1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 10
Текст из файла (страница 10)
+ik )-(1 +2+ ... +k)СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ46[гл.1Минор М расположен уже в первых k строках нового определители. Будем теперь последовательно переставлять столбцы опредеnителя: Jl-Й со всеми ему предшествующими, пока он не займетпервого места,затем Jз-Й,пока он не займет второго места, И т. д.Всего столбцы будут переставлены(А+ J2 + ... + Jk)-(l + 2+.;-. + k)раз.П(!)сле всех этих преобразований мы приходим к новому определителю d', в котором минор М занимает левый верхний угол. Таккак мы переставляли каждый раз лишь соседние строки или столбцы,то взаимное расположение строк и столбцов, содержавших в определителе d минор М', остается без изменения, а поэтому дополнительным к минору М в определителе d' остается минор М', занимающий,однако, уже правый нижний угол.
Как доказано выше, произведение ММ' является суммой некоторого количества членов определителяd', взятых с теми же знаками, с какими они входят в d'.d' получен из определителя d путемОднако определитель[(il + ё 2 ++ 2 + ... + k)] ++[(J1 +J2 + ... +ik )-(1 +2+ ... +k)]==sm-2 (1 +2 + ... +k)... + ik) -(1транспозиций строк и столбцов, поэтому, как мы знаем из предшествующего параграфа, члены определителяственных членов определителя d лишьчисло2(1+2+ ... +k) не будет,d' отличаются от соответзнаком (-lУМ (четноепонятно, влиять на знак).
Отсюдаследует, что произведение (_l{М ММ' состоит из некоторого ко-·nичества членов определителя d, взятых с такими же знаками, какиеони имеют в этом определителе. Теорема доказана.Заметим, что если миноры М и М' взаимно дополнительны, точисла SM и SM' имеют одинаковую четность. Действительно, номервсякой строки и всикого столбца входит слагаемым в одно и толькоодно ИЗ этих чисел, а поэтому сумма SM+ SM'равна общей сумменомеров всех строк и столбцов определителя, т. е. равна четномучислу 2 (1+ 2 + ... + n).§ 6.Вычисление определителейРезультаты предшествующегопараграфа позволяют свести вычисление определителя n-го порядка на вычисление нескольких определителей (n-1)-го порядка.
Введем сначала следующие обозначения:еслиa ij - элемент определителя d, то через M ij обозначим дополнительный минор или, короче, .минор этого эле.Аtента, т. е. минор(n-1)-го порядка, получаЮЩИЙСIl после вычеркивания из определи-§ 6]ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙтеля i-й строки ическоеj-roдополнение47столбца. далее, через Ао обозначим алгебраиaij' т.
е.элементаАи= (_1)i+1Mil"Как доказано в предшествующем параграфе, произведение аиАиявляется суммой нескольких членов определителяжезнаками, с какимионивходящих в этустеляЛегко подсчитать число этих членов: оно равно числу членовd.темиd,суммувходят в составопределив миноре M i/ , т. е.
равно (n-1)!.Выбираем теперь любую i-ю строку определителя d и беремпроизведение каждого элемента этой строки на его алгебраическоедополнение:(1)Никакой членопределителяразных из числа произведенийd не может войти в состав двух(1):все члены определителя, входящие в произведение ai1Ail' содержат из i-йстроки элемент a i1 ипоэтому отличаются от членов, входящих в произведение a i2 A i2 ,т.
е. содержащих из i-й строки элемент a i2 , и т. д.С другой стороны, общее число членов определителя d, входящих во все произведенияравно(1),(n-1)! .n=n!,т. е. этимисчерпываютсявообще все членыопределителяd.Мыдоказали, таким образом, что имеет место следующее разложениеопределителяdпоi-uстроке:(2)т. е. определительd равен СУ'м'ме произведений всеХ эле'ментовлроизвольной его строки на их алгебраические дополнения. Аналогичное разложение определителя можно получить и по любому егостолбцу.Заменяя в разложенииствующимиминорамивы ч и с л е н и есо(2)алгебраические дополнения соответзнакамио п р е Д е л и т е л яплюсл-г оилиминус,пор я Д к амыкс в е Д е мв ы ч и с л ен и ю н е с к о л ь к и хоп р е Д е л и т е л ей (n - 1)-г о пор я Д к а.Заметим, что если некоторые из элементов i-й строки равны нулю,то соответствующие им миноры не нужно будет, понятно, вычислять.Ввиду этого полезно предварительно так преобразовать определитель,используя свойство 9 (см.
§ 4), чтобы в одной ИЗ строк или в одномИЗ столбцов достаточномногоэлементовоказалосьзамененныминулями. В действительности свойство 9 позволяет в любой строкеили любо'м столбце за'менить нуля,Ми все эле'менты, кро,Ме одного.В самом деле, если a ik =i= О, то любой элемент i-й строки a ii , /=j=.q"будет заменен нулем после вычитания k-ro столбца, умноженного48наСИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.aiJ-аil. 'изj-roстолбца.ТакимОПРЕДЕЛИТЕЛИ[ГЛ.1образом, вычисление определителяn-го порядка можно свести к вычислениюо д Н О(n-l)-ro порядка.rоопределителяПри ме р ы.1. ВЫЧИСЛИТЬ определитель четвертого порядка21 -13 -4121 -1О3 -3-53-5а=Разложим его по третьейа=( -1)3+1.2.1:-5строке,используя.наличиевнейодного нуля:-~ 1+-133 -3-~ 1+(-1)3+ Ч - 1 ).' -5+(-l)з+ч·I-~ -5~ -331 -113-531·ВЫЧИСЛЯЯ полученные определители третьего порядка, ПОЛУЧИМIа=2.16-40+48=40.2.Вычислить определитель пятого порядка51О3 -1-2d=2ОО-137О516 -4-3 -123-2-52.3Прибавляя ко второй строке утроенную пятую и вычитая из четвертой строкиучетверенную .fIятую,получиюа=3-2О -15О1371 -95О53 -10-7 -102 183 2О -3 -1.Разложив этот определитель по третьему столбцу, содержащему лишь одинне равный нулю 9лемент (с суммой ИН,1J.ексов 5+3, т.
е. четной), получим-2а=(-1)·5 -13137-93 -155'2 18 -7 -10ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ§ 6]49Преобразуем вновь полученный определитель, прибав./IЯЯ к пер ной строкеудвоенную вторую и вы'!Итая нз третьей строки утроенную вторую, а изчетвертой-удвоенную втор ую:2517-iз1371 -9,d=О26 -34 -2636 -33 -24Оо8 затем разложим его по первому столбцу, причем заметим, что единственному не равному нулю элементу этого столбца соответствует нечетная суммаиндексов,получим:-1325d=26 -3436 -33Вычислим этот определительего по третьей С,троке:d=36· 125-34третьего17-26-24порядка,предварительно разложив17! -(-33).
1-13171 +(-24)· 1-13251 =-2626 -2626 -34=36·( -72)-( -33)-( -104) +( -24)·( -208)=- 1032.3. Если все длементы определителя, расположенные по одну сторонуот главной диагонали, равны нулю, то этот определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.Для определителя второго порядка это утверждение очевидно. Мы будемпоэтомутелейn-годоказывать(n -1)-гоегопопорядкаиндукции,оноужет.е.предположим, что для определидоказано,ирассмотримопределительпорядкаd=ана12a13al nОа22а 2за 2nООазза зnОООа nn.Разлагая его по первому столбцу, получим:d=all'а 22а 2за2nОа зза зnоо...а nnНо к минору, стоящему в правой части, применимоции,т.
е. онравенпроизведению а 22 азз.•.а nn ,d= аllа 22а зз .•. а nn .предположение индука поэтому50СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ4.[гл.1Определителем Вандермонда называется определитель111...a~-lДокажем, что при любомнию всевозможныхn =2 будетПустьразностей... .a~-la~-l... a~-lопределительnа;гдеaj-a i'Вандермонда равен произведе1 e;;;.j< i е;;;. n.Действительно принаше утверждение уже доказано для определителей Вандермондапорядка. Преобразуем определитель d следующим образом: из(n-l)-ron-й (последней) строки вычитаем (n -1 )-ю, умноженную на а1, затем из(n-I)-й вычитаем (n-2)-ю, также умноженную на а1, и т.
д., наконец. извторой строки вычитаем первую, умноженную на а1' Мы получим:1d=1оа2-ЩОа;-а1 а 2о. _.a~-1-ala~-2аз- а lа n -а1а;-а 1 азa~-a1an.a~-1-a1a~-2a~-1-a1a~-2Разлагая этот определитель по первому столбцу, мы придем к определителю(n-1)-го порядка; после вынесения из всех столбцов общих множителейзазнакопределителяонприметвидa~-2Последниймножительявляетсярядка. т. е., по предположению.для 2 е;;;. j< i е;;;. n.определителемa~-2a~-2. ..Вандермонда (n-l)-го поравен произв~дению всех разностейaj-ajМожно написать, следовательно, употребляя символ Пдля обозначения произведения, чтоd=(a2-al) (аз- а 1)" .(а n -а1)·П (aj-a j )=П (щ-аj)'2<i<l<nl<i<j<nТакцм же методом может быть доказано, что определительn-ld'=n-ln-lа1азаза 12а 2аа 2заlа2азn-lаn......2аnаn1ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ§ 6]равен nроuзведенuю всевозможных разностей щ-аj.d'п=51r де 1.:;;;; i< 1.:;;;; n.т.
е.(щ-щ).l<i<j<nОбобщая полученные выше разложения определителя по строкеили столбцу, докажем следующую теорему,говорящую о разложении определителя по нескольким строкам или столбцам.ТеоремаnроизвольноТогдасуммащихсявЛ а п л а с а.выбраныПустьстрокkпроизведенийвыбранныхвсехстроках,вопределителе(илистолбцов),kминоровнаихk-гоd порядка n1 ~ k ~ n -1.порядка,алгебраическиесодержадополненияравна определителю d.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в определителе d выбраны строкис номерами i1 , i 2 , ••• , i k • Мы знаем, что произведение любогоминора k-ro порядка М, расположенного в этих строках, на егоалгебраическое дополнение состоит из некоторого количества членовd,определителявзятыхстеми же знаками, с какими они входятв состав определителя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
