1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так как во всякойвекторы сх 1 ,CX z,•.• ,линейнойзависимости,связывающейсх" ~, коэффициент при ~ должен быть отличным от н)'ля - иначе система (6) была бы линейно зависимой, - товектор ~ линейно выражается через векторы (6). Поэтому системавекторов(6)тогда и только тогда будет максимальной линейно не-3aJ~ИСИМОЙ системой, если векторы (6) линейно независимы, а любойn-мерный вектор ~ является их линейной комбинацией.Из результатов, полученных выше, вытекает, что в n-мерном пространстве всякая линейно независимаясистема, состояща.я извекторов, будет макси.Jtальной, а также что любая маftсимальная линейно независимая система векторов этого пространствасостоит не более чем из n векторов.nВсякаялинейносодержится хотя бынезависимаявn-мерныхвектороводной максимальной линейносистеманезависu-§ 9}ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ67.мой систе.ме.
В самом деле, если заданная система векторов немаксимальна, то к ней можно добавить один вектор так, что полученная система останется линейно независимоЙ. Если эта новая система все еще не максимальна,. то к ней можно добавить ещеодин вектор, и т. д. Этот процесс не может, однако, продолжаться бесконечно, так как уже любая система n-мерных векторов,состоящая из n1 вектора, будет линейно зависимой.Так как всякая система, состоящая из одного ненулевого век+тора, линейно независима, то мы получаем, что всякий ненулевойвектор,виси.моЙствесодержитсясисте.ме,существуетавнекоторойпоэтомубесконечноcucme.Atлинейно независи.мыхв.макси.мальн.оЙn-.мерно.м.много различныхВозникает вопрос, существуют ли в этомменно равноn?неза.маКСIJ.мальн.ыJCвекторов.пространстве максимальные линейно независимые системы с меньшим,векторов или же числолинейновекторно.м пространвектороввлюбойтакойчемn,числомсистеме непреОтвет на этот важный вопрос будет дан ниже, посленекоторых предварительных рассмотрений.Если вектор ~ являетсй линейной комбинацией векторов(7)то часто говорят, что ~ линейно выражается через систе.му (7).Понятно, что если 'вектор ~ линейно выражается через некоторуюподсистему этой системы, то он будет линейно выражаться и черезсистему(7) -достаточно остальные векторы системы взять с коэффициентами, равными нулю.
Обобщая эту терминологию, говорят,чтосисте.мавекторов~1" ~2' ••• , ~a(8)линейновыражается через систе.му (7), если всякий вектор ~i'является линейной комбинацией векторов системы (7).Докажем транзитивность этого понятия: если систе.ма (8) лиi = 1, 2, ••• , s,нейно выражается через систе.му(7),"1' "2' •..
,линейно выражается через систе.мужаться и через (7).а систе.ма векторов"t(9)(8), то (9) БJдет линейно выраВ самом деле,s"j= ~ljiPI'{=1но ~lr=~m=1получаем:kim(X,m,j=1, 2, ••• ,t,i = 1,2, ••• , s. Подставляя эти выражения(10)D(10),68СИСТЕмы ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)т. е. всякий вектор 'Yj' j=1,цией векторов системы2, о•• ,будетt,[гл.2линейной комбина(7).Две системы векторов называются эквивалентными, если каждая из них линейно выражается через другую. Из доказанной сейчастранзитивности свойства систем векторов линеЙн.о выражаться другчерез друга вытекает транзитивность понятия эквивалентности системвекторов, а также следующее утверждение: если две системы векторов эквивалентны и если некоторый вектор линейно выражается через одну из этих систем, то он будет линейно выражаться и через другую.Нельзя утверждать, что если одна из двух эквивалентных междусобой систем векторов линейно независима, то этим же свойствомобладает и другая система.
Если же обе эти систе~ы линейно независимы,тоочислевекторов,входящихвних,можносделатьодно важное высказывание. Докажем сначала следующую теорему,которую ввиду ее роли в дальнейшем и для удобствазовем о с н о в н о йссылок нат е о р е м о й.Если в n-мерном векторноМпроСтранстве даны две системывекторов:(1)~l' ~2'(11)из которых перваячерез вторую,толин,ейночислочем во второй, т.
е. г,;;;;;(1)••• ,~s,независимавектороввипервойлинейн,овыражаетсясистеме н,е больше,s.Пусть, в самом деле, г> s. По условию, каждый вектор системылинейно выражается через систему (Il):0:1=аllРl + a12~2 + ...+ alS~S' }~2. ~2~~~ ~ a~2~2 : - : • : ~ ~2S~S'О:Г= a r1 Pl + aГ2~2 + ... + ars~s'(11 )Коэффициенты этих линейных выражений составляют систему изs-мерНblХвекторов:'Уl'У2Так как г>s,==(ан, а 12 ,о(а 21 , а 22 ,••• , a 2S )'•• ,а ц ),то эти векторы линейно зависимы, т. е.r§ 9]69ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВгде не все коэффициентыприходимкследующимk1, k2••• ,равенствамk r равны НУЛЮ.
Отсюда мымеждукомпонентами:r~kjaij=O,j=1,2, ''''(12)S.{=1Рассмотримсистемытеперьследующуюлинейнуюкомбинациювекторов(1):rили, короче, ~ k/Y.,j. Используя (11) и (12), получаем:{=1это противоречит,однако, линейной независимости системыИЗ доказанной сейчас основнойтеоремывытекает(Q.следующийрезультат:Всякие двеэквивалентнЫе линейно независиМыевекторов содержат равное число векторов.Любые две максимальныелинейносистемынезависимые системы n-мерных векторов будут, очевидно, эквивалентными.
Они состоят, следовательно, из одного и того же числа векторов, а так как существуют,какнамизвестно,то мы получаем,всякаясистемынаконец,максимальнаяn-мерноговекторноготакогоответлинейнорода,насостоящие изпоставленныйнезависимаяпространствасостоитnсистемаизnвекторов,ранеевопрос:вектороевекторов.Из полученных результатов можно вывести и другие следствия_Если в данной линейно зависимой системе векторов взятыдве в ней максимальные линейно независимые подсистемы, т. е.такие подсистемы, к которым нельзя nриёоединить ни одноговекторанашейсистемы,ненарушаялинейной независимости,то эти под системы содержат равное число векторов.В самом деле, если в системе векторов(-13)подсистема(14 )будет максимальной линейно независимой подсистемой, то всякийиз векторов a S +1' ••• , аг будет линейно выражаться через систему (14).С другой стороны, всякий вектор a j из системы (13) линейно выражаетсячерезэтусистему:достаточновзятьприсамомвекторе aj коэффициент 1, а при всех остальных векторах системыкоэффициент О.
Теперь легко видеть, что системы (13) и (14) эквивалентны. Отсюда следует, что система (13) эквивалентна всякой изсвоих максима,'1ЬНЫХ линейно независимых подсистем,а поэтому все70[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)9ТИ подсистемы эквивалентны между собой,независимыми,содержатпоодномуитомут. е., будучижечислу2линейновекторов.Число векторов, ВХОДЯЩИХ в любую максимальную линейно не·зависимую подсистему данной системы векторов, называется рангоя9ТОЙ системы. Используя это понятие, выведем еще одно следствиеиз основной теоремы.Пусть даны две системы n-мерных векторов:(15)и...
,не обязательно линейно независимые,равен числу(16)nричея рангранг системы (16)-числуk,лин.еЙно выражается через вторую,стемы эквивалентн.ы, то k=l.В самом деле, пустьто1.системы(15)Если первая системаk.::; 1.Еслиже эти си(17)я( 18)будут, соответственно,любые максимальные линейно независимыеподсистемы систем (15) и (16). Тогда системы \ 15) и (17) эквивалентны между собой, и это же верноДЛЯсистем(16)и(18).Изтого, что система (15) линейно выражается через систему (16), вытекает теперь, что системасистему(16),а поэтомутакже(17)ичерезлинейновыражается черезэквивалентнуюейсисте:llУпосле чего остается, используя линейную независимость системыприменить основную теорему.
Второеследствиянепосредственновытекает§ 10.утверждение(18),(17),доказываемогоиз· первого.Ранг матрицыЕсли дана некоторая система n-мерных векторов, то возникаетестественный вопрос,являетсялиэтасистемавекторовлинейнозависимой или нет. Нельзя рассчитывать на то, что в каждом конкретном случае решение этого ВОПРQса будет получено без затруднений:приповерхностнома=(2,-5,рассмотрении~=(1,1, -1),системы3, 6, 5),векторову=(-l,4,1,2)трудно заметить в ней какие-либо линейные зависимости, хотя в дейСТВИlельностиэтивекторысвязанысоотношением7a-3~+11y=OОдин метод для решения этого вопроса даетпонентызаданныхвекторовнамизвестны,§ 1;то, считаятак KaI( комнеизвестными§ 10]РАНГ71МАТРИЦЫкоэффициенты ИСКОМОЙ линейной зависимости, мы получаем системулинейных однородных уравнений, которую и решаем методом Гаусса.В настоящем параграфе будет указан другой подход к рассматриваемому вопросу; одновременно мы значительно приблизимся к нашей основной цели-решению произвольных систем линейных уравнений.Пусть дана матрица( :~~.
. :~:. .А=aS1 aS2содержащая 8 строк иn.,•••столбцов,причемчислаsnиникак несвязаны между собой. Столбцы этой матрицы, рассматриваемые какs-мерНbIе векгоры, могут, вообще говоря, быть линейно зависимыми.Ранг систем,,) столбцов, т. е. максимальное число линейно независимыхстолбцовматрицыА(точнее,в любую максимальную линейночислостолбцов,входящихнезависимую подсистему системыстолбцов), называется рангом этой матрицы.Понятно, что подобным же образом строки матрицы А можнорассматривать как n-мерные векторы.
Оказывается, что ранг системыстрок матрицы равен рангу системы ее столбцов, т. е. равен рангуэтого весьма неожиданного утверэтой матрицы. доказательствождения будет получено после того, как мы укажем еще одну формуопределения ранга матрицы, дающую заодно способ его практическоговычисления.Обобщим сначала на случай прямоугольных матриц понятие минора. Выбираем в матрице А произвольныеkстрок иkстолбцов,Элементы, стоящие на пере сечении этих строк и столбцов, составляют квадратную матрицу k-ro порядка, определительk,,;;:;; min (8, n).которойназываетсяминоромk-гоnоряд/СаматрицыА.дальшенас будут интересовать порядки тех миноров матрицы А, которыеотличны от нуля,к о в.а именно н а и в ы с ш и йс р е д и э т и х пор я дПри его разыскании полезно учитывать следующее замечание:если всеминоры k-го nоряд/Са матрицы А равны нулю, торавнынулю и все миноры более высо/Сих nоряд/Сов. В самом деле, разлагая всякий минор порядка k+j, k<k+j";;:;;min(s, n), на основании теоремы Лапласа, по любым k строкам, мы представим этотминор в виде суммы миноров порядка k, умноженных на некоторыеминоры порядкаj,и этим докажем, что он равен нулю.докажем теперь следующую т е о р е м уНаивьu;ший nорядо/Сотличныхотонуляр а нrем а т р и Ц ы!миноров матрицы Аравен рангу этоii матрицы.Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
