1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 5
Текст из файла (страница 5)
, akk_-l~) k-l =1= О, aki-1):;;b О. Отметим также, что k ~ s и, очевидно, k ~ n.В этом случае систеоМа (1) СО8.Аlестnая. Оnа будет оnределепной при k = n и nеоnределенной при k < n.Действительно, если k = n, то система (6) имеет вида ll Х 1+ а 12Х 2 +а 22 Х 2 +(7)Из последнего уравнения мы получаем вполне определенное значениедля неизвестного Х n ' Подставляя его в предпоследнее уравнение, мыиайдем однозначноПродолжая таксистема(1),обладаютопределенны.Если жемывозьмемпо системеопределенное значение длядалее,k< n,мы найдем,единственнымчисловыеснизу вверх,мы,неизвестного Х n - 1 'системарешением,то для «свободных»произвольные(6)чтоае.поэтому исовместны инеизвестных X k + 1 , ••• , х nзначения,как И(7),т.послечего, двигаясьвыше, найдем для неизвестных X k , X k - 1 , ••• , Х 2 , Х 1 ВПОJlне определенные значения.
Так какзначения для свободных неизвестных можно выбрать бесконечнымчислом различных способов, то наша Сilстемасистема(1)будут совместными,рить, что указаннымздесьзначений для свободныхсистемы(6)и, следовательно,но неопределенными. Легко провеметодом(привсевозможныхвыборахнеизвестных) будут найдены все реureния(1).В первый момент кажется возможным еще один ВИд, к которомуможет при водиться системаалинейныхуравнений методом Гаусса,именно вид, получающийся приписыванием к системе(7)еще нескольких уравнений, содержащих лишь неизвестное Х n ' В действительности, однако, в этом случае преобразования просто не доведеныдосконца: так как a~~-l) 7/= О, то из всех уравнений,(n 1)-го, неизвестное Х N может быть исключено.+начинаяСледует заметить, что «треугольная» форма системы уравнений(7)или «трапецоидальная» форма системы уравнений(6)(приk< n)§ l]МЕТОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГОИСКЛЮЧЕНИЯ21НЕИЗВИСТНЫХполучил ась ввиду предположения, что коэффициенты ан, а 22 и т.
д.отличны от нуля. В общем случае та система уравнений, к котороймыпридемпоследоведениядоконцапроцесса исключения неизвестных, при обретет треугольную или трапецоидальную форму лишьпосленадлежащегоизменениянумерациинеизвестных.Суммируя все изложенное выше, мы получаем, что метод Гауссаnрименим IC любой системе линейных уравнений. При это.М cи~стема будет несовместной, если в nроцессе nреобразований мыв ICOmOPOM lCоэффuциенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же,мы таlCого уравнения н,е встретим, то система будет совместной.
Совместная система уравн,ен,ий будет определенной, еслиона приводится IC треугольному видУ (7), и н,еоnределен,ной, еслипри водится IC траnецоидальному виду (6) при kn.Применим сказанное к случаю системы линейных однородн,ыхполучим уравнение,<уравнений, т.е. уравнений,свободные члены которых равны нулю.Такая система всегда совместна, так как обладает нулевым реше~'" ,нием (О, О,О).Пусть в рассматриваемой системе число уравнений м е н ь ш е числа неизвестных. Тогда наша система не можетприводиться к треугольному виду, так как в процессе преобразований по методу Гаусса число уравнений ~истемы может уменьшаться,нонеможетувеличиваться;пецоидальномувиду,т.е.онаприводится, следовательно,к транеопределенна.Инымисловами, если в системе линейных однородн,ых уравуравнений меньше 'числа неизвестных, то эта сиобладает, помимо н,улевого решен,ия, таlCже и н,енуленений числоcme.Jtaвыми, решениями,т.(илинеизвестныхдажевсех)е.решениями,вкоторыхотличны отзначениянуля;некоторыхmalCUxрешен.иfi.БУдет беСlCонечно .Jzного.При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса следует выписать матрицу из коэффициентов системы,присоединить к ней столбец из свободных членов, для удобства отделенный вертикальнойчертой, и все преобразования выполнять надстроками этой «расширенной»При м еры.1.матрицы.Решить систему.X1+2Х 2 +5х з =- 9, }X1 -Х 2 +3х з =3Xl-6x2-Хз =2,25.Подвергаем преобразованиям расширенную матрицу этой системы:(1 2 51- 9) (1 2 51- 9) (1 2 51- 9)1 -133 -6 -12 _25ОО- 3 - 2-12 -161152-4ОО-3 -2О -811.8СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ22[гл.1ьtы приходим, следовательно, к системе уравненийХl +2Х2+5хз=- 9, }-3Х2-2хз= 11,-8хз =8,обладающеii единственным решениемх 1 =2,Х2=-3'хз =-I.Исходная система оказалась определенной.2. Решить системуХl- 5х 2 - 8хз + Х 4 =3Х1Х1+llХ2+20хз-9Х4=Преобразуем расширенную(!-5 -81-3 -5О -721120 -9--3, }Х2- 3х з -5х 4 =1,7х з +2х 4 =-5.2.матрицу системы:") (-$~)1О16 -821 -81-5--05112О1120-9( -$О-89О5О-89-8О-291О-29Iб~)-8162-82(:--1~-5-895-- О-8ООО0=2.Исходная система будет,Мы пришли к системе, содержащей уравнениеО-29-8О)•2следовательно, несовместноЙ.3.
Решить систсыу4Х 1Это система+Х2-3.\/З- х 4 =0.)2Х 1 +3х 2 + х з -5х 4 =0,~Х1-2Х2-2ХЗ+3Х4=0.Jоднородныхуравнений,причем числоуравненийменьшечисла неизвестных; она должна быть поэтому неопределенноЙ. Так как всесвободные члены равны нулю, то мы будем подвергать преобразованиям.'Jишь матрицу из коэффициентов системы:( ~1; -; =;) __ (~-2 -23~~ =~~)1 -2 -23__ (~ ;~ -1~).1 -2 -23Мы пришли к системе уравнений2Х2-2х 4 =О, )7х 2 +5хз -llх 4 =О,Хl-2Х2-2хз+ 3х 4 =0.в качестве свободного неизвестного можно принять любое из неизвестных Х!и Х 4 • Пусть Х4=а.
Тогда из первого уравнения следует Х2=а, после чего§2)ОПРЕДЕЛИТЕЛИвторогоиз второго уравнения получаем3Xl =5"а.ИТРЕТЬЕГО23порядков4ХЗ =5"а и, наконец, из третьего уравненияТаким образом,345"а, а, 5 а , абудет общий вид решений заданной системы уравнений.§ 2.Определители второго и третьего порядковМетод решения системы линейных уравнений, изложенный в пред~шествующем параграфе, весьма прост и требует выполнения однотипных вычислений, леГI(О осуществляемых на счетных машинах.
Егосущественнымнедостатком является, однако, то, что он не дает возможности сформулировать условия СОВ~lестности или определенностисистемыприпомощикоэффициентовисвободныхсистемы. С другой стороны, даже в случаечленовэтойопределенной системыэтот методне позволяет найти формулы, выражающие решениесистемы через ее коэффициенты и свободные члены. Все это оказывается, однако, необходимым в разных теоретических вопросах,вчастности,вгеометрическихисследованиях,апоэтомутеориюсистем линейных уравнений приходится развивать иными методами,болееглубокими.Общийслучайбудетрассмотрен в следующеltглаве, а дальнейшее содержание настоящей главы посвящается случаю определенных систем,известных, причемимеющихравное число уравнений и немы начнем с ужеизучавшихся в элементарнойалгебре систем с двумя и тремя неизвестными.Пусть дана систе.мавестны.мидвухлинейных уравненийс дву.мя неиз~a ll x 1 + а 12 Х 2 = Ь 1 , }а 21 Х 1коэффициентыкоторой+ а 22 Х2 =составляют( 1)Ь2 ,квадратнуюматрицувторогопорядка(2)Применяяксистеме(1)методуравнивания коэффициентов, мыполучим:(a ll a22 -a12a21) Х 1 = Ь 1 а 22 -а 1 2 Ь-2'(а ll а22 -а 12 а 21 ) Х 2 = а ll Ь 2 -Ь 1 а 2 1"Предположим, чтоаl1а22-а12а21 =1= О.Тогда(3)СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕниR.24ОПРЕДЕЛИТЕЛИ[гл.[Легко проверить, подставляя полученные знач('нИЯ неизвестных в уравнения (l), что (3) служит решением для системы (1); вопрос о единственности этого решения будет рассматриваться в § 7.Общий знаменатель значений неизвестных (3) очень просто выражается через элементыматрицы(2):он равек произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов второй диагонали.
Это число называется определителе,)l (ИЛИ детер,м,инанто,м,)матрицы (2), причем, как говорят, определителе,м, второго порядка,так как матрица (2) есть матрица в горого порядК"З. Для обозначения(2)определителя матрицысывается матрицамыеупотребляетсяследующий символ: выпино заключаетСЯ вместо круглых скобо!{ в пря(2),черточки; такимобразом,Iана121 = а l1 а 22 -(4)а 12 а 21 •а22а 21При м еры.I~r~1)2)7/=з.4_7.1=5;4.-215 =1·5-(-2)·3=Ii.Следует еще раз подчеркнуть, что в то время !{ак матрица естьтаблица из чисел,определитель естьчисло,вполнеопределеннымобра-зом связанное с квадратной матрицей.
Заметим, что произведения ан а 22 и а 12 а 21 называются члена,м,и определителя второго порядка.Числители выраженийт.е.такжеявляютсявыражения для Х 1(3)имеют такой же вид, как и знаменатель,определителямивторогопорядка:числительявляется определителем матрицы, получающейсяиз матрицы (2) заменой ее первого столбца столбцом из свободныхчленов системы (1), числитель выражения ДЛЯ Х 2 есть определительматрицы, получающейся ИЗ матрицы (2) такой же заменой ее второго столбца.Формулы(3)теперьможнозаписатьвследующемвиде:(5)Словами это правило решения системы двух линейных уравненийс двумя неизвестными(называемое ..Jlравило,м,Кра,м,ера) формулируется следующим образом:Если определитель (4) из коэффициентов систе,м,ы уравнений (1)от нуля, то,м,ы получи,м, решение систе,м,ы (1), беря8 качестве значений для неизвестных дроби, общиJt зна,м,енателем/соторых служит определитель (4), а числителе,м, для неизвестного х/ (i = 1, 2) является определитель, получающийся за,м,енойотлиttен§ 2]ОПРЕДЕЛИТЕЛИв определителепри(4) {-гоВТОРОГОстолбцанеизвестно.м)UCfCOkO.Jtсте.мы (1) 1).ИТРЕТЬЕГО(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
