1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Практически раз­ложение осуществляется следующим образом: начинаем с любого из действи­тельно перемещаемыхонпереходит присимволовповторенииивыписываем за ним те символы, в которыеподстановки,поканевернемся кисходномусимволу. После этого «закрытия» цикла начинаем с одного из оставшихсядействительно перемещаемых символов, получаем второй цикл и т. д.При м еры.1)( 312345)5 1 2 4 =(13) (254).2)"( 512345678)28 7 6 1 4 3 =(1;:.6) (38) (47).Обратно, для всякой подстановки, заданной разложением внезависимыепиклы, можно найти запись в обычнойэтой подстановки известна). Например,"3)(1372) (40:»=форме (прн(1 2 3 4 5 6 7\3 1 75 4 6 2)условии, чтостепень,если известно, что степень этой подстановки есть 7.Пусть дана подстановка n-й степени и пусть s есть число независимыхциклов в ее разложении плюс число символов, оставляемых ею на месте J).Разностьn-sназывается декрементом этой подстановки. Декремент равен,очевидно, числу действительно перемещаЕ'МЫХ символов,уменьшенномуначисло независимых циклов, входящих в разложение подстановки.

Для рас­смотренных выше примеров 1), 2) и 3) декремент будет равен соотве1ственно 3, 4 и 4.Четностьnодстановкисовпадаетсчетностью декреltlентаsmoanодстановки.Действительно, всякий цикл длины k можно следующим образом пред­ставить в виде произведения k--l транспозиций:Предположим теперь, что дано разложение подстановки А внезависимыециклы. Если каждый из циклов будет разложен указанным сейчас способомв произведение транспозиций, то мы получим представление подстановки Ав виде произведения транспозиций.

Число этих транспозиций будет, очевидно,меньше числа символов, действительно перемещаемых подстановкой А, начисло, равное числу независимых циклов в разложении этой подстановки.Отсюда следует, что подстановку А можно разложить в произведение транс­позиций, число которых равно декременту, а поэтому четность подстановкиопределяетсячетностьюдекремента.1) Всякому символу.

оставляемому подстановкой на месте, можно было бы!10ставить в соответствие «цикл» длины 1, т. е., например, в указанном вышепримере2)писать:(156) (38) (47) (2).Мыне будем, однако, этогоделать.§ 4]ОПРЕДЕЛИТЕЛИ§ 4.л-го37ПОРЯДКАОпределители n-го порядкаМы хотим теперь обобщить результаты, полученные в § 2 дляи 3, на случай произвольного n. для этой цели необходимоn= 2ввести определители fl-fО порядка. Невозможно, однако, сделать этотем путем,какимпорядков, т.

е.были введеныопределители второгоитретьегорешая в общем виде системы линейных уравнений:по мере возрастания л вычисления становились бы все более и болеегромоздкими,а припроизвольномnпрактическинеосуществимыми.Мы выбираем иной путь: рассматривая уже известные нам определи­тели второго и третьего порядков, мы постараемся установить общи/tзакон,покоторомусоответствующихделениядляэтиопределителиматриц,определителяи применимпорядкал,выражаютсячерезэлементыэтот закон в качествеазатемдокажем,опре­чтопритаком определении правило Крамера остается справедливым.Напомним выражения определителей второго и третьего порядков:Мы видим, что всякий член определителя второго порядка естьпроизведениедвухэлементов,и в разных столбцах,стоящихкаквразныхстроках,такпричем все произведения такого вида, какиетолько можно составить из элементов матрицы второго ПОРЯДI<а (ихвсего два), использованы в качестве членов определителя.

Подобным жеобразом всякий член определителя третьего порядка является про­изведением трех элементов, также взятых по одному в каждой строкеивкаждом столбце, причем снова все такие произведени я ИСПОJIЬ­зуются' Вкачествечленовопределителя.Пусть теперь дана квадратная матрица порядка(а З 1 а 22.•••. а.

) •а n 1 а n2...ан а12n1nа зn(1 ),а nnРассмотрим всевозможные произведения по л элементов этой мат­рицы, расположенных в разных строках ипроизведенияразныхстолбцах, т. е.вида(2)гдеиндексычисела 1 ,а 2 ,1, 2, ... ,••• ,аnсоставляютнекоторуюперестановкуизп. Число таких произведений равно числу различных38[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕfiных УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИперестановок изnсимволов, т. е. равно1Будем считать все этиnl.произведения членами будущего определителя n-го порядка, соответ­ствующего матрице(1).Для определения знака, с каким произведение(2)ВХОДИТ в составопределителя, заметим, что из· индексов этого произведения можнососта?итьподстановку( 1 2 •.• n )CX:t ct з •• , (х n(3)'гдепереходит в CGj, если в состав произведениямент, стоящий в i-й строке и агм столбце матрицы(2) входит эле­(1).

Рассматри­вая выражения определителей второго и третьего порядков, мы заме­чаем,чтовсоставляютнихсо знаком плюс входятной подстановкой индексов.ностьивтечлены, индексы которыхчетную подстановку, а со знаком минус- члены с нечет­определенииЕстественно сохранить эту закономер­определителяn~oпорядка.МЫ приходим, таким образом, к следующему определению: опре­делителе"'! n-го nоряд1Са, соответствующим матрице (1), называетсяалгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом:членамислужат всевозможныепроиз~едениявзятых по одному в каждой строкеиnэлементов матрицы,в каждом столбце, причемчлен берется со знаком плюс, если его индексы составляют четнуюподстановку,исознакомминус-впротивоположном случае.Для записи определителя n-го порядка, соответствующего мат­рице(1),мы будем, как и в случае определителей второго и третьегопорядков, употреблятьсимвол(4)Определителиврассмотренныеа приn = 1,n-горанееn=2n=3порядка превращаютсяприопределители второготретьего порядков,иит.

е. для матриц, состоящих из одного элемента, опре­делитель равен самому этому элементу. Мы не знаем пока, однако,можно ли приn> 3ИСпользовать определитель n-го порядка длярешения систем линейных уравнений. Этобудет показанов§ 7;предварительно необходимо подвергнуть определители n-го порядкадетальному изучению и, в частности, найти методы для их вычисле­ния,так как вычислять определители, непосредственно при меняя ихопределение, даже при не очень большихnбыло бы весьма затруд­нительным.Сейчас мы установим некоторые простейшие свойства определи­телей n-го порядка, относящиеся преимущественно к одному из сле­дующих двух вопросов:С одной стороны,нас будут интересоватьусловия, при которых определитель равен нулю; с другой стороны,§41ОПРЕДЕЛИТЕЛИn-ГО39ПОРЯДКАмы укажем некоторые преобразования матрицы, которые не меняютееопределителяилижеподвергаютеголегкоучитываемымизме­нениям.Назовемматрицыmpa1lCn01lupooa1lue.u(1)такое преобразованиеэтой матрицы, при котором ее строки делаются столбцами с тем жесамым номером, т.

е. переход от матрицы( ап. .а21. ..аn1)..а12 а 22l'11;а n2а 1n а 2n•.•а nn(1)к матрице;(5)можно сказать, что транспонирование·есть поворот матрицы(1)окологлавной диагонали. Соответственно говорят, что определительап а 2 1а 12•••а 22аn lа n2(6)получен транспонированием определителяСв ойствоОпределитель1.(4).1le .uе1lяется при mpa1lCn01lUpo~ванди.В самом деле, всякий член определителягдевторые(4)имеет видиндексы составляют некоторую перестановкУ. из симв~­1, 2, ...

, n. Однако все множители произведения (7) иделителе (6) остаются в разных строках и разных столбцах,ловв опре­т. е. (7)служит членом и для транспонированного определителя. Верно, оче­видно, и обратное, и поэтому определителии тех же членов. Знак членачетностью(7)в определителе(6)столбца, вторые -(6)и(6)состоят из одних(4)определяетсяподстановки( 1 2 ... n )CXt а2 ••• а nтеле(4)в определителе(8)'первые индексы элементов указывают на номерна номер строки, поэтому члену(7)в определи­соответствует подстановкаа2 '" аn )( CXt1 2 ... n •(9)Подстановки (8) и (9) - в общем' случае различные, но имеют, оче­видно, одну и ту же четность, а поэтому член(7)имеет в обоихопределителях один и тот же знак.

Таким образом, определители(4)ивыми(6)являются суммами одинаковых членов, взятых с одинако­знаками,т.е.равныдругдругу.40СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ.[гл.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ1Из свойства 1 вытекает, что всякое утверждение о CTpOI{aX опре­справедливо и для его столбцов и обратно, т. е. чтоделителяопределuтеле (в отличие от матрицы) строки и столбцы равн,о­правн,ы. Исходя из этого, мы будем дальнейшие свойства 2-9 фор­8мулировать и доказывать лишь для строк определителя;аналогичныесвойства для столбцов не будут требовать особого доказательства.Сво йст в оЕслu одн,а 'UЗ строк определuтеля состоит uз2.нулей, то определuтель равен н,улю.действительно, пусть все элементыi-йстрокиопределителяявляются нулями. В каждый член определителя должен войти мно­жителем один элемент из i-й строки, поэтому в наш'ем случае всечленыопределителяС во йс т воравныЕсли3.перестаНО8КОЙдвухбудут члена.МUUнулю.одинстрок,определитель получентовсеиздругогочлены первого определuтеляво второ.м, но с обратны.мu зн,ака.мu, т.

е. отпсрестановки двух строк Оflределuтель ЛUШЬ .лtеняет знак.(4)В самом деле, пусть в определителестр~жи,чаемпереставляются i-я и j-яi=l=j, а все остальные .строки остаются на месте. Мы полу­определитель...ана12алaj2Щlai2......anlаn2•.•.аlnajn( i)а,-nИ)(10).а nn(сбоку указаны номера строк). Если(11 )есть член определителя(1 О)остаются,(4),очевидно,то все его множители и в определителевТаким образом, определителичленов. Члену(11)разных(4)ив определителестрокахиразныхсостоят из одних и тех же(4)соответствует подстановкаi ...

n )( 1 2 ••. lа1 а2 ••• а,..:.а/ ... а n •а в определителе(1 О) -столбцах.(1 О)(12)подстановка(13)( 1 2 ... j ... i '" n )а 1 а2 ... а,. ... а/ . .. а n 'так как, например, элемент а iщ стоит теперь в J-й строке, но остаетсяв старом а·гм столбце. Подстановка (13) получается, однако, из под­становки (12) путем одной транспозиции в верхней строке, т. е. имеетпротивоположную четность. Отсюда следует, что все члены опреде­лителя(4)ВJ(ОДЯТ в определительопределители(4)и(10)(10)отличаютсяс обратнымидруг отзнаками, т.

е.друга лишь знаком.§ 4]ОПРЕДЕЛИТЕЛИСво йс т вос тро,'щ,равен.n-гоОпределитель,4.41ПОРЯДКАсодержащийдвеодинаковыенулю.В самом деле, пусть определитель равен числуи пусть соот­dветственные элементы его i-й и j-й строк (i =1= Л равны между соБGЙ.Послеперестановкиввиду свойстванаковые3,строки,тооткудаd=- d,С в ойств оэтихдвухстрок определитель станет равен,числу-'--d. Так как, однако, переставляются оди­определительd=O.5. ЕсливсенасамомэлементыПусть наkнеменяется,некоторойделителя умножить на некоторое числоумножится наделеk,строкит.е.опре­то сам определительk.умножены все элементы i-й строки. Каждый член опре­делителя содержит ровно один элемент из i-й строки, поэтому всякийчлен приобретает множитель k, т.

е. сам определитель умножается на k.Это свойство допускает и такую формулировку: общий .множи­тель всех элементов некоторой строки определителя можновынести за знак определителя.С в о й с т в о 6. Определитель, содержащий две nроnорциональ­ныестроки,В самомравеннулю.элементы j-й строки определителя отли­чаются от соответствующих элементов i-й строки (i=l=Л одним итем же множителем k. Вынося этот общий множитель k из j-йстрокизаделе,знакпустьопределителя,одинаковыми строками,мыполучимопределительравный нулю по свойствуn>сдвум н4.Свойство 4 (а также свойство 2 при1) является, очевидно,частными случаями свойства 6 (при k= 1 и k=O).С в о й с т в о 7.

Характеристики

Список файлов книги