1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если все элементыстроки определителяn-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых:i-uaij=bJ + с],j= 1, •.. , n,то определитель равен сумме двух определителей, у которых всестроки, кроме i-U.-mакuе же, как и в задан,н,О.А1а i-ястрока в одномизслагае.Аtыхсостоитопределителе,из эле.ментов Ь/.в другом-из элементов CI'Действительно, всякий член заданного определителя можно представитьввидеа 1а , а 2й •••• аiЩ'.. а nа " = a1U ,а 2ао ••• (Ьа •= а 1й , а 2а, ••• Ьаl'••+ Са;) • •• а nа " =а nа "+a1U,а 2й •••• Caj • • • а nа ".Собирая вместе первые слагаемые этих сумм (с теми же знаками, какиеимели соответствующие члены в заданном определителе), мы получим, очевидно, определитель n-го порядка, отличающийся от заданного определителя лишь тем, что в i-й строке вместо элементов аистоятэлементыbj •Соответственновторыеслагаемые составляют42[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИопределитель,в i-й строкекоторого1стоят элементы Cj • Такимобразом,ана1nа12Ь 1 +С1Ь 2 +С2 '''Ьn+С nа n2а n!-..... . ...... . .... + . . ..... .анa1 2аlnан а12Ь1Ь2ЬnС1а n l а n2а nn...а nnа1nС2СПа n 1 а n 2 '"а nnСвойство 7 без труда распространяется на случай, когда всякийэлемент i-й строки есть сумма не двух, а т слагаемых, т;;;;' 2.Будем говорить, что i-я строка определителя есть лин.еЙн.ая /СОМ·бин.azщя его остальных строк, если для всякой строки с номером j,j= 1, .•.
, 1-1, i 1, ••. , n, можно указать такое число k j' что,умножая j-ю строку на k j , а затем складывая все строки, кроме i-й+(причемсложение строкследует понимать так, что складываютсяэлементы всех этих строк в каждом столбце отдельно), мы получимi-ю строку.Некоторые из коэффициентов k j могут быть равныминулю, т. е. i-я строка будет на самом деле линейной комбинациейне всех, а лишь некоторых из оставшихся строк. В частности, еслилишьодинизкоэффициентовkjотличен от нуля,мы получаемслучай пропорциональности двух строк. Наконец, если строка состоитцеликом из нулей, то она всегда будет линейной комбинацией остальных СТРОК,-случай, когда всеkjравны нулю.С в о й с т в о 8. Если одна из стро/С определителя есть линей·'ндя комбинация его других стро/С, то определитель равен.
'Нулю.Пусть, например, i-я строка будет линейной комбинацией s других строк, 1 ~s~n-1. Всякий элемент i-й строки будет тогдасуммой s слагаемых, а поэтому, примещlЯ свойство 7, мы представимнаш определительв виде суммы определителей,в каждом из которых i-я строка будет пропорциональна одной из других строк.По свойству 6 все эти определители равны нулю; равен нулю, следовательно, и заданный определитель.Это свойство является обобщением свойствадоказано влителя§ 10,6,причем, как будетоно дает самый общий случай равенства опреденулю.Св ойст в оОпределитель не меч,яется, если /с элементад9.одной из его стро/С nрибавляются соответственные элементыдругой строки, у.множенные на одно и то же число.Пусть, в самом деле, к i-й строке определителя d прибавляетсяj-я строка,j=l=i, умноженная на число k, т.
е. в новом определителе всякий элемент i-й строки имеет вид aiska is' S = 1, 2, ••• , n.Тогда, на основании свойства 7, этот определитель равен сумме+двух определителей,двеиз которых первый естьпропорциональныеТак как числоkстрокиипоэтомуd,равена второй содержитнулю.может быть и отрицательным, то определительне .меняется и при вычитании из одной его строки другой строки,§ 5]МИНОРЫу.множенноЙнаИихАЛГЕБРАИЧЕСКИЕне/Сотороечисло.43ДОПОЛНЕНИПВообще, определитель н.е .меняется, если /с одной из его стро/С nрибавляется любая линейная/Со.мбинация других стро/С.Рассмотрим один пример. Определитель называется кососимметрическим,если его элементы, симметричные относительно главной диагонали, отличаются друг от друга лишь знаком, т. е.
если при всех i ибудет ар= -aij;отсюда c.rтeдyeT, чтоделительдлявсехбудет аu= -аu=О.iiТаким образом, опреимеет видd=оа12аlЗ-а12Оа28-at3-а 2 8-аln-а2nУмножая каждую строкуОаln...а2n. ...-азn...аЗ/lОэтого определителя начислотранспонированный определитель, т. е. снова равныйства 5, следует:d,мы получим-1,откуда, ввиду свойПри нечетном n отсюда вытекает: -d=d, т. е. d=O. Таким образом, всякий кососимметрuческий определитель нечетного порядка равен нулю.§ 5.Миноры и их алгебраические дополненияВыше уже отмечалось,что было бы затруднительно вычислятьопределители n-го порядка,при меняяние, т.
е. каждый раз выписывая всенепосредственно ихn!определечленов, определяя их знакии т. д. Существуют более простые методы вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может бытьвыражен через определители более низких порядков. С этой цельювведемследующеепонятие.Пусть дан определительлетворяющее условиюпроизвольныеkстрокdпорядка.n.Берем целое числоk,удов1 ~ k ~ n - 1, и в определителе d выбирае~1и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, т.
е. принадлежащие к одной из выбранных строк и к одному из выбранных столбцов, составляют, очевидно, матрицу порядкаk.Определитель этой матрицы называетсяMUflOp0M k-го nоряд/Са определителя d. Можно сказать также, чтоминорk-roпорядка есть определитель, получающийся .после вычеркивания в определителеd n-kстрок и n-kстолбцов. В частности, после вычеркивания в определителе одной строки и одногостолбца мы получаем минор(n-l)-roпорядка; с другой стороны,минорами первоГQ порядка будут отдельные элементы определителяПусть в определителеdn-го порядка взят минор Мk-rod.порядка.Если мы вычеркнем те строки и столбцы, на пересечении KOTOPЫ~стоит этот минор, то останется минор М' (n-k)-ro порядка, который называется дОnОЛflительны.м .миноро.м для минора М. Если MI>iвычеркнем, наоборот, те строки и столбцы, в которых расположеныСИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ44[гл.элементы минора М', то останется, очевидно, минор М. Такимразом,можноговорить опар ев з а и м н о106-Д о п о л н и т е л ь н ы хм и н о р о в определителя. В частности, элемент aij и минор (n-1 )-гопорядка, получающийся вычеркиванием в определителе i-й строки иj-ro столбца,будут составлять пару взаимно дополнительных миноров.k-roЕсли минорпорядка М расположен в строках с номерамиi 1, i 2, ••.
, i k И В столбцах с номерами А, J2' ••• , Jk' то назовемалгебраичесltимдоnолн,ен,иемминораМ его дополнительный минор iИ', взятый со знаком плюс или минус в зависимости от того,четна или нечетна сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор М, т. е. сумма(1)Иными словами, алгебраическим дополнением для минора М будетчисло(_l)SMМ'.Произведеnие любого мин,ора М k-zo nорядltа н,а его алгебраи'еесltое доnолн,ен,ие в определителе d является алгебраичесltойСУ.JtМОЙ, слагаемые Itоторой, nолучающиеся от умн,ожен,ия член,овмин,ора М н,а взятые со зн,аltом (_l)S м член,ы доnолнительн,ого.fttIJotopa М', будут н,еltоторыми члеnами определителя d, причемих зн,аltи в этойсуммесовпадают с темизн,аltами, с какимион,и входят в состав определителя.доказательство этой теоремы мы начнем со случая, когда минор М расположен в левом верхнем углу определителя:мd=a/,la"+lам..а"'"+1'"а"nak+l k 1 ak+l "+l ...
a k + 1 n..:М' ... '1 '". . '. . • . . . '.an1•••ankт. е. в строках с номераминомерами.Тогдаопределителя.SM=__аn•1, 2, ••. , kминор М' будетЧисло SM11+1в этом.••а nnи в столбцах с такими жезаниматьправый нижний уголслучае будет четным:1+2+ ... +k+ 1+2+ ... +k=2(1 +2+ ... +k),поэтому алгебраическим дополнением для М служит сам минор М'.Берем произвольный член(2)минора М; его знак в Л1 будет (-1 )Е, еслив1 есть число инверсийподстановке(3)§ 5]МИНОРЫИихАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ45ДОПОЛНЕНИЯПроизвольный член(4)минораМ'имеет в этомминорезнак(-1)1',гдеесть числоl'инверсий в подстановке( k+1 k+2 ... n )~k+1 ~H2 .•• ~,.
•Перемножая члены(2)и(4),(5)мы получим произведениеnэлементов(6)расположенных в разных строках и разных столбцах определителя;оно будет, следовательно, членом определителя d. Знак членав произведении ММ' будет произведением знаков членов (2) ит. е.(-1 )е. (-1 )1'и в определителе=d.((6)(4),(-1 )1+1'. Такой же знак имеет, однако, член (6)Действительно,нижняястрока подстановкн1 2 .•• kk+ 1 k+2 ... n )аl а2~Hl.•. ak~H2.'. ~,.'составленной нз индексов этого члена, содержит лишь [+ [' инверсий, так как никакое а нн с одним из ~ не может составить инверсию: все а не больше k, все ~ не меньше k1.Этим доказан рассматриваемый нами частный случай теоремы.+Переходим к рассмотрению общего случая, т. е. предположим, чтоминор М расположен в строках с номерамицах с номерамиjl' j2' ...
, jk'i1, i2,••• ,ikИ В столбпричемi 1<i2<···<ik,jl<j2<···<kПостараемся, перестацlЯЯ строки и столбцы определителя, передвинуть минор М в левый верхний угол, причем так, чтобы дополнительный минор не изменился. Для этой цели переставим i1-ю строкус (i1-1)-й, затем с (i I -2)-й и т. д.,пока iI-я строка не займетместо первой строки; для этого мы должны будем переставить строкиi l -1сораз. Будем затем последовательно переставлять i 2 -ю строкустроками,расположенныминаднею,рокаонане расположитсянепосредственно под iI-й строкой, т. е.
на месте, которое до началавсех преобразований занимала вторая строка; для этого, как легкопроверить, мы должны будем переставить строкиi 2 -2логичнымна месго третьейобразомi з -юстрокумыпередвинемраза. Анастроки и т. д., пока ik-я строка не окажется на месте k-й строки.Всего мы должны будем совершить(iI- 1)+(i2- 2)+ ...+ (ik-k) ==иlтранспозиций строк.+i2 +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
