1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Числа aj , i1, 2,называться KOMnOHgHmaMU вектора а. Векторы а и... , n,будут(2)будут считаться равны,м,и в том случае,поненты,стоящиеi = 1, 2, ... , n.наДляодинаковыхобозначенияеслиместах,совпадаютт. е. есливекторовбудутдальше малые греческие буквы, в то время какajихком­= bjприупотреблятьсямалыелатинскиебуквы будут использованы для обозначения чисел.В качестве примеров векторов укажем следующие:отрезки,выходящиеизначалакоординат на плоскостимерном пространстве, будут принатсоответственноного вышеуравнения сдвух-ификсированнойтрехмерными1)Векторы­илисистемевекторамивв трех­коорди­смысле дан­определения.2) Коэффициенты всякого линейногоn неизвестными составляют n-мерный вектор.

3) Вся­кое решение любой системы линейных ураВllений с n неизвестнымиn-мерным вектором. 4) Если дана матрица из s строк и nбудетстолбцов, то ее строки будут n-меРНЫhШ векторами, столбцы­s-мерными векторами. 5) Сама матрица из s строк и n столбцовможет рассматриваться как sn-мерный вектор: достаточно прочестьэлементы матрицы подряд, строчку за строчкой; В частности, всякаяn может рассматриваться как n 2 -мер­очевидно, всякий n 2 -мерный вектор можетквадратная матрица порядканыйвектор',причем,быть получен этим путем из некоторой матрицы порядкаСу,м,,м,ой векторов(1)и(2)a+~=(al+bl' а 2 +Ь 2 ,компонентыкоторогосутьn.называется векторсуммы...

,аn+Ьn ),соответствующих(3)компонент сла­гаемых векторов. Сложение векторов коммутативно и ассоциативноввидукоммутативностии ассоциативностисложениячисел.Роль нуля играет нулевой векторо= (О,О,... ,О).(4)[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)622Действительно,0:+0=(а 1 +О, а 2 +О,... ,а n +0)=(а 1 , а 2 , ... , аn)=о:·Для записи нулевого вектора мы употребляем тот же символ О,как и для числа нуль; решение вопроса, говорится ли в данныймоменточисленульвит затруднений;илионулевомвекторе,читатель должен помнить,никогдаоднако,непредста­при изученииБJJижайших параграфов о возможности различных толкований сим­вола О.Назовем nротивоnоложн,ы,м, вектору(1)вектор(5)Очевидно, что а+(-а)=О. Теперь легко видеть, что для сложе­ния векторов существует обратная операция-вычитание: разн,остьювекторови(1)будет вектор o:-~ =a+(-~), т.

е.(2)(6)Сложение n-мерных векторов, определяемое формулойникловизгеометрическоготрехмерномсложенияпространстве,векторовпроизводимогопона(3),плоскостиправилувоз­илипараллело­грамма. В геометрии используется также умножение вектора на дей­ствительное число (на «скаляр»): умножение вектора а на числоkk <1),аозначает приприkk>О растяжение о: в<О растяжение вI k I разkраз (т. е. сжатие прии изменение направления на противо­положное. Выражая это правило через компоненты вектора о: и пере­ходя к рассматриваемому нами общему случаю, мы получаем такоеопределение:Произведен,ие,м, вектора(1)на числоkназывается вектор(7)компонентыкомпоненткотороговектораравныИз этого определенияпр.оверкакоторыхпроизведениюнаkсоответственныха.следующиеBblTeKaIqTпредоставляетсяважные свойства,читателю:k (а +~) =ka + k~;(k +/) о: = ka + /а;k (/а) = (k/) 0:;l·а=а.Столь же легко проверяются, но могут быть полученыствия из свойств(8)-(11),(10)(11)и как след-следующие свойства:0'<1=0;(-I).а=-а;если(8)(9)k.O=O;ka=O, то или k=O, или а=О.(12)(13)(14)(15)§ 9]63ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВСовокупность всех n-мерных векторов с действительными компо­нентами,рассматриваемаясложениявекторовиn-.мерны.мвекmорны.мПодчеркнем, чтосопределеннымиумножениивекторавнанейоперациямичисло,называетсяnросmрансmво.м.вопределениеn-мерноговекторногопрост­ранства не входит никакое умножение вектора на вектор.

Опреде­лить умножение векторов было бы легко-положить, например, чтокомпонентыпроизведениявекторов равны произведениям соответст­венных компонент сомножителей.Такоеумно'),Кениененашло быу нас, однако, никаких серьезных приложений. Так, векторы-отрезки,выходящиеизначалапространстве,двумерноеи,координатсоставляютприсоответственно,наплоскоститрехмерноеСложение векторов и умножение векторапримере,втокак уже отмечено выше,времяникакогокакпокомпонентномуразумногоилификсированнойвтрехмерномсистеме координатвекторныепространства.на числоимеют в этомважныйгеометрическийсмысл,умножению векторов нельзягеометрическогодатьистолкования.Рассмотрим еще один пример.

Левая часть линейнОГО уравненияотnнеизвестных,т.е.выражениевида1= а 1 Х 1 + а 2 Х 2 + ... + аnхn ,называется линейной фор.моЙ ОТ' неизвестных х 1 , х 2 , ••• , Хn ' Линей­вполне определяется, очевидно, вектором (а 1 , а 2 , ... , а n )из своих коэффициентов; обратно, всякий n-мерный вектор одно­ная формаIзначно определяет некоторую линейную форму.

Сложение векторов,иумножениевектораначщлопревращаютсяоперации над линейными формами; этизовалисьвэтомнамипримерев§ 1.неимеет§ 9.Вектор~из= kaвойсмысла.Линейная зависимость векторовn-мерноговекторногоnроnорциональны.м вектору а,~соответствующиешироко исполь­Уf\1ножение векторов иПо компонентноеникакоговоперации(см, формулу(7)пространстваназываетсяесли существует таК,ое числоk,чтопредыдущего параграфа). В частности, нуле­вектор пропорционаленлюбомувекторуО=О·а.

Если же ~=ka и ~+O, откудадля не нулевых вектороваввидуравенстваk+O, то a=k-l~, т. е.пропорциональностьобладаетсвойствомсимметричности.Обобщением понятия пропорциональности векторов служит сле­дующее понятие, с которым (для случая строквстречались вматрицы)мыужевектор ~ называется линейной ко.мбинацuеЙ век­a s ' если существуют такие числа 11' 12' ... , I s ' что§ 4:торов а 1 , а 2 , ... ,~ = 11 а 1+ '2а2 + ... + lsas•Таким Qбразом, j-я компонентавектора~,j=1, 2, ...

, n,равна,64СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)ввидуопределениячисло,суммесуммывекторовj-x11' 12, .•. ,произведений's.соответственно наСистема векторовипроизведениякомпонент векторов[ГЛ.вектораа1 ,аа ,(г~2)называетсявекторовлинейноявляетсязависи'м'ОЙ,линейнойеслихотякомбинацией... ,2наUs(1 )быодиностальныхизэтихвекторовсистемы (1), И линейно независи,М,ой- в противоположном случае.Укажем другую форму этого весьма важного определения:системачислачтовекторовk1, k2 ,имеет••• ,место(1) линейно зависима, если существуютk r, хотя бы одно из которых отлично оттакиенуля,равенствоk 1 rx 1 + k 2rx2 + ...

+ krrxr =О.(2)доказательство эквивалентности ЭТИХ ДВУХ определениi-\ не пред­вектор а г ИЗ системы (1)ставляет затруднений. Пусть, например,есть линейная комбинация остальных векторов:а г = [1 а l+ [~a2 + ... + 'r- 1rxr - 1·Отсюда вытекает равенство'lrx1+ 12rx + ... + 'r-1rxr2а г = О,1-= 1,=т. е.равенство вида (2), где kjIj для ik r = - l , т. е. kr=l=O. Пусть, обратно, векторыношением(2),в котором,например,kr=l=O.2, •.. , г - 1 и(1) Связаны соот­Тогдаа г =( -~)rxl +( -~)a2+"'+( _kk;1)rxr_1,т. е.

вектор а г оказался линейной комбинацией векторовПри м е р.!Хlrx 1,rx 2 , ... ,rxr- 1•Система векторов=(5, 2, 1),!Х 2 =(-1,3, 3),!Хз=(9,7, 5),~=(3, 8, 7)линеliно зависима, так как векторы связаны соотношением4!Xt -!Х2-3аз +2а4 =0.В 9ТОМ соотношении все коэффициенты отличны от нуля. Между нашимивекторами сущес~уют, однако, и другие линейные зависимости, в которыхнекоторые из коэффициентов равны нулю, например2СХl +а2-аз=0,Второеизданныхвыше3а2+аз-2ас=0.определенийлинейнойзависимостиприменимо и к случаю г= 1, т.

е. к случаю системы, состоящейиз одного вектора а: эта систе'м'а тогда и только тогда будетлинейно зависи'м'ОЙ, еслинапример, при k= 1 будетто а=О,rx = О. Действительно, если rx = О, то,krx=O, Обратно, если krx=O и k =1= О,§ 9]ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ65ВЕКТОРОВОтметим следующеесвойство ПОНSl.Тия линейной зависимости.Если некотораn подсистема системы векторов (1) линейнозависима, то и вся система (1) линейно зависима.Действительно,s<гдег,пустьвекторы <х 1 ,<Х 2 '<Xs••• ,из системы(1),связаны соотношением+ k 2<X a + '" + ks<Xs = О,k 1 <X 1В котором невсекоэффициентыравнынулю.Отсюдаследуетсоотношениеk 1<X 1 +k2~Т. е. система(1)+ ... +ks<Xs +O'<X +1 + ...

+O'<xr=O,Sлинейно зависима.Из этого свойства вытекает л и н е й н а Як о йс и с т е м ыв е к т о р о в,з а в и с и м о с т ь в с я­с о д е р ж а щейд в ар а в н ы хи л и, в о о б щ е, д в а про пор Ц и о н а л ь н ы х в е к т о р а, а т а к­ж ев ся к ойЗаметим,чтос и с т е м ы,с о д е р ж а щейдоказанномусейчасн у л е в о йсвойствуможнов е к т о р.датьтакуюформулировку: если система векторов (1) линейно независима,то и всякая ее nодсисте.Аtа также линеЙR.О независима.Возникает вопрос, как много векторов может содержать линейнонезависимаяности,систематакиеn-мерныхсИстемывекторовс произвольноИсуществуют ли,большимчисломвчаст­векторов.Для ответа на этот вопрос рассмотрим в n-мерном векторном про­~TpaHCTBeвекторыО,... ,,.,.,О),8 n =(0, О, О,...

,1),81 =(1, О, О,82=(0, 1,О), }(3)называемые единичными векторами этого пространства.Системаединичных векторов будет линейно независимой: пустьk18 1+ k 2 8 2 + ... + k n8 n =0;так как левая часть этого равенств:!равна вектору(k 1 , k 2 ,••• ,k n ),то(k 1 , k 2 ,т. е.ki=O, i=l, 2, ... , n,вектораихравнынулю,соответственныха... ,такравенствоkn) =какО,всевекторовкомпонентыравносильнонулевогоравенствукомпонент.Мы нашли, таким образом, в n-мерном векторном пространствеодну линейно независимую i:истему, состоящую из n векторов.Читатель увидит позже, что на самом деле в этом пространствесуществует бесконечно много различных таких систем.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)66[гл.Докажем, с другой стороны, следующую теорему:Всякиf1 s векторов n-"ftерного· векторного пространстваs> nставляют при2со­линейно зависимую систему.Пусть, в самом деле, нам даны векторыСХ 1 =(а l1 , а 12 ,СХ 2=(а 21 , а 22 ,Нам нужно подобрать такие числанулю,чтокомпонентами,(4)неks ,••• ,всеравные+ ...

+kscxs=O.k 1cx 1 +k 2cx 2Переходя от равенстваk1, k 2,(4)к соответствующимравенстваммеждуполучаемa l l k 1 +a 21 k 2a 12 k 1 +a 22 k 2a 1n k 1+ ... +a s1 k s =O,+ ... +as2 k s =O,+ a 2n k z + ... + asnk s =(5) составляют, однако, системууравнений относительно s неизвестных k 1 ,Равенстванений в этой системедоказано в концеменьше§ 1,числа~n(5)IО.Jлинейных однородныхk 2, ••• , k s'неизвестных,Число урав­а поэтому,какэта система обладает ненулевыми решениями.Таким образом, можно подобрать числаk 1, k 2 ,ные нулю, которые удовлетворяют требованиюНазовем линейно\(4).••• ,k s,не все рав­Теорема доказана.независимую систему n-мерных векторов(6)максимальной линейно независимой системой, если добавление к этойсистеме любого n-мерного вектора ~ дает уже линейно зависимуюсистему.

Характеристики

Список файлов книги