1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 69
Текст из файла (страница 69)
+ an_1X + а n ,некоторомрасширенииполя Р этотао=1= О,многочлен имееткорни Ct1 , (Х 2 ' ••• , а n , Очевидно, что среди этих корней тогда итолько тогда будут равные, если равно нулю произведениед= (а 2 -а 1 )(Ctз- Ct l)х( Ct з- Ct 2)( Ct 4- Ct 2)или. что то же,(а n -а 1 )х••• (а n -а 2 )хесли равно нулю произведениеD=a~n-2П(Ct i -Ct j )2,n:>i>i:>lназываемое дискриминантом многочлена [(х).В отличие от произведения д, могущего менять знак при перестановке корней, дискриминант Dсимметричен относительноCt 1 •(Х 2 '••• ,(х n И поэтому может быть выражен через коэффициентымногочлена [(х). Для разыскания этого выражения в пр е д п о л ож е н и и,чт оп о л еРи м е етха р а к т е р и с т и к ун у л ь,можно воспользоваться связью, существующей между дискриминантом многочлена [(х) ирезультантомэтого многочлена иего производной.
Наличие такой связи естественно ожидать: мы знаем из§ 49, что многочлен тогда и только тогда обладает кратными корнями, если у него есть общие корни с производнойтогда и только тогда DО, если R (f, /')о.=По формуле(3)=настоящего параграфаnR ([, [') = a~-l П[' (CtJ.{=1Дифференцируя равенствоnЛХ) = ао 11 (х -Ctk ),k=lмыполучаем:n[' (х) = ао ~ П (X-Ctj)'k=l i:;:: k/'(х), а поэтому344МНОГОЧЛЕНЫПослеподстановкиобращаются в- НУЛЬотНЕСКОЛЬКИХсюда а;и[ГЛ.НЕИЗВЕСТНЫХвместо х все слагаемые,кроме11i-ro,поэтомуj' (aj )= ао 11 (a-a j ),jн:;;откудаn11 ПR (j, j') = a~-l.
a~(a j-a j ).;~lj'F'в это произведение для любыхiиj, i> j,входит два множителя:(l,-a j и aj-a j • Их произведение' равно (-1).(a j -a)2, а так каксуществуетС1Вамn (n-l)2i, j,пар индексовn ~ i> j~ 1,УДОВ.'Iетворяющихтоn(n-l)R(j,неравен-n (n-l)f')=(_1)-2-a~n-lП(a j -а,)2=(-О--2-а оD.n:;"i>i:;"lПри м е р.Найдем диск риш!Нант квадратного трехчленаt (х)=ах 2 +Ьх +с.Так как['(х)=2ах+Ь, тоR ({,в нашем случае")=I}(n-l)2IаЬ сО2а ЬОквадратного= а(-Ь2+ 4ас).2а Ь1 и поэтомуЭто совпадает с тем, что в школьнойнантомIалгебреназывают обычно днскримиуравнения.Другой способ разыскании ДИСJ{риминанта состоит в следующем.Составим определитель 8андермонда из с1 епеней корнейКак ДОК;Jзано в § 6,апоэтому дискриминантженномуравенa 1, а 2 ,...
, а n •квадрату этого определителя,умнона a~n-2. Умножан этот опредеJJllrеllЬ на его транспониро-§ 55]ВТОРОЕванный поДОКАЗАТЕЛЬСТВОправилуумноженияматриц ивспоминаяв предыдущем параграфе степенные суммы,D=n518281525з525з54a~n-2При М е р.Найдем+ах 2 +Ьх+с. По5".(18)5"+15 2n _ 2корней а 1 , а 2 ,степенейдискриминантопределеННЫемы получим:5,,_1......5 n +l •••5 n _l 5"где Sk есть сумма k-x345основной ТЕОРЕМЫкуби 4НОГОаn ,"',многочлена(18)D=~l :~152::5зl (х) = х3 +1·54мы знаем из предыдущего параграфа,l(aK51=аl =-а,52=o~ -202 =а 2 -2Ь,5з = o~ -3(Jt(J2 +3а з =-аЗ +3ab-3с.Пользуясь формулой Ньютона, мы найде\! также, ввиду а484=0~-4a~a2= О,что+ 4а t(Jз + 2а: =a 4 -4а 2 Ь + 4ас +2Ь2 •ОтсюдаD=35254=а 2 Ь 2вмычастности,приа=+ 25\525з - 5 : -_4Ь 3О,т._4а 3 се.5~S4 -3B~ =+ 18abc-27с •2для неполн:)го(19)кубичного многочлена,получаемD=- 4&3_27с 2в полном соответствии с тем, что было сказано в§ 55*.§ 38.Второе доказательство основной теоремы алгебрыкомплексныхДоказательствосовершенноосновнойчиселтеоремы,приведенноевнеалгебраическим.
Мы хотим изложить§ 23,былосейчас другоедоказательство, использующее большой алгебраический аппараттак,внеысущественноиспользуетсятрических МНОГОЧ.'Iенах (§52),основнаяа такжеполя разложения для всякого многочленатеоремаосимметеорема о существовании(§ 49),-в то время какне алгебраическая часть этого доказательства является минимальнойисведенакодномувесьмаЗамеТИ~1 снача.'Iа, что впростому§ 23утверждению.доказана демма о модуле старшегочлена многочлена. Считая коЭффициенты многочлена/ (х) действи-346МНОГОЧЛЕНЫтельнымииотНЕСКОЛЬКИХk = 1,полагаямы[ГЛ.НЕИЗВЕСТНЫХполучаемизэтойлеммы11такоес л е д с т в и е:Прu действuтельuых зuачеuuях х, достаточuо больших поабсолютuой велuчuuе, зuаlC ,мяогочлеuа j (х) с деЙствuтеЛЬUЫ.lrlU1C0эффuцuеuта.lrtu совпадает со зuаlCО.,Jt его старшего Члеuа.Отсюда вытекает следующий результат:Мuогочлеu uечетuой стеnепи с деЙствuтельuы.lrtu lCоэффuцuеuта.,JШ и.lrtеет хотя бы одип действuтельuый 1C0репь.В самом деле, пустьj(x} =аох n + а 1 хn - 1+ ...
+а n ,причем все коэффициенты действительны. Ввиду нечетности n старший член аох n имеет при положительных и отрицательных зна чениях хразныезнаки,аотрицательныхпотому,как доказанозначениях х,выше,достаточноприположительных ибольшихпоабсолютнойвеличине, многочлен j(x} также будет иметь разные знаки.
Существуют, следовательно, такие действительные значения х, напримера и Ь,чтоЛа}Из курса анализаизвестно,циональная функция)j< О,ЛЬ}>О.однако, что многочлен (т. е. целая ра(х) является функцией непрерывной, а поэтому,ввиду одного из основных свойств непрерывных функций, при некоторых действительных значениях х, заключенных между а ипринимает любое заданное Зtjачение,j(Ь).Существует,что лсх}=впромежуточное междучастности, такоесх, лежащее междуЬ,j(x}f(a)иа и Ь,О.Опираясь наэтотрезультат,мы докажемтеперьследующееутверждение:ВСЯfСUЙ мuогО'lлен. nроuзвольн.оЙ стеnепи с действuтельнымu,.:оэффuцuеuтамu имеет хртя бы одип lCомnлеlCСUЫй lCорень.Пусть, в самом деле, дан многочлен j(x) с действительнымикоэффициентами, имеющий степеньТак какk> О,случайk=т.
е. считатьиндукцией поk,nn = 2 k q,О уже рассмотренгде q - нечетное число.выше, мыбудемполагатьчетным числом, и будем вести доказательствопредполагая, что наше утверждение уже доказанодля в с е х многочленов с действительными коэффициентами, степенькоторых делится на 2 k -1,но не делится на 2 k1).Пусть Р будет полем разложения для многочлена j(x} над полемкомплексных чисел (см. § 49) и пусть сх 1 , сх 2 , ••• , сх n будут корниj(x), содержащиеся в поле Р. Выберем произвольное действительное число с и возьмем элементы поля Р, имеющие вид(1)1) Эта степень может, следовательно, быть даже большеn.ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО основной ТЕОРЕМЫ§ 551347Число элементов ~jl равно, 04евидно,n (n-I) _ 2kq (2 kq_l) _ 2k-1q (2kq2где-2-1)-=2k-1'(2)q,есть не4етное число.q'Построим теперь МНОГО4лен g(x) из кольца P[xl, имеющий своими корнями все эти элементы ~jJ и только их:g (х) =П (X-~j/)'1< f1.
/.Коэффициенты этого МНОГО4лена являются элементарными симметрическими многочленами от ~il' Они будут, следовательно, ввиду (1),многочленами от a 1 , а 2 , ••• , а n с деfiствительными коэффициентами(так как чиС'ло с деfiствительное); причем даже симметрическимимногочленами. В самом деле, транспозиция любых двух а, например a k и a l , влечет за собой лишь перестановку в системе всех ~ll:всякое ~kl' где j отлично от k и от 1, превращается в ~ll и обратно,в то время как ~kl и все ~i} при i и j, отличных от k и l, остаютсяна месте. Однако коэффициенты многочленаg (х)не меняются приперестановке его корнеЙ.Отсюдаследует,ввидуосновнойтеоремыо симметрическихмногочленах, что коэффициенты многочлена g(х)"будут многочленами(с деfiствительными коэффициентами) от коэффициентов заданногомногочленаj(x)и поэтомусами будутдеfiствительными числами.Степень этого многочлена, равная числу корней ~il' делится, пона2k -ции,(2),но не делится на 2 k • Поэтому, по предположению индук1,хотябы одинкомплекснымТакимиз корней~jl многочленаg(х) должен бытьчислом.образом,привсякомвыборедеfiствительногочисла сможно указать такую пару индексов i, j, где 1 ~i~n, 1 ~j~n,что элемент aja1+ с (а!а 1) является комплексным числом - на+помним,что поле Р содержит поле комплексных чисел вкачествеподполя.
Понятно, что при другом выборе числа с ему будет соответствовать в указанном смысле, вообще говоря, другая пара индексов. Однако существует бесконечно много различных деfiствительныхчисел С, в то время какконечноевыбратьС1=1= С 2 •i, j,в нашемчисло различных партакие двачтоимi, j.раз л и ч н ы хсоответствуетраспоряжении находится лишьОтсюдаследует,чтодействительных числао д н аит аж епараС1можнои С2 'индексовдля которыхa j a l +c 1 (ai+a)=a, }aia j +c 2 (ai+aA=bявляютсякомплекснымичислами.(3)З48МНОГОЧЛЕНЫИз равенствОТС 2 ) (сх,;из11+ сх, j) = а -Ь.следует:т. е. эта сумма оказываетсябы[гл.НЕИЗВЕСТНЫХвытекает:(3)(t'l отку даНЕСКОЛЬКИХперв()гоизкомплексным числом.
Отсюда и(3)равенствследует,чтопроизведениехотяcx,jcx, jтакже будет комплексным числом. Таким образом, элементы сх,; и сх,!оказываютсякорнямиквадратногоуравнениях 2 -(cx,j+a) x+cx,jcx,j=Oскомплексными коэффициентами и поэтому, как вытекает из формулы для решения квадратного уравнения с комплексными коэффициентами, выведенной в§ 38,они сами должны быть комплекснымичислами.
Мы нашли, следовательно,дажедвакомплексныхкорняисреди корней многочлена [(х)этимдоказалинашеутверждение.для полного доказательства основной теоремы остается рассмотретьслучаймногочленас произвольнымикомплекснымикоэффициентами. Пусть[(х)= аох n + a1xn - 1 + ...
+ а пбудет такой многочлен. Возьмем/(х) = аох nполученныйизкомплекснымиj(х)иF (х) = / (х)/(х) = Ь о х 2Пr де,+ a1xn - 1 + ... + ап ,заменойчисл.ами,многочленвсехкоэффициентоврассмотрим+b x12n - 1сопряженнымиIlроизведение+ .. , + b xk2n - k+ ... -t- Ь 2п ,очевидно,kОпираясьлексныхнаизвестныечисел,мынамполучаем,из=О,§ 181, 2, ... , 2n.свойства сопряженных компчтот. е. все коэффициенты многочленаF (х)оказываются действительными.Отсюда,как доказано выше, следует, что МНОГО'-lлендает хотя бы одним комплексным корнем Р.F{x) обла§ 551ВТОРОЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО основной ТЕОРЕМЫ349т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
