1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 4
Текст из файла (страница 4)
, s-e; коэффициент из i-ro уравнения при неизХ1 , Х2 ,вое,вестномХ}обозначимчерезуравнения обозначим через1)а,/);Это название связано с тем, чтоние первойстепенисдвумянаконец,свободныйчленi-robj •ваналитическойнеизвестнымиопределяетгеометриипрямуюуравнелиниюнаплоскости.2) Мы употребляем, следовательно, два индекса, из которых первый указывает на номер уравнения, второй - на номер неизвестного. Для сокращения письма эти индексы не разделяются запятой; не следует, однако, в случае ан«зтривместочетыре»«3 одинqитатьодин»«ачитатьтридцать«аодиннадцать»,четыре».в случае аВ4вместоСИСТЕМЫ ЛИНЕlfных УРАВНЕниlf.16[гл.ОПРЕДЕЛИТЕЛИНаша система запишется теперь в следующем общем виде:а l1 Х 1а 21 Х 1ast x 1+ a + ... + a1r.Xn = b+ а 22 Х 2 + ...
+ а 2nх,. = Ь 2 ,-1 a x + ... + asnx n = bs '1,t2 \:2}(1)s2 2КоэффициеlJТЫ при неизвестных составляютпрямоугольную таб·лицуа1lан ... а1n)( a 21 a 22 ••• а 2п ,.....as1 as2называемуюматрицейизSчислустолбцов),порядкаn.тоДиагональasnстрокваются элементами матрицы!).матрица(2)иЕслиn столбцов; числа aijs=n (т. е. число строкназываетсяквадратнойэтоlf матрицы, идущаяотматрицейлевоговерхнегок первому нижнему углу (т. е. составленная из элементов а 11 ,.."а nn ),называетсяnпорядкаглавнойдиагональюКвадратнаябудет называться единичной матрицей порядкавсе элементы ееглавной диагонали равнывне этой диагоналиединице,аназы·равноа 22 , •••матрицаn,есливсе элементыравны нулю.Решением системы линейных уравнений (1) называетсятакаясистема n чисел k 1 , k 2 , ••• , k n , что каждое из уравнений (1) обра·щаетсявтождествопослезаменывнемнеизвестныхXiсоответствующими числами k i , i = 1, 2, ... , n 2).Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения и тогда она называется несовместноЙ.
Такова, например, системаx 1 +5х 2 = 1,x1 +5х2 = 7;левые части этих уравнений совпадают,этому никакаясистемазначенийно правые различны,неизвестныхнеможетипо·удовлетво,рить обоим уравнениям сразу.Если же система линейных уравнений обладает решениями, тоона называется совместной. Совместнан система называется определенной, если она обладает одним-единственным решением - лишьтакие системы Допускаютсн к рассмотрению в элементарной алгебре,-1) Таким образом, если матрицу (2) рассматривать вне связи с системой (1), то первый индекс элемента щ; указывает на номер строки, второй - на номер столбrlа, на пеpkсечении которых этот элемент стоит.2) Подчеркиваем, что числа k 1 , k 2 , .
, . , k" составляют о Д н о решениесистемы, а не n решений.§ l]МЕТОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГОи н,еоnределенн,оЙ.ИСКЛЮЧЕНИЯ17НЕИЗВЕСТНЫХесли решений больше чем одно; как мы узнаемпозже, их будет в этом случае даже бесконечно МНОГО. Так, системах 1 +2х 2 =7, }Х 1 +х 2 =4определенна: она имеет решение1,Х1 =Х2 =3п, как легко проверяется методом исключения неизвестного, это решение будет единственным. С другой стороны, система3х 1 -х 2 =1, }6х 1 -2х 2 =2неопределенна, так как имеет бесконечно много решений вида(3) .где числоk произвольно, причем решениями, получающимися поформулам (3), исчерпываются все решения нашей системы.Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработкеметодов,позволяющихнийнет, в случаеилиузнать, совместна ли данная система уравнесовместностиа также указать способ найтиустановитьчислорешений,все эти решения.Мы начнем с метода, наиболее удобного для практического разыскания решений смстем с числовыми коэффициентами, а именно .методаnоследовательн,огоиС1СЛЮ'f,ен,иян,еизвестн,ых.JtemoGaили'Гаусса.Вначале одно предварительное замечание.
Нам придется делатьдальшетакиепреобразованиячасти одного изчисло,вычитатьуравненийизсистемылинейных~истемы, умноженныесоответствующихчастейуравнений:наодно иобето женекоторого другогоуравнения системы. Пусть для определенности мы обе части первогоуравнения системы(1),умноженные на число с, вычитаем из соответствующих частей второго уравнения. Мы получим новую системулинейных уравнений:(4)гдеa~; = a 2 j - са 1 !Систе.мыприуравн,ений(1)j= 1, 2, •.• , n, b~ = Ь 2 и(4)Э1Свивален,тн,ы.т.сЬ 1 •е.обе н,есов.местн,ы. или же обе сов.местн,ы и обладаюттеми же решен,ия.ми.
В самом деле, пусть k 1 , k 2 , " "OIiUилиодни.ми иk n будет[гл.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ18(1).произвольное решение системы1Эти числа удовлетворяют, очевидно, всем уравнениям системы (4), кроме второго. Они удовлетворяют, однако, и второму уравнению системы (4)-достаточновспомнить,какэтоуравнения системыудовлетворять иуравнение(1).выражаетсячерезвтороеОбратно, всякое решение системысистеме(1).ипервое(4)будетДействительно, второе уравнение системы (1) получается вычитанием из обеих частей второго уравнениясистемы (4) соответствующих частей первого уравнения этой системы,умноженныхПонятно,.1tteueHbtчтоначислоеслиnреобразован,ия-с.системе"(1)будут нес"олжо раз nрирассмотрен,ноготипа,товновьполученная система уравнений останется э"вивалентной исходной системе (1).Может случиться, что послевыполнениятаких преобразованийв нашей системе появится уравнение, все коэффициенты левой частикоторого равны нулю.
Если и свободный член этого уравнения равеннулю, то уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, и поэтому, отбрасывая это уравнение, мы придем" системеуравнен,ий, э"вuвалентн,ой исходн,ой системе. Если же свободныйчленнерассматриваемогоможетуравнения отличен от нуля, то это уравнениеудовлетворятьсяниприкакихзначенияхнеизвестных,а поэтому nолучен,ная нами система уравнений, равно "Ш~ u э,,вuвалентная ей исходная систе.лta, будут н,есовместными.Перейдем теперь к изложению метода Гаусса.Пусть дана произвольная система линейных уравнений (1). Положим, для определенности, что коэффициент анделе он может, конечно, оказаться равнымначать с какого-либодругого,изсистемы.первогоуравнения=F О,хотя на самомнулю, и мы должны будемотличного отнуля,коэффициентаПреобразуем теперь систему (1), исключая неизвестное Х 1 из всехуравнений, кроме первого.
Для этого обе части первого уравненияумножим на число а 21 и вычтем из соответствующих частей второгоануравнения,затем обечасти первогоуравнения,умножен!lыеначисло а з1 , вычтем из соответствующих частей третьего уравнения,анит.д.Мы придем этим путем к новой системе изний сnsлинейных уравненеизвестными:а 11 Х 1+ а 12 Х 2 + а 1з х з + ... + а1nхn =Ь 1 ,a~2X2 + а~зхз + .. , + a~nxn= b~,a~2X2 + а~зхз + . , . + a~nxn= b~,J~;~x~ +~~~;3 ~. ,',: +'а:n;n' b~ . . J.(5)§ 1]МЕТОДПОСЛЕДОВА ТЕЛЬНОГОИСКЛЮЧЕНИЯНЕИЗВЕСТНЫХ19Нам нет необходимости явно записывать выражения новых коэффициентов а;! и новых свободных членов ь; через коэффициенты исвободные члены исходной системы (1).Как мы знаем, Система уравнений (5) эквивалентна системе (1).Будем преобразовывать теперь систему (5). При этом первое уравнение мы не будем больше трогать совсем и n о Д л е ж а щей пр ео б раз о в а н и я м будем считать лишь часть системы (5), СОСТОЯЩУЮиз всех уравнений,кроме первого.
При этом мы считаем, конечно,что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частейкоторых равны НУЛЮ,- такие уравнения мы выбросили бы, если быи их свободные члены были равны нулю, а в противном случае мыуже доказали бы несовместность нашей сис гемы. Таким образом,среди коэффициентов а;! есть отличные от нуля; для определенностипримем, что a~2О. Преобразуем теперь систему (5), вычитая из+обеих частей третьего и каждого из следующих уравнений обе частивторогоуравнения,умноженныесоответственно,начисла,аз\!а 4 \!а 22а 22-,-, -,-,...
, .aS2'а 22Этим будет исключено неизвестное Х 2 из всех уравнений, кроме пер;вого и второго, И мы придем к следующей системе уравнений, эквивалентной системеа ll Х 1(5),а поэтому и системе+ а 12 Х2 + а 1з хз +a~2X2 + а~зхз +"аззх з +(1):+ а 1nхn = Ь1 ,+ a~nxn = b~,+ a~nxn = b'~,1}. .
... . . . . . Jа;з х з + ... +а;nхn = ь;..Наша система содержит теперьt уравнений, t ~ s, так как некоторые уравнения оказались, возможно, отброшенными. Понятно, чточисло уравнений системы моглоуменьшиться уже послеисключения неизвестного х 1 • В дальнейшем подлежит преобразованиям лишьчасть полученной системы,содержащая все уравнения, кроме двухпервых.Когда остановится этот процесс последовательного исключениянеизвестных?Если мы придем к такой системе, одно из уравнений которойимеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левойчастиравнысовместна.нулю,то,какмызнаем,нашаисходнаясистемане20СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.[гл.1ОПРЕДЕЛИТЕЛИв противном случае мы получим следующую систему уравнений,эквивалентную(1):системе(6)Здесь а 11 :;;ь О, a~2:;;b О, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
