1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 70
Текст из файла (страница 70)
е. пли I(~) =0, или же 7(~) =0. в первом случае теорема доказана. Если же имеет место второй СJ1учай, т. е.ao~n+ al~n-l + ... +а" = о,ТО, заменяя все входящие сюда комплеКСllые(410,какМЫ знаем,не нарушаетчисла им сопряженнымиравенства),1(~)=ao~"+ali3n-lмы+ ... +аn=О,т. е. j(x) имеет своим корнем комплексное ЧИСJlОосновной теоремызакончено.получим:13.Доказатеl1ЬСТВОГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯМНОГОЧЛЕНЫ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ§ 56*.Приводимость многочленов над полемрациональныхчиселТретьим числовым полем, которое наряду с полями действительных икомплексных чиселявляетсяполепредставляет длярациональныхнасособыйчисел; обозначим егоинтерес,R.черезявляется самым малым среди числовых полей: как доказано вполеRсодержится целиком во всяком числовом поле.Оно§ 43.Мы будеминтересоваться сейчас вопросом о рриводимости многочленовполем рациональных чисел, а во рациональных(целыхиследующемпараграфе -надвопросомдробных) корнях многочленов срациональными коэффициентами. Еще раз подчеркнем, что это два разных'вопроса:приводиммногочленнадрациональногополемрациональных чисел,хотяне имеетниодногокорня.Что можно сказать о приводимостимногочленов над полемfR?Заметим, прежде всего, что если дан многочлен (х), коэффициентыкоторого рациональны, но не все целые, то, приводя коэффициентык общему знаменателю и умножая(х) на этот знаменатель, равный,например, k, мы получим многочлен kf(x), все коэффициенты которого будут уже целыми числами.
Очевидно, что многочлены / (х) иk/(x) имеют одинаковые корни; с другой стороны, они одновреfменно будут приводимыми или неприводимыми над полемR.МЫ, однако, пока не получили права ограничиться в дальнейшемрассмотрением многочленовс целымиделе, пусть целочисленный многочленлыми коэффициентами) приводим надт. е.разложим накоэффициентами.В самом(т. е. многочлен с цеполем рациональных чисел,g(x)множители меньшейстепени срациональными(вообще говоря, дробными) коэффициентами. Следует ли отсюдаразложимость g (х) на множители с целыми коэффициентами? Инымисловами, не может ли многочлен с целыми коэффициентами, приводимый над полем рациональных чисел, оказаться неприводимым надкольцом целых чисел?§ 56)ПРИВОдимостьМНОГОЧЛЕНОВНАДПОЛЕМРАЦ.351ЧИСЕЛОтвет на эти вопросы может быть получен при помощи рассмотрений, аналогичных проведенным в § 51.
Назовем многочлен j(x)с целыми коэффициентами nри.митивн,ы.м, если el'o коэффициентыв совокупности взаимно просты, т. е.отличных от1ине имеют общих делителей,Если дан произвольный многочлен <р (х) с ра-1.циональными- коэффициентами,то его можно, притом однозначнымобразом, представить в виде произведения несократимой дроби нане который примитивный многочлен:<р (х)а=Ь j(x);(1 )для этого нужно вынести за скобки общий знаменатель всех коэффициентов многочлена <р (х), а затем и общие множители из числителей этих коэффициентов; заметим, что степень j(x) равна степени <р (х). Однозначность (с точностью до знака) представления (1)доказывается следующим образом.
Пусть<р (х)гдеg (х) -=асЬ ЛХ) =(j g(x),снова примитивный многочлен. Тогдаadf(x)Таким образом,= bcg (х).и Ьс получены вынесением всех общих мноadжителей из коэффициентов одного и того же целочисленного многочлена,апоэтомумогутотличатьсядруготдругаОтсюда следует, что и примитивные многочленымогутотличатьсядруготдругалишьjлишь(х) иgзнаком.(х) такжезнаком.Для целочисленных примитивных многочленов остается справедливойл е м м аГ а у с с а:Проuзведен,uе двухцелочuслен,н,btхnри.митивн,ых.мн,огочлен,овса.лtо есть nри.мити8н,ыЙ .мн,огочлен,.В самом деле, пустьданы ПРИМ1Iтивныецелочисленныемногочлены+ЛХ) = aox k a1x k- 1 + ...
+ ajx k - i + ... + a k,g(х)=ьох1+ь1х1-Ч- ... +bjx 1- i + ... +Ь Еипустьj(x)g(X)=coXk+l+ClXk+l-l+ ... +Ci+jx(k+lJ-(i+iJ+ ... +C k+ 1•Если это произведение не примитивно, то существует такоес т о епр очисло р, которое служит общим делителем для всех коэффициентов Со'многочлена••• , ck+l' Так как все коэффициенты примитивного(х) не могут делиться на р, то пусть коэффициент a ic1 'jбудет первым, на р не делящимся; аналогично через Ь J мы обозначимпервый коэффициент многочлена g (х), не делящийся на р. Перемножаа352МНОГОЧЛЕНЫСпочленно I(x) И g(x)мыРАЦИОНАЛЬНЫМИИ собирая(ГЛ.КОЭФФИЦИЕНТАМИ12члены, содержащие X1k+I>-II+/),получим:ci+j=albl+ai_lbl+l+ai_2bl+2+ .,.+ ai+1 bl-l+ ai+2 bl-2+ ...Левая часть этого равенства делится на р.
На него заведомо делятсятакже все слагаемые правой части,ввидуусловий,наложенных2 , ••• , а такжечто произведениеai -ai -1,дует,простоты числа р,циентов a j , Ь l'накроме первого; действительно,выборj,всекоэффициентыaib jна р должен делиться хотя бы один ИЗ коэффичто, однако, не имеетдоказательствоиi_ 2 , ••• , делятся на р. Отсюда слетакже делится на р, а поэтому, ввидуbl _ 1 , b jместа. Этимзаканчиваетсялеммы.Переходим к ответу на поставленные выше вопросы. Пусть многочлен g (х) степени n с целыми коэффициентами приводим надполемрациональныхчисел:g (х)гдеIPl(х) и(х) -IP2= IPl (х) IP2 (х),многочлены срациональнымикоэффициентамии их степени меньше п.
ТогдаIP, (х) = ~; I j (х),i=1, 2,1гдеt! -несократимая дробь, li (х) а·примитивный многочлен. Отсюда1g' (х)Левая часть этого= ~;~: [Jl (х)! 2 (х)).равенства является целочисленным многочленом,поэтому знаменатель Ь}Ь 2 в правой части должен сократиться. Однакомногочлен, стоящий в квадратных скобках, будет, по лемме Гаусса,примитивным,сократитьсяпоэтомулишьсвсякийнекоторымкак а ; и Ь ; взаимно просты,делиться на Ь 1 ,a1 -простойПРОСТЫ~Ii = 1, 2,множительмножителемто число а 2из Ь 1 Ь 2 можетизa1a2,атакдолжно нацелона Ь 2 ;а 2 = b1a:,a 1 = b2a~.Отсюдаg(x)= a~a~/l (x)/2 (х).Присоединив коэффициент a~a: к любому из множителей /1 (х),/2 (х),МЫ ПОЛУЧИ'I разложение многочлена g (х) на множители меньшейс целыми коэффициентами.
ЭТЮI доказана следующаястепенит е о р е М а:Многочленсцелы.миf(оэффициента.ttU.неприводи.мыЙf(ольцо.lttцелых чисел, будет неприводи.мы.м и наднальныхчисел.Hqaполе.м рацио§ 56]ПРИВОДИМОСТЬМНОГОЧЛЕНОВНАДПОЛЕМРАЦ.353ЧИСЕЛТеперь мы получили, на/(Онец, право ограничиваться в вопросах,относящихсячисел,кприводимостирассмотрениеммножители, всемногочленовразложен ийнад полемцелочисленныхрациональныхмногочленовнаКОЭффициенты которых также целые.Мы знаем, что над полем комплексных чисел приводимвсякиймногочлен, степень которого больше единицы, а над полем действительных чисел-всякий многочлен (с действительными коэффициентами), степень которого больше двух.
Совсем иное положениев случае поля рациональных чисел: для любого n можно УfCа:ют."много'tлен п-й степени с рaz,иондльными (даже llеЛЫ.Аtи) fCоэффициентами,неприводимый надполем рациОfLaЛЫiЫХчисел.доказательство этого утверждения основано на следующем достаточном признаке неприводимости многочлена над полем R, называемом к р и т е р и е м Эй з е н ш т е й н а:Пусть дан .Аtногочленf(х)=похn+аlхn-l+...+а n _ 1 х+а nС l{елыми fCоэффициентами. Если хотя бы одним способом можноподобратьбованиям:топростоечисло р;удовлетворi110щееследующилtтре1) старший fCоэффициент а о не делится на р,2) все остальные fCоэффициенты делятся на р,3) свободный член, делясь на р, не делится на р2,.многочлен j(x) неприводи.А! над полем рациональных чисел.В самом деле, если мн.огочлен j(x) приводим над полем R, тоон разлагается на два множителя меньшей степени с целыми коэф·фициентами:j(x)г деk=(box k< п,+b x11< п,kв обеих частях этогоk- 1+ ...
+ bk)+Z= п.(сох сОтсюда,равенства,+1l- 1+ ... + c1),сравниваякоэффициентыполучаем:а n = bkcl'an-l=ЬkСZ-l+Ьk-lСl'а n - 2 = bk cZ-+c x)II+(2)bk - 1 Cl - 1 bk - 2 Ct>2• • • • . • • • • • • • • • • • • '1Jа о = ЬоС о •Из первого из равенств(2)следует, так как а n делится наа число р простое, что один из множителейbk ,аn ,на р. Они оба не могут одновременно делиться на р, так какпо условию, не делится на р2.
Пусть, например,11 поэтомур,се должен делитьсяbkделитсяна рС Е взаимно просто с р. Пере.ходим теперь ко второму(2). Его левая часть, а также первое слагаемое правойиз равенствчасти делятся на р, поэтому на р делится ипроизведениеbk -1 Се;354МНОГОЧЛЕНЫтаккак,СЕоднако,СРАЦИОНАЛЬНЫМИнарне[ГЛ.КОЭФФИЦИЕНТАМИделится,тона12р будет делитьсяПодобным же образом из третьего равенства (2) мы получим,ЧТО bk-~ делится на р, и т. д. Наконец, из (k+ l)-го равенстваbk-l'будет получено,равенств(2)что на р делится Ь о ; но тогда извытекает,чтонарделитсяао,чтопоследнегоизпротиворечитцре дположению.Весьма легко для любогонаписать целочисленные многочленыnn-й степени, удовлетворяющие условиям критерия Эйзенштейнаи,следовательно, неприводимые над полем рациональных чисел.
Таков, например,многочлен х n2; к нему применим критерийЭйзенштейна при р2.Критерий Эйзенштейна является лишь достаточным условием неприводимости над полем R, но отнюдь не необходимым: если для+=данного многочленаf(х) нельзя подобратьтакого простого числар, чтобы выполнялись условия критерия Эйзенштейна, то он может+быть приводимым, как х 2 - 5х6, но может быть инеприводимым,как х 21. Существует, помимо критерия Эйзенштейна, много+другихполемдостаточныхR,критериевнеприводимостимногочленоввпрочем менее значительных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
