1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Теория структур имеет интересные связи с теорией группитеориейколец,атакже стеориеймножеств;однастараяветвьгеометрии, а именно проективная геометрия, оказалась, по существу,частью теории структур;структур вможноотметитьтеорию электрическихтакжеодинвыходтеориисетей.Известный параллелизм, существующий между некоторыми частямитеориивениюгрупп,теорииобщейтеорииколец итеорииструктур,алгебраическихсистемпривел к возникно­(илиуниверсальныхапгебр). Эта теория сделала пока лишь самые первые шаги, но кон­туры ее уже вырисовываются, а обнаружившиеся здесь связи с мате­матической погикой позволяют рассчитывать на серьезное дальнейшееразвитие.Конечно, в изложенную выше схему далеко не укладывается всемногообразное содержание алгебраической науки.

Существует, в част­ности, ряд отделов алгебры, пограничных с другими раJделами мате­матики. Такова топо.10гическая алгебра, изучающая алгебраическиесистемы,вкоторыхсходимости,операцииопределеннойнепрерывныдляспужит система действительныхбпизка теория непрерывныхчисленныеприложениявотносительно некоторойэлементовчисел.(или лиевых)разпичныхческой физике, в гидродинамике.этихсистем;примеромК топологической алгебрегрупп,вопросахимеющая много­геометрии, в теорети­теория лиевых групптопологических,геометрических и теоретико-функциональных методов, что быпо быправильным считать ее особой ветвью математики.

Существует,далее, теория упорядоченных алгебраических систем, возникшаяотличается таким переплетениемвсвязисисследованиямипоВпрочем,апгебраических,основаниямгеометрииинашедшаяприложения в функциональном анализе. Начинает развиваться, нако­нец, дифференциальная алгебра, устанавливающая новые связи междуалгеброй и теорией дифференt~иальных уравнений.12ВВЕДЕНИЕСамособойразумеется,чтотоблестящее развитие алгебраиче­СКой науки, которое привело к ее сегодняшнему состоянию, не было-случайнымоноявилосьчастьюобщегоразвитияматематикиив значительной мере вызывалось необходимостью ответить на запросы,предъявляемыеСдругойоченькалгебрестороны,большоесостороныдругих математических наук.развитиеалгебрысамовлияниенаразвитиеоказывало и оказываетсмежныхветвейнауки,осо­бенно усилившееся благодаря тому расширению области приложений,котороехарактерноговорятдажеОбзородлясовременнойпроисходящейалгебры,данныйсейчаснамивыше,алгебры,ипоэтому«алгебраизации»нетолькоиногдаматематики.являетсяоченьбеглым, но и не дает представления об истории развития этой науки.Мы закончим поэтому наше введение очень кратким обзором историиалгебры.Некоторымивопросамиалгебры,в частности решением простей­ших уравнений, занимались еще вавилонские, а затем древнегреческиематематики.алгебраических исследований этого периода( александрийского) математикаДиофанта (Ш век н.

э.). В дальнейшем эти исследования развивалисьиндийскими математиками - Ариабхата (VI век), Брамзгупта (VII век),являютсяВершинойсочинениягреческогоБхаскара (ХII век). Очень рано началась разработка вопросов алгебрыв Китае - Чжан Цан (11 век до н. э.), Цзин Чоу-чан (1 век н. э.).Весьма крупным китайским алгебраистом был Цинь Uзю-шао (ХIII век).Большойвековогоженцы(IXвкладвостока,вразвитиеписавшиеСреднейАзииалгебрывнеслиматематики средне­на арабском языке, в особенности уро­узбекскийученыйМухаммедвек) и таджикский математик и поэт Омар ХайямВчастности, само слово «алгебра» возникло вкниги Аль-Хорезми «Аль-джебр аль-мукабала».Упомянуrые выше исследования вавилонских,ских,китайскихвопросамиалгебры,среднеазиатскихАль-Хорезми(1040 - 1123).связи с заглавиемгреческих,алгебраистовиндий­относились к темкоторые входят ныне в программу курса элемен­тарной алгебры, и лишь иногда касались уравнений третьей степени.В этом же круге вопросов оставались в основном и исследованиясредневековых западноевропейских алгебраистов и алrебраистов эпо­хи Возрождения; назовем итальянского математика Леонардо Пизан­ского (Фибоначчи) (ХН век) и создателя современной алгебраическойсимволики француза Вьет а (1540-1603).

Впрочем, выше уже отме­чалось, Ч10 в XVI веке были найдены методы решения уравненийтретьейичетвертойстепени;здесьдолжныбытьназваныименаитальянцевФерро (1465-1526), Тарталья (1500-1557), Кардано(1501-1576) и Феррзри (1522-1565).В XVII и XVIII веках происходила интенсивная разработка общейтеории уравнений (т.

е. алгебры многочленов), в которой прини­малиучастие(1596.-1650),крупнейшиеученыеанг личанин Ньютонтоговремени(1643-1727),-французДекартфранцузы Далам6ери Лагранж(1717-1783)построениетеорииупоминавшуюсяс13(1736-1813).В ХУIII веке началось такжеопределителей-швейцарскийматематикКрамерфранцузский ученый Лаплас (1749-1827). На рубежевеков немецкий математик Гаусс (1777-1855) доказал(1704-1752),ХУIII и XIXуравненийВВЕДЕНИЕвышеосновнуютеоремуосуществованиикорнейчисловыми коэффициентами.Первая треть XIX века ознаменована в истории алгебры решениемо разрешимости уравнений в радикалах. доказательствопроблемыневозможностикоторыхнайтибольшеформулыилиравнадлярешенияпяти, былоуравнений,степеньполучено итальянским мате­матиком Руффини (1765-1822) и в более строгой форме норвежскимученым Абелем (1802-1829).

Как уже отмечалось выше, исчерпы­вающеескаетрешениеТеорияввопроса об условиях, при КОI0РЫХ уравнение допу­решение в радикалах, принадлежит Галуа.Галуасерединеинаправлений.полейявиласьвторойТак,толчкомполовинепоявилисьалгебраическихдля широкого развития алгебрыXIX1еорияфункuийивека, в том числе и новых ееполей алгебраических чисел исвязаннаяснейтеория идеалов.Здесь нужно назвать немецких математиков Куммера (1810-1893),Кронекера (1823-1891) иДедекинда (1831-1916) и русских мате­матиков Е.

И. Золотарева (1847-1878) и Г. Ф. Вороного (1868-1908).Большое развитие получила теория конечных групп, идущая еще отЛагранжа и Галуа; здесь работали французы Коши (1789-1857) иЖордан (1838-1922), норвежский математик Силов (1832-1918),немецкие алгебраисты Фробениус (1849-1918) и Гt!льдер (1859-1937).Начало теории непрерывных групп положили исследования норвеж­скОго математика С.

Ли (1842-1899).Работами английского ученого Гамильгона (1805-1865) и немец­кого математика Грасмана (1809-1877) началась теория гиперком­плексныхрольвщиесясиегемили,даJIьнейшемккониукактеперь говорят, теория алгебр. БольшуюразвитиивекараБО1ЫэгойветвирусскогоалгебрыматематикаигралиОl'нося­Ф.МолинаЭ.(1861-1941).Линейнаяалгебра досгигла в XIX веке большого расцвета,прежде всего благодаря работам английских математиков Сильвестра(1814-1897) и Кэли (1821-1895). Продолжалась разработка иалгебрыниямногочленов;уравн~ний,(1792-1856),мы отметим лишь метод приближенного реше­найденныйрусскимгеометромН.И.и работы немецкого математика ГурвицаЛобачевским(1859-1919).Во второй половине века нача.lJа создаваться алгебраическая геометрия,в частноС1 и в рабо rax немецкого математика М.Ht!Tepa (1844-1922).В ХХ веке алгебраические исследования приобрели очень большуюширотуипочетноеалгебры,колециалгебра,место.втомобщаяВкакмыэтотчислеобщаятеорияужепериодзнаем, заняла в математикевозникаюттеориягруппполей(двадцатыемногиеновые(десятыегоды),весьмараздедыгоды), теориятопологическая14алгебра идесятыхтеориягодахструктур (тридцатыепоявилисьтеориягоды); в сороковых и пяТII­полугруппитеорияквазигрупп,теория универсальных алгебр, гомологическая алгебра, теория кате­горий.

Во всех частях алгебры работают крупные ученые, внесшиесерьезный вклад в науку, в ряде стран возникают большие алгебраи­ческие школы. Это относится, в частности, I{ Советскому Союзу.Из числа русских дореволюционных алгебраистов, помимо назван­ных выше, следует указать также С. О. Шатуновского(1859--1929)и д. А. Граве (1863-1939). Однако настоящий расцвет алгебраи­ческих исследований в нашей стране начинается лишь после ВеликойОктябрьской революции. Эти исследования захватывают почти всеразделы современной алгебраической науки, причем в некоторых изних работы советских алгебраистов играют руководящую роль.

Мыназовем лишь два имени-Н. Г. Чеботарева (1894-1947), рабо­тавшего в теории полей и теории лиевых групп, и О. Ю. Шмидта(1891-1956), известного полярника и в то же время крупногоалгебраиста, создателя советской теоретико-групповой школы.Заканчивая наш краткий обзор современного состояния и путейразвития алгебры, мы должны еще раз подчеркнуть, что рассмотрен­ные здесь вопросы в основном лежат за пределамиалгебры.Задачейобзорабылолишьпомочькурса высшейчитателюполучитьправильное представление о месте, занимаемом курсом высшейалгебрыв алгебраической науке в целом и во всем большом здании мате­матики.ГЛАВА ПЕРВАЯСИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИМетод последовательного исключения неизвестных,§ 1.Мы начинаем курс высшей алгебры с изучения систем уравненийгово­первой степени с несколькими неизвестными или, как обычнорят, систем линейных уравнений 1).Теориясистемлинейныхуравнений кладети важномуотделуалгебры-линейной алгебре,начало-большомук которому отно­сится большая часть глав нашей книги, в частности ее первые триглавы, КОЭффl;!Цl;!ентывах,значенияуравнений,неизвестныхирассматриваемых в этих трех гла­вообщевсечисла,скоторымимыбудем встречаться, следует считать действительными, Впрочем, всесодержание этихглав дословно переносится и на случай произволь­ных комплексныхчисел,уже известныхчитателю из курсасреднейшколы.В отличиесот элементарной алгебры мы будем изучатьпроизвольнымчисломуравненийинеизвестных,число уравнений системы не будет даже предполагатьсящим с числом неизвестных. Пусть намуравненийсnнеизвестными.употреблятьиногдасовпадаю­sдана система изУсловимсясистемыпричемлинейныхследующуюсимволику: неизвестные мы будем обозначать буквой Х с индексами:••• , Х n ; уравнения будем считать перенумерованными - пер­второе, ...

Характеристики

Список файлов книги