=В.(5)для этого, ввиду ассоциативности умножения матриц, достаточноположитьпричем эти решения уравненийумножения матриц,При 111 еры.1)(5)будут,Дана матрицаА=( -~ =~Ееопределительввиду некоммутативностив общем случае различными.IА 1=5,поэтому1}обратнаяматрицапричемА-l=2I:-~ .1(04~..!..)11'55"А -1существует,§ 14]2)ОБРАТНАЯ99МАТРИЦАДаны матрицы;),А=(:Матрица А невырожденная. причемпоэтомурещениямиУмножениеопределеноматрицвуравненийАХпрямоугольных= В.матриц,предшествующемодинаковогопорядка,УА=ВХотяпараграфеноегобудут СЛУЖИIЬ матрицыумножениелишьможноматрицдля квадратныхраспространитьинаслучай прямоугольных матриц А и В, если только можно применитьформулу(3) предшествующего параграфа, т. е.

если всякая строкаматрицы А содержит столько же элементов, сколько их во всякомстолбце матрицы В. Иными словами, .мОЖНО говорить О произве­дении пря.моугОЛb/iЫХ .матрщ, А и В в то.м случае, если числостолбцов .матрицы А равно числу CmpOIC .матрицы В. приче.мчисло CmpOIC .матрицы АВ равно числу CmpOIC .матрицы А, числоже столбцов .матрицы АВ равно числу столбцов .ttaтрицы В.При м еры.1) (52-11).

Характеристики

Список файлов книги