1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ОПРЕДЕЛИТЕЛИtПокажем теперь, что система чисел (3) на самом деле удовлетворяет системе уравнений (1), т. е. что система (1) совместна.При этом мы используем следующую общеупотребительную символику.+ а 2 + ... + а nВсякая сумма вида а 1nчаться через ~ a j • Еслижебудет сокращенно обознарассматривается сумма,(=1a jjкоторойснабженыдвумяиндексами,слагаемыеi = 1, 2, ... , n,причемт, то можно сначала взять суммы элементов с фиксиj= 1, 2, ... ,mрованным первым индексом, т. е. суммы ~aji' где i= 1, 2, ... ,N,}=1а затем сложить все этивсехaj /элементовсуммы.Мыполучимтогдадлясуммызаписьmn~ ~ajJ'(=1 J=1Можнобылобы,однако,вн ачалес фиксированным вторым индексом,складыватьа затемслага~мыеaj/уже складывать полученные суммы. Поэтомуnm~nт.1: alj=.~ 1: а; j't=IJ=1J=11=1т.
е. в двойной су.м.ме .можно .менять nорядо/С су.м.мuрованuЙ.Подставим теперь в ё-е уравнение системы (1) значения неизвестных (3). Так как левую часть i-ro уравнения можно запи~атьnnВ виде ~ ajjX j и так как d J = ~ bkA k /, то -мы получим:J=1k=1n~ a jj •d:n (nLJ=1J=1ОтносительноЛОСhобщимвынеслиза) = dI Ln (n~I={[ ~ a jjэтихk=lпреобразованийсуммы;мирований множительbkb,kk=1множителемзнакbkAkjвовсехкрометого,вынесенза)ajjAkjчточислослагаемыхипоэтомузнаккак от индекса внутреннего суммированияпеременыIdзаметим,после•J=1оказамы егопорядкаСУМвнутренней суммы, такjон не зависит.nМы знаем, что выражение .~аjjАkj-аilАkl+аj2Аk2+ ... +аjnАkn/=1будет равно d при k=i и равно Ообразом, в нашей внешней сумме по kraeMoe, а именно b,d, т.
е.dn~~a.j •IIпри всех других h. Такимсстанется лишь одно сла.J..=-.bd=b.dd'"& 7]ПРАВИЛОЭтим доказано, что система чиселнием для системы уравнений57КРАМ ЕРАдействительно служит реше(3)(1).Мы получили следующий важный результат:Система n линейных уравнений с n неизвестными. определитель которой отличен от нуля. обладает решением, и npumO.Atтолько одн.им.
Это решение получается ПО формула.., (3), т. е. поправилу Крамера; формулировкаэтогов случае системы двух уравнений (см.При м е р.правила такова же.как и§ 2).Решить систему линейных уравнений2х ! + х 2 -5х з + Х 4 =-бХ 4 =Хl-3Х28.}9.2х 2 - хз+ 2Х 4=-5.Xl+4X2-7хз+БХ4-'" О.Uпределитель этой системы отличен от нуля:2 1-51-3 О-бО 2 -12 =27.1 4 -7 бпоэтому к системе применимо правило Крамера.дутиметьчислителями8 1 -59 -3 О-5 2 -1О4 -7d1 =dз =2 1 81 -3 92 -5О4 ОЗначения неизвестных буопределители1-б ~2d2 ==81.б1-б2=-27,d4 =б2 8 -51 9 О0-5 -10-71-б2 =-108,б2 1 -5 81 -3 О 9=27,О2 -1 -51 4 -7 ОТаким образом,будет решением нашей системы,Мысистемыисключилиnизпритом единственным.рассмотренияМы отнесем этот случай к гл.теории систем с любымвестных.nлинейных уравнений счислом2.случай.ког данеизвестными(1)определительравеннулю.где он найдет себе место в общейУРdвненийиJlюбым числом неиз[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ58Относительносистемnлинейныхуравнений1n неизвестнымиn линейных О дссделаем еще одно замечание. Пусть дана си'СтемаН О Р О Д Н Ы Х уравнений с n неизвестными (см. § 1):al1Xl+a12X2+···+alnXn=0,}+ а22Х2 + ... + а 2nХn = О,. . . . . . . . ... . . . . .а n1 Х 1 + а n2Х2 + ... + аnnх n = О.а 21 Х 1Все определителиn,d/, j= 1, 2 ... ,(4)содержат в этом случае столбец,составленный из нулей, и поэтому равны нулю. Таким обра.;зом,еслиопределительсистемы(4)отличенотнуля,т.е.если1< этой системе применимо правило Крамера, то единственным решеJiием системы(4)будет нулевое решение(5)Отсюда вытекает такой результат:Если система n линейных однородных уравнении о n неизвестными обладает решениями, от личными от нулевого, то определитель этой системы необходимо равен нулю.В§ 12будет показано, что и обратно, если определитель такойсистемы действительноравеннулю,то,помимосуществование которого для всякой системынулевогорешения,однородных уравненийочевидно, у нее будут существовать и другие решения.При м е р.При каких значенияхk система уравненийkx1 +X2 =O, }Х 1 + kX 2=Oможет обладать ненулевыми решениями?Определитель этой системы'~ :1=k -1k= ± 1.2будет равен нулю лишь придвух значений k заданн~я системаJIИЧНЫМИот нулевого.Значение правилачтовЛегко видеть, что при каждом из этихдействительно обладает решениями, оттехслучаях,Крамеракогдаэтозаключается главным образом в том,правилоприменимо,онодаетявноевыражение для решения системы через коэффициенты этой системы.Лрактическоесиспользованиеправилавесьма громоздкими вычислениями:Крамерав случаесвязано,системыn+однако,линейныхс n неизвестными приходится вычислять n1 определитель n-го порядка.
Метод последовательноtо исключения неизвестных, изложеНН\>IЙ нами в § 1, является в этом отношении многоболее удобным, так как вычисления, котор.ых этот метод требует,уравнений§ 7]ПОПРАВИЛОсуществувычисленииравносильныо д н О г Отем,59КРАМЕРАкоторыеопределителяn-гоприходится выполнятьприпорядка.В различных приложениях встречаются системы линейных уравнений, коэффициенты и свободные члены которых являются действительнымичислами,полученнымиврезультатеизмерениянекоторых физических величин, т.
е. известными лишь приближенно,с некоторой точностью. Для решения таких систем изложенныевыше методы оказываются иногда неудобными, так как они при водят К результату с плохой точностью, и вместо них разработаныразличныеи т е р а Ц и о н н ы ем е т о д ы,т.е.методы,позволяющие решать указанные системы уравнений при помощи последовательного приближения неизвеС1 ных. Изложение этих методов читатель найдет в книгах по теории приближенных вычислений.ГЛАВАВТОРАЯСИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)§ 8.n-мерное векторное пространстводля построения общей теории систем линейных уравнений недостаточно того аппарата, который с такимуспехомпослужилнампри решении .систем, допускающих применение правила Крамера.Помимо определителей и матриц, мы должны будем использоватьодно новое понятие, представляющее, быть может, еще большийобщематематический интерес, а именно понятие м н о г о м е р н о г ов е к т о р н о г опро с т р а н с т в а.Сначала несколько предварительныхлитической геометрии известно,замечаний.
Изделяется (при заданных осях координат) своимитами,т. е.упорядоченнойкурса аначто всякая точка плоскости опресистемойдвухдвумякоординадействительных чисел;всякий вектор на плоскости определяется своими двумя компонентами,т. е.сноваупорядоченнойсистемойдвухдействительныхчисел. Аналогично всякая точка трехмерного пространства определяется своими тремя координатами, всякий вектор в пространстветремякомпонентами.В геометрии, а также в механике и физике частоприходится,однако, изучать такие объекты, для задания которых недостаточнотрех действительных чисел. Так, рассмотрим совокупность шаровв трехмерном пространстве.
для того чтобы шар был полностьюопределен,нужнозаДi!ТЬкоординатыегоцентраирадиус,'Задать упорядоченную систему четырех действительныхт.чисел,е.изкоторых, впрочем, последнее (радиус) может принимать лишь положительные значения. Рассмотрим, с другой стороны, различныеположения твердого тела в пространстве. Положение тела будетвполне определено, если будут указаны координаты его центратяжести (т. е. три действительных числа), направлениенекоторойфиксированной оси, проходящей через центр тяжести (два числадва из трехнаправляющих косинусов),и,наконец, угол поворотавокруг этой оси. Таким образом, положение твердого тела в пространстве определяется упорядоченной системойвительныхчисел.изшестидейст§ 8]n-МЕРНОЕВЕКТОРНОЕ61ПРОСТРАНСТВОЭти примеры указывают на целесообразность рассмотрения совокупности всевозможных упорядоченных систем изn действительныхчисел.
Эта совокупность после введения в нее операций сложенияи умножения на число (что будет сделано ниже по аналогииссоответствующимиоперацияминадвекторамитрехмерногопространства, выраженными через компоненты) и носит название n-мерного векторного пространства. Таким образом, n-мерное пространство есть лишь алгебраическое образование, сохраняющее некоторыепростейшиеранства,свойствавыходящихсовокупностиизначалаnУпорядоченная системавекторовтрехмерногопросткоординат.чисел(1 )=называется n-,м,ерны,м, oeKmopo.,u.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
