1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теорема будет, следовательно, доказана,если мы покажем, что, заставляя М пробегать все миноры k-roпорядка,расположенные в выбранных строках, мы получим всечленыопределителя,причемниодиниз нихне встретитсядважды.Пусть(3)--произвольныйдениетехчлен определителяэлементовбранным намиизэтогострокам с номерамиВозьмем отдельно произвеd.члена,которыеi1 , i 2 ,••• ,принадлежатik •квыЭто будет произведение(4)kмножителейаименно,вэтогопроизведениястолбцахсстоят вномерами ai"kразличных столбцах,cx,i" ••• , cx,ik'Этиномерастолбцов вполне определяются, следовательно, заданием членаЕсли мы обозначим через М минорk-ro(3).порядка, стоящий на пересечении столбцов с этими номерами cx,i" cx,i"••• , cx,ik И выбранныхранее строк с номерами i1 , i 2 , ••• , i k , то произведение (4) будетодним из членов минора М, а произведение всех элементов из члена (3), не вошедших в (4), членом его дополнительного минора.Таким образом, всякий член определителя входит в произведениенекоторого, притом вполне определенного, минора k-ro порядка извыбранныхстрокпроизведениемдлятоголителяснавполнеегодополнительныйопределенныхминор, причем являетсячленовэтихдвухминоров,же, наконец, чтобы получить взятый нами член опреде"темзнаком,какойонимеет вопределителе, остается,как мы знаем, заменчть дополнительный минор алгебраическимдополнением.
Этим заканчивается доказательство теоремы.52СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.[гл.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ1Доказательство теоремы можно было бы вести и несколько инымпутем. Именно, произведение любого минора k-ro порядка М, расположенного в выбранных строках, на его алгебраическое дополнение состоит из k! (n-k)! членов, так как минор k-ro порядка Мсостоит изk!членов,а его алгебраическое дополнение, отличаясь,возможно, лишь знаком от минора порядкачленов. С другой стороны, число миноровn-k, содержит (n-k)!k-roпорядка, содержащихся в выбранных нами строках, равно числу сочетаний изт.е.равноnпоk,числуn!k! (n-k)!Перемножая, МЫ получаем, что сумма произведений всех миноровk-roпорядка из выбранных строк на их алгебраические дополнеНИlIсостоит изn!определителяслаl'аемых.
Таково же, однако, и общее число членовd.Теорема будет,следовательно, доказана, если мыпокажем, что ВСЯКИЙ член определителяdвходит хотя бы один раз(а тогда и точно один раз) в рассматриваемую сумму произведенийминоровнаихалгебраическиедополнения.Дляэтого читателюостается повторить (с некоторыми упрощениями) рассуждения, проведенныевпредшествующемдоказательстве.Теорема Лапласа позволяет сводить вычисление определителя n-гопорядка к вычислению нескольких определителей порядковkи п-k.Э гих новых определителей окажется, вообще говоря, весьма много,и поэтому применять теорему Лапласацелесообразно лишь в томслучае, если в определителе можно так выбрать k строк (или столбцов), что МНОгие из миноров k-ro порядка, расположенных в этихстроках, будут равны нулю.kПри м еры.I Пусть дан определитель, все элементы которого,строках и последних n-k столбцах, равны нулю:стоящие в первыхоd=ak+ 1,1 '"ak+l, kak+l, k+l '"ak+l, nТогда этот определитель равен произведению двух своих миноров:_1 а11.
..,.. .ац. 11. ak+l,k+l '" ak+l, n 1.•...••....d-а ll , k+lakl ••. akkДляkдоказательствадостаточно.,. а nllразложитьопределительпопервымстрокам.2. Пусть дан определитель d порядка 2n, в левом верхнем углу которого стоит минор n-го порядка, составленный целиком из нулей. Если минорыn,гоПОРЯДКа, стоящие вправомверхнем,левомнижнемиправомнижнем§ 7]ПРАВИЛО53КРАМЕРАуглах определителя, будут обозначены соответственно через М,т. е. определитель можно символически записать в видетометим,т.d=ММ'.Для доказательства разложим определитель по первымd=(-I)nе.и М',Iо :./.М'строкам и за.чтоsM3.nМ'иnимеютодинаковуючетность.Вычислить определитель-412-230 1-5d=2 -3 1 -3 1-1 -1 3 -1 ООО4О2Разлагая его по первому и третьему столбцам,ложенныенули,d =(_1)1+3+1+3мыI4Бсодержащимудачнораспо.получим:2131-5О• -1 -12 142+(_1)1+4+1+3+5I-14 321 • 1-334 -321 -5151 ++ (_1)3 +4+1+3 I2 1/ • 113 -21 -511 =-1 34 2 5= (-8).
(-20) -(-10). (-62) -7 ·87 =-1059.§ 7.Правило КрамераИзложенная выше теория определителей n-го порядка позволяетпоказать,чтоэтиопределители,введенныелишьпоаналогиисопределителями второго и третьего порядков, подобно последниммогут быть использованы для решения систем линейных уравнений.Сначала сделаем, впрочем, одно дополнительное замечание, связанное с разложения ми определителей по строке или столбцу; этозамечание будет в дальнейшем неоднократно использоваться.Разложим определительd=аа•..а 21о.. ацаl!•••аlnо.. а 2n[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ54по его1столбцу:j-MYd = aljAlj+ a 2j A 2у+ ...+ anjAnj,а затем заменим в этом разложении элементы [го столбца Системой n произвольных чисел Ь 1 , Ь 2 , ... , Ь n • Выражениеb 1A 1j + b 2A 2j + , ..которое мы получим,j-MYбудет,+ bnA nj,очевидно,служитьразложениемпостолбцу для определителяаl1 ..
, Ь 1 ... а 1nа21Ь2•••а 2nа n l •• , Ь n.,.........d' =•••а nnполучающегося из определителя d заменой его j-ro столбца столбцом из чисел Ь 1 , Ь 2 , ... , Ь n • В самом деле, замена j-ro столбцаопределителяdневлияетнаминорыэлементовэтогостолбца,а поэтому и на их алгебраические дополнения,Применим это к случаю, когда в качестве чисел Ь 1 , Ь 2 ,берутся элементы k-ro столбца определителя d при k =f=. j.делитель, который мы получим после такой замены, будетжать два одинаковых столбца (j-й и k-й) и поэтому будетнулю.
Равно нулю,теля по егоследовательно, и разложениеэтого... , Ь nОпресодерравенопределистолбцу, т. е.j-MYa 1kA 1j + a 2k A 2j + ...+ ankA n] =0приj =f=. k.Таким образом, су.мма произведений всех элементов некоторого столбца определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другого столбца равна нулю. Такой жерезультатсправедлив,конечно,идляс т р о кПереходим к Qассмотрению системчемограничимсяненийпокаравнослучаемчислуопределителя.линейныхсистем,вуравнений,которыхнеизвестных,т. е.ч и с л оприу р а всистем видаа ll Х 1 + а 12 Х 2 + ...
+ а 1nх n = Ь 1 '}a 21 x 1+ а 22 Х 2 + ... + а 2nхn =а n1 Х 1+ а n2Х2 + ... + аnnхn =Ь n 'Ь2 ,.......... ....дополнительно предлоложим, что определительциентовпринеизвестныхвЭтойсистеме,(1 )dизназываемыйкоэффикраткоопределителем систе.лtЫ, отличен от нуля. При этих предположениях мы докажем, что системаВ§ 2,мы умножализатем(1)совместна и даже определенна.решая систему трех уравнений скаждоескладывалиэтиизуравненийуравнения,напоследвух неизвестных из трех окаЗывалисьтремянеизвестными,некоторый множитель,ачего коэффициенты приравными нулю. Сейчас мы§ 7]ПРАВИЛО55КРАМЕРАлегКо обнаруживаем, что множители, которые нами употреблялись,былиалгебраическимидополнениямив определителесистемык элементу, являющемуся коэффициентом при искомом неизвестном в данном уравнении.
Этот же прием будет теперь использовандля решения системы (1).Предположим сначала, что Система (1) совместна и а 1 , a z, ... ,а n - одно из ее решений. Справедливы, следовательно, равенства+ a 12a z + ... + а 1nаn = Ь 1 ,+ а 22 а2 + ... + aznan =b z,. . ... . . .........аn1 а 1 + а n2 а 2 + ...
+ аnnаn = Ьn ·ава1}а 21 а 1(2)Пусть j будет любым из чисел 1, 2, ... , n. Умножим обе частипервого из равенств (2) на Ач, т. е. на алгебраическое дополнение элемента а 1! в определителе системы d; обе части второгоравенства умножим на A Zj и т.
д., наконец, обе части последнего-на А nг Складывая затем отдельно левые и отдельно правыечасти(a l l A 1jвсехравенств,мыпридемкследующемуравенству:+ a21 A 2j + .. ·+ an1Anj) а 1 ++ (a 12 Alj + a 22 A 2j + ... + anzA nj) a z +.. . . . . . . . . .... . . . . . ..+ (а 1n Ач+ a 2nA 2j + .. ·+ annAnj) аn == b1A 1j+ b2A 2j + ... + bnA nJ•Коэффициентом при а j в этом равенстве служитенты при всех остальных а будут, ввиду сделанногоd,коэффицизамевышечания, равны нулю, а свободный член будет определителем, получающимсяизопределителяdпослезаменыстолбцом из свободных членов системыопределитель мы обозначим, как и в §ствовhem.J-го столбца(1). Если этот последний2, через d j, то наше равен-примет видоткуда, ввидуd =1=О,Этим доказано, что если системаединственным(1)совместна, то она обладаетреше ниемd1a1=d'(3)56[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
