1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Как ~итательпомнит,изучение уравненийначинается с очень простого случая одного уравнения первой степенисоднимнеизвестным,азатемразвиваетсявдвухнаправлениях.С одной стороны, рассматриваются системы двух и трех уравненийпервойстепени с двумяс другой стороны,неизвестным,а такжевысокой степени,уравнения,и,соответственно,тремяизучается одно квадратноенекоторыелегкочастныесводящиесянеизвестными;уравнение с однимтипыуравнений болеек квадратным(биквадратныенапример).Эти оба направленияполучаютдальнейшееразвитие в курсеВh:Сшей алгебры, определяя ее разбиение на два больших отдела.Один из них, а именно основы линейной алгебры, имеет исходнойзадачейизучение произвольных системуравнений первой степениили, как говорят, линейных уравнений.

Для решения таких систем·втом случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, раз­рабатывается аппарат теории определителей.Этого аппарата уженедостаточно, однако, для изучения таких систем линейных уравнений,укоторых число уравнений не равно числунеизвестных,-случай,непривычный с точки зрения элементарной алгебры, но очень важныйдля приложений. Оказалось необходимым, вватьтеориюматриц,т.ные или прямоугольныее.системчисел,частности, разрабаты­расположенных вквадрат­таблицы из нескольких строк и столбцов.Эта теория оказалась очень глубокой и нашла приложения далекоза пределами теории систем линейных уравнений. С другой стороны,изучение систем линейных уравнений потребовало введения и изуче­ниямногомерных (такназываемыхвекторныхили линейных)8ВВЕДЕНИЕпространств. У людей, далеких от математики, с многомерным (в пер·вую очередь с четырехмерным) пространством связываются туманныеи часто ошибочные представления; в действительности же это поня­тие является чисто математическим, даже в основном алгебраическим,и служит важным орудием во многих математических исследованиях,атакже в физике и механике.Вторая половинакурса высшей алгебры,называемая алгеброймногочленов, посвящена изучению одного уравнения от одного неиз­вестного,но уже произвольнойстепени.Учитывая сущеСтвованиеформулы для решения квадратных уравнений, естественнО былоискать аналогичные формулы для уравнений более высоких степеней.Исторически этот отдел алгебры так и развивался, причем формулыдля решения уравнений третьей и четвертой степени были найденыеще вXV\которыевеке.

После этого начались безуспешные поиски формул,выражалибыкорниуравненийпятойи болеевысокихстепеней через коэффициенты этих уравнений при помощи радикалов,быть может и очень многоэтажных. Эти поиски продолжались доначала XIX века, когда было, наконец, доказано, что такие формулыне могут быть найдены и что для всех степеней, начиная с пятой,существуют даже конкретные примеры уравнений с целочисленнымикоэффициентами,мощикорникоторыхне могут быть записаны при по­радикалов.Отсутствие формул для решения уравнений высоких степеней неследует считать очень печальным обстоятельством-даже в случаеуравнений третьей и четвертой степени, где такие формулы суще­ствуют,ониоченьгромоздки и практическипочтибесполезны.е другой стороны, коэффициенты тех уравнений, которые прихо­дится решать физикам или инженерам, являются обычно величинами,полученными врезультате измерений, Т.

е. извеСТI ы лишь прибли­женно, а поэтому и корни нужно знать лишь приближенно, с задан­ной точностью. Это привело к разработке различных методов при­ближенного решения уравнений, лишь простейшие из которых изла­гаются в курсе высшей алгебры.Центральнымвалгебревопрос о практическоммногочленовоказывается,разыскании корней уравнений,однако, неа вопрос обих существовании. Известно, что существуют даже квадратные урав­нения с действительными коэффициентами, не имеющие действитель­ных корней.

Пополняя запас чисел до совокупности всех комплекс­ных чисел, мы обнаруживаем, что квадратные уравнения уже корнямиобладают и что этожесправедливо и дляуравненийтретьей ичетвертой степени, как вытекает из существования формул для ихрешения. Не найдется ли, однако, такое уравнение пятой или болеевысокой степени,которое не имеет ни одногокорня даже средикомплексных чисел, и не придется ли для разыскания корней подоб­ных уравнений переходить от комплексных чисел к более широкомузапасу чисел? Ответ на этот вопрос даетважная теорема, утвер-9ВВЕДЕНИЕждающая, что всякое уравнение с люБЫ'IИ числовыми коэффициен­тами,неголько деЙСl вительными,но и комплексными,имеет ком­плексные (быть может, в частности, действительные) корни, причемкорней этих,вообще говоря,даже столько,какова степень урав­нения.Таков краткий обзор основного содержания курса высшей алгебры.Следует подчеркнуть, что высшая алгебра является лишь начаnомбольшой алгебраической науки, очень разветвленной, богатой содер­жанием и постоянно развивающеЙся.

ПОПЫl аемся дать обзор, ещеболее беглый, техветвейалгебры,которые в основном лежат запределами курса высшей алгебры.Линейная алгебра,в основномявnяющаисябольшойнаукой,посвященнойтеории матриц н связанной с нею теории линейных пре­образований векторных пространств, включает в себя также теориюформ, теорию инвариантов и тензорную алгебру, играющую важнуюроль в дифференциальной геометрии.

Теория векторных пространствполучает дальнейшее развитие вне алгебры, вфункциональном анализе(бесконечномерные пространства). По разнообразию и значительностиприложений как в математике, так и в механике, физике и техни­ческих науках линейная алгебра остается пока первой среди много­численных ветвей алгебры.Алгебра многочленов, развивавшаяся на протяжении многих деся­тилетий какнаукаоб одномуравнениипроизвоnьнойстепениотодного неизвестного, теперь уже в основном закончена.

даnьнейшееразвитие она частично получила в некоторых разделах теории функ­цийкомпnексного переменного, в основном же переросла в теориюполей, о которой скажем ниже. Что жевопроса о системахлинейных,ауравнений откасаетсянесколькихпроизвольных степеней,-очень трудногонеизвестных,нонеэтот вопрос, объединяющийоба направления, разрабатываемые в курсе высшей алгебры, в самомэтомкурсе почтине затрагивается,-то он по существуОТНОСитсяк особой ветви математики, называемой алгебраической геометрией.Исчерпывающеерешениевопросаобусловиях,прикоторыхуравнение может быть решено в радикалах, было дано французскимматематиком Галуа (1811-1832). Его иссnедования указали новыенаправления в развитии аnrебры, что привеnо уже в ХХ веке, послеработ немецкой женщины-аnгебраиста Э.

Нетер (1882 - 1935), к офор­млению новой точки зрения на задачи алгебраической науки. Сейчасбесспорно,что вовсе не изучение уравнений явnяется центральнойзадачей алгебры. Истинным объектом алгебраического исследованияследует считать алгебраические операции, подобные сложению илиумножениючисел,нопроизводимые,возможно,ненадчислами.Уже школьнику приходится встречаТQСЯ в курсе физики с опера­цией сложения сил. Математические дисциплины, изучаемые на первыхкурсах университетов и педагогических институтов, приносят много­численные при меры алге6раИ ' lеских операций -сложение и умножение10ВВЕДЕНИЕматриц, функций, операции над преобразованиими пространства, надвекторами и т.

д. Эти операцииобычно похожи на операции надчислами и носят те же названия,ноиногданекоторые свойства,привычные в случае чисел, оказываются утерянными. Так, очень частои в оченьважных случаях операцииоказываютсянекоммутативными(произведение зависит от порядка сомножителей), а иногда и неассо­циативными (hроизведение трех множителей зависит от расстановкискобок).Наиболеесистематическомуизучениюподвергаются немногие,наиболее важные типы алгебраических систем, т. е.

множеств, соста­вленных из элементов какой-либо при роды, для которых определенынекоторые алгебраические операции. Таковы, в частности, поля. Этобудут алгебраические системы, в которых, подобно системе действи­тельныхисистемекомплексныхчисел,определеныоперацииния и умножения, обе коммутативные и ассоциативные,сложе­связанныезаконом дистрибутивности (т. е. справедливо обычное правило рас­крытия скобок) и обладающие обратными операциями-и делением.областью длиТеорияполейоказаласьестественнойвычитаниемдальнейшего развития теории уравнений, а ее основные ветвирияполейфункций-алгебраическихсвязалиеечисел и теориясоответственносполейтеорией-тео­алгебраическихчисел и теориейфункций комплексного переменного.

Ку рс высшей алгебры включаетв себя элементарное введение в теорию полей, а некоторые разделыкурса-многочлены от несколькихнеизвестных,нормальная формаматрицы-излагаются сразу для случая произвольного основного поля.Более широким,чем понятиеВ отличие от случая поля,деления и,здесьполя,являетсяпонятиеуже не требуетсякольца.выполнимостикроме того, умножение может быть некоммута гивным идаже неассоциативным. Простейшими примерами колец служат сово­купность всех целых чисел (включая и отрицательные), системамногочленов от одного неизвестного и система действительных функ­ций действительного переменного. Теория колец включает в себя такиестарые ветви алгебры, как теория гиперкомплексных систем и теорияидеалов,онасвязанасрядомматематическихнаук,вчастностис функциональным анализом, и уже нашланекоторые выходыв физику. Курс высшей алгебры, по существу, содержит лишь опре­делениепонятиякольца.Еще б6льшую область применений имеет теория групп.

Группойназывается алгебраическая система с одной основной операцией,причем эта операция должна быть ассоциативной, хотя не обязательнокоммутативной, и должна обладать обратной операцией - делением,если основная операции названа умножением. Такова, например, сово­купность целых чисел, рассматриваемая относительно операции сложе­ния, а также совокупность положительных действительных чисел, рас­сматриваемая с операцией умножения. Группы играли большую рольужев теории Галуа, в вопросе о разрешимости уравнениИ в ра.ТI,икалах,11ВВЕДЕНИЕсейчас же они являются важным орудием в теории полей, во многихразделахгеометрии,втопологии,атакжеивнематематики­в кристаллографии, в теоретической физике.· Вообще, по широтеобласти приложений теория групп занимает среди всех ветвейалгебры следующее после линейной алгебры место.

Наш курс вклю­чает в себя главу, посвященную основам теории групп.В самые последние десятилетия возникла и далеко развиласьновая область алгебры - теория структур. Структурой называетсяалгебраическаясистема с двумяоперациями-сложением и умно­жением. Эти операции должны быть коммутативными и ассоциатив­ными, а также удовлетворять следующим требованиям: и сумма, ипроизведение элемента с самимэтомуэлементу;еслисуммасобоюдвухДОЛlКныэлементовто произведение равно другому, и обратно.служитсистеманатуральныхчисел,равняться самомуравнаодномуПримеромрассматриваемаяизних,структурыотносительноопераций взятия общего наименьшего кратного и общего наибольшегоделителя.

Характеристики

Список файлов книги