1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

е.столБЦО.Jtстолбцаиз25порядковfCоэффициентовсвободныхчленовси·При м е р. Решить систему2Х1+Xl -х 2 =7,3x 2=-2}Опреде.'Iитель из коэффициентов естьd=1 21он отличенотнуля,ипоэтому-31/=_7''к системеприменимоправилоКрамера.Числителями для неизвестных будут определителиd1=1 -2711=_19,-3d=/2127/=_11-2Таким образом, решением нашей системы служит следующая система чисел:Введение определителей второго порядка не вносит cYIЦecTBeH­ных УПРОIЦений врешение систем двух линейных уравнений с двумянеизвестными, и без ЭТОГО не предстаВЛЯЮIЦее никаких трудностей.Аналогичные методы для случая систе.м трех линеЙн.ых ураВliеliийстре.мянеизвестliЫ.миGказываютсяужепрактическиполезными.ПУСТ!> дана система+ а 12 Х 2 + а 1зх з = Ь 1 ,+ а 22 Х 2 + а 2з хз = Ь 2 ,а з1 х} + аЗ2 Х 2 + аззх з = Ь за Н Х1}(6)a 21 x 1С мarрицей из коэффициентов(7)Если мы умножим обе части первого из уравнений (6) на числоа 2з а з2 , обе части второго уравнения на а 1з а З2 - а 12 азз, обечасти третьего на а12а2З а 1з а 22 , а затем сложим все три уравнения,а 22 а зз то,каклегкопро верить,коэффициенты приХ2и хзокажутся1) Мы В этой формулировке для краткости говорим о заVlене столбцовсв определитеJIе».

Подобным же образом и в будущем мы будем говорить,если это будет удобнее, о строках и столбцах определителя, о его элемен­тах,диагоналяхит. Д.[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ26равными нулю,мыполучим(a 1l а 22 а ззт. е.1ЭТИ ,неизвестные одновременно исключаются, Иравенство+ а12а2заЗl + а 1з а Z1 а З2 -- a 1l а 2з а з2 ) Х 1 = Ь 1 а 22 а ззаlза22аЗl - а 12 а 21 а зз -+ а12а2ЗЬЗ + аlЗЬ2аЗ2 -а 1з а22 Ь З(8)а12Ь2азз - Ь 1 а2зазz.Коэффициент при Х 1 в этом равенстве называется определителемтретьего1l0рядка, соответствующим матрице(7).Для его записиупотребляется такая же символика, как и в случае определителейвторого порядка;а 12аитакима 1за З1 а 22 а 2з=ан а 22 а ззобразом,+ а12 а 2з а 31 + аlза21аЗ2-Хотя выражение определителя третьего порядка является доста­точно громоздким, закон его составления из элементовоказывается весьмапростым.

В самомделе,определителя, входящих в его выражениепроизведением элементовматрицы(7)один из трех членов(9)со внаком плюс, будетглавной диагонали,каждый из двух дру­гих-произведением элементов, лежащих на параллели к этой диа­гонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угламатрицы.

Члены, входящие в (9) Со знаком минус, строятся таким жеобразом, но относительно второй диагонали. Мы получаем способвычисления определителей третьего порядка, приводящий (при нали­чии некоторой тренировки) весьма быстро к результату. На рис.1+Рис.слевасхематически указано правило вычисления положительных чле­новопределителяегоотрицательныхтретьегоI -~1)справа-правиловычисления; ij=2,3'5+1.I.2+2.(-4).з-2 3 51-2порядка,членов.Пр и м ер ы.2)1.О31 -2-2·3·2-1·(-4).5-2·1·3==30+2-24-12+20-6= 10.-52 = 1·3·0+0·2·1 +(-5)-(-2)·(-2)О-(-5)·3.1-0· (-2) ·0-1·2· (-2)==-20+ 15+4=-1.§ 2]ОПРЕДЕЛИТЕЛИВТОРОГОПравая часть равенствапорядка,аименно(8)ИТРЕТЬЕГО27порядковтакже будет определителем третьегоопределителемматрицы,получающейсяиз ма­трицы(7) заменой ее первого столбца столбцом из свободных членовсистемы (6).

Если мы обозначим определитель (9) буквой d, а опре­делитель,получающийся заменой егостолбцом из свободных членов системыство(8)приобретет видdX 1 = dl'j-ro столбца и= 1, 2, 3)(6), символом d j , то равен­откуда при dО следует*d1х 1 =([,(1 О)Таким же путем, умножая уравнения- а 21 а зз , а н а зз - а 13 а з1 , а 1з а 21 -*а 2з а З1следующее выражение (снова приd(6)соответственно на числаа н а 2з ,мы получим для ХаО):(11 )Наконец, умножая эти уравнения соответственно на а 21 а З2 а 12 а З1 a1l а з2 , ан а 22 - a 12 a 21 , мы придем к выражениюа 22 а з1 ,дляХЗ :( 12)Подставляя выражения(10)-(12) вd и все d jпонятно, что определителимы получили бы после громоздких,уравнения(6)(предполагается,записаны в развернутом виде),но вполне доступных читателювычислений, что все эти уравнения удовлетворяются, т.

е. что числа(10)-(12) составляют решение системы (6). Таким образом, еслиопределитель из ~оэффициентов систоеы трех ЛU/ieйНЫХ у равн.е­н.иU с тре.А-tя н.еuзвестными отличен от нуля, то решение этойсистемы может быть найдено ПО правилу Kpa.ttepa, ФОР.А-tулu­pyeMO.fty тa~ же, ~a~ и в случае системы двух уравнений. Дру­гое доказательство этого утверждения (не опирающееся на опущен­ные нами вычисления), а также доказательство единственности реше­ния(10)-(12)системычитатель найдет в(6),притомдляболееобщего§ 7,При м е р.

Решить систему:2Хl- х2 + хз=о, }3Х 1+ 2х 2 -5х з = 1,Х 1 +3х 2 -2х з =4.Определитель из коэффициентов системы отличен от нуля'2 -511 =28,11 -13-22d= 3случая,[гл.lСИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ28поэтому к системе применимо правило К:рамера. Числителями для неизвест­ных будут определителиd1 = 10-112 -5I1 =13,43 -22dз = ) 3-1012 1 =21,1т.е.решениемсистемы§служитd2 =1203 1 -5I1 =47,1 4 -23 4система чиселЗ. Перестановки и подстановкиДля определения и изучения определителей порндканужны некоторые понятия и факты,nнам будутотносящиеся к конечным мно­жествам.

Пусть дано некоторое конечное .множество М, состоящееиз n элементов. Эти элементы могут быть перенумерованы при по­мощи первыхнатуральных чисел 1, 2, ••. ,и так как в инте­nn,ресующих нас вопросах индивидуальные свойстважества М не будут играть никакой роли, тоэлементовмно­простопримем,что элементами М служат сами эти числа 1, 2, ... , n.Помимо употребляющегося нами расположения чисел 1,2, ... , nвихнормальномпорядке,ихможномыупорядочить имногимидру­гими способами. Так, числа 1, 2, 3, 4 можно расположить такжеследующими способами: 3, 1, 2, 4 или 2, 4, 1, 3 и т.

д. Всякоерасположение чисел 1, 2, ... , n в некотором определенном порядкеназывается nересmанов/{ой из n чисел (или из n символов).Число различных nepecmaHoвo~ изnсимволов равнопроизве­дению 1·2 .. . n, обозначаемому nl (читается: «эн-факториал»). Дей­ствительно, общий вид перестановки из n символов есть ё 1 , ё 2 , ••• , i n'где каждое из i s есть одно из чисел 1, 2, ... , n, причем ни одноИЗ этих чисел не всrре'lается дважды.

В качестве ё 1 можно взятьлюбое из чисел 1, 2, ... , n; это дает n различных возможностей.Если, однако, ё 1 уже выбрано, то в качестве i 2 можно взять лишьодно из оставшихсяn- 1чисел,т.е. числовыбрать символы ё 1 и ё 2 равно произведениюразличныхn (n -1)способови т. д.=Таким образом, число перестановок из n символов при n2равно 2! = 2 (перестановки 12 и 21; мы не будем в примерах , гдеn ~ 9, разделять переставляемые символы запятыми); при n 3 эточисло равно 316, при n 4 оно равно 4! 24.

Далее, с ростом nчисло перестановак чрезвычайно быстро возрастает; так, при n5=оно равно5!=120,=а при n=10-уже===3628800.Если внекоторой перестановке мы поменяем местами какие-либодвасимвола (не обязательно стоящие рядом), а все остальные сим-§ 3]ПЕРЕСТАНОВКИИ29ПОДСТАНОВКИволы оставим на месте, то получим, очевидно, новую перестановку.Это преобразование перестановки называется тfаliсnозицией.Все8п!nерестановотеизnси'мВОЛОВ,Можнотатео,М порядтее, что теаждая следующая будетпредыдущейоднойтранспозицией,приче.tltрасположитьполучаться изначинать,Можнос любой перестановтеи.Это утверждение справедливо при n = 2: если требуется начи­нать с перестановки 12, то искомое расположение будет 12, 21;если же мы должны начать с перестановки 21, то это будет рас­положение 21, 12.

Предположим, что наше утверждение уже дока­n.зано для п-1, и докажем его длясПустьмыдолжныначатьперестановки(1)Рассмотрим все перестановки изi1 •месте стоитnсимволов, у которых на первомТаких перес гановок (п-1)1иих можно упорядо­чить в согласии с требованиями теоремы, притом начиная с пере­становки(1),так как Это сводится на самом деле к упорядочениювсех перестановокпредположению,с перестановкиперестановокизп-1символов, которое, поИНДУКТИВНОМУможно начать с любой перестановки, в частностиi2,из••• ,nin• Впоследней из полученных таким путемсимволов совершаем транспозицию символас любым другим символом,например сi1и, начиная с вновь по­i2 ,лученной перестановки, упорядочиваем нужным образом все те пере­становки, у которых на первом месте стоитi2 ,и Т.

д. Этим путемn символов.Из этой теоремы вытекает, что от любой ТlepecтaHOBTcи из nси'мВОЛОВ ,МОЖIiО перейти те любой другой nерестановтее из тех жеможно, очевидно, перебрать все перестановки изси'мВОЛОВ при nО'мощи нестеольтеих транспозиций.Говорят, что в данной перестановке числасию, еслиi > j,ноiиiсоставляют иliвер­jстоит в этой перестановке раньше j. Переста­новка называется четной, если ее символы составляют четное числоинверсий, и неЧl!тной-в противоположном случае.

Так, перестановка1, 2, ... , nn, так как число инверсий451362 (n = 6) содержит 8 инвер­Перестановка 38524671 (n = 8) содержитбудет четной при любомв ней равно нулю. Переставовкасий15ипоэтомучетная.инверсий и поэтому нечетная.Всятеая транспозиция ,Меняет четность nерестановтеи.Для доказательства этой важной теоремыiслучай, когда транспонируемые символы... , i, j, ... ,перестановка имеет видигдерассмотримjстоятсначаларядом, т. е.многоточиязаменяют~e символы, которые не затрагиваются транспозицией.

Транспози­ция превращает нашу перестановку в перестановку •.. , j, i, ... ,причем, понятно, в обеих перестановках каждый из символов i, jсоставляетместе. Еслиодниитесимволыжеi~инверсииjсраньшесимволами,неостающимисясоставлялинаинверсии, тов[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ30новой перестановке1появляется одна новая инверсия, т.

е. числоинверсий увеличивается на единицу; если же они раньше составлялиинверсию, то теперь она пропадает, т. е. число инверсий на еди­ницу уменьшается. В обоих случаях четность перестановки меняется.iПусть теперь между транспонируемыми символамиsложенысимволов,s> О,т.е.перестановка••• , Ё, k 1 , k 2 , ••• , k s , j,Транспозицию символоввательногоiвыполненияи2sиjраспо­имеет вид(2)•.•можно получить в результате последо­j+1транспозицийсоседнихэлементов.А именно, это будут транспозиции, переставляющие символы i и k 1 ,затем i (уже стоящие на месте символа k 1 ) и k 2 и Т. д., пока iне займет место символа k s . За этими s транспозициями следуеттранспозиция, перемещающая символы i и j, а затем s транспозицийсимвола j со всеми k, после чего j занимает место символа Ё, а сим­волы k возвращаются на свои старые места. Таким образом, мынечетноечислостановки(2)разменяличетностьперестановки,а поэтому пере­и(3)имеютпротивоположныеПричислуn~2четности.число четныхнечетных,nерестаново/Ст.

Характеристики

Список файлов книги