1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

Напишеммногочлен, корнями которого служат всевозможные суммы aiр J;это будетn s+qJ(х) = П П [x-(a i + PJ)]'/=1 j=1Коэффициентыэтогопри перестановкахсобой.Онимногочленах,многочленавсех aiявляются,неследовательно,симметричныхбудут,очевидно,менятьсямежду собой, а также всех р J междуподвумнаоснованиисистем амтеоремынеизвестныхо(см.конец § 53), многочленами от коэффициентов многочленов [(х)и g(x). Иными словами, коэффициенты многочлена qJ (х) оказыва­ются•рациональнымичислами,ипоэтомучисло а+ Р =а 1+ Рl'являющееся одним из его корней, будет алгебраическим.1) Не следует смешивать этого понятия с сопряженностью комплекс­ныхчисел.360многочш.НЫСРАЦИОНАЛЬНЫМИLr л.

12КОЭФФИЦИЕНТАМИТаким же обраЗО~1 при помощи многочленовnsР"11=1'Ф(х)= П П (x-(ai-~i)]иsn= IIХ (х)П (x-аi~J)1=1 1= 1доказывается алгебраичность чисел а -~ И a~дли доказательства алгебраичности частного достаточно показать,'чтоесличислоа-алгебраическоетакже будет алгебраическим числом.гочленаЛх) = аох nиотличноеот нуля, то а- 1Пусть а служит корнем мно-+ а 1 х - + ... + а n _ 1 х + а nn1с рациональными коэффициентами. Тогда, очевидно, многочлен+а 1 х+ао,g(X)=anXn+an_1Xn-l+ ...такжесрациональныии коэффициентами, будет иметь своим кор­нем число а- 1 , что и требовалось доказать.Из доказаннойсейчастеоремы вытекает,сел,+утверждать алгебраичность чи­записываемыхчислара-З/-Мы пока не MOiКeM, однако,сумма радикалов, например Vзлами.что любая сум ма+V2, а также любаяV5~ будут алгебраическими чис­ционального числа и радикала, напримерVl + V2.ввиде1«двухэтажных»радикалов,напримерЭТО будет вытекать лишь из следующей тео­рем ы:Если число (о/{0pHe.hZслужит.hlНогочлена<p(x)=xn+axn-l+~xn-2+/{оэффициенты/{оторого-...алгебраичес/{ие+ЛХ+~t,числа.то(ота/{жебудет алгебраичеСКИ.Аt числом.Пусть а" ~ i' ...

, Л s ' ~t пробегают числа, сопряженные соответствею\О с а, ~, ... , Л, ~, причем а 1 =а, ~1 =~, ... , 1..1 = Л,~l =~. Рассмотрим все,возможные многочлены вида<Pi, f, ••• , Б, t (х) =.х n-1- а,х n - 1 + ~ jX n - 2 +... + ЛsХ + ~t,так что <р1, 1, ••• , 1, 1 (х) =; <р (х), и возьмем произведение всех этихмногочленовF (х) =.Пi, j, .. .

,Коэффициентыдойизиз§ 53)систем<Pl, i •. , .•S,tБ, I (х).многочленаа"~ i'F (х) симметричны, очевидно, по каж­... , Л S ' ~t, а поэтому (снова по теоремеони суть многочлены от коэффициентов тех неприводимыхмногочленов (с рациональными коэффициентами), корнями которых§ 58]АЛГЕБРАИЧЕСКИЕС.'1ужатсоответственноа,~,... ,361ЧИСЛА'Л'11,т. е. сами су гь рацио­нальные числа.

Число Ы, являясь KopHe~! для ljJ (х), будет, следо­вате.'1ЬНО, корнем многочлена F (х) с рациональными коэффициен­тами, т. е. будет алгебраическим числом.--=Применим эту теорему к числу w =12. Число а = 1алгебраично по предыдущей теореме и поэтому число wV +V+ V"2+является корнем многочлена х 2 -а с алгебраическими коэффициен­тами, т. е.

само алгебраично. Вообще, при меняя несколько раз обедоказанные сейчас теоремы, читатель безщемутрудапридет к следую­результату:Всякое число, записываемое 8 радикалах liад nоле.Аt раЦllО.наЛbliblХ чисел (т. е. выражающееся через сколь угодliО сложнуюкомбllliацию радикалов, в общем случае «МliогоэmаЖIiЫХ»), будеталuбраичеСКИ.Аt числом.Алгебр-аические числа, записываемые в радикалах, составляют,очевидно, поле. Следует помнить, однако, что это поле, как выте­кает из замечания,сделанного (бездоказательства) в концебудет лишь частью поля всех алгебраических§ 38,чисел.Выше была отмечена трансцендентность двух чисел: е и n. На самомделе, однако, трансцендентных чисел бесконечно много.

Больше того, ие­поJtьзуяпонятияиметоды,относящиесяктеориимножеств,мыпокажеы,что трансцендентных чисел, так сказать, даже больше, чем чисел алгебра­ических; точный смысл этого выражения станет ясен нижеБесконечное множество М называется счетны.М, если оно может бытьпоставленовочисел, т.

е.взаимноесли егонатуральныхчисел,однозначноесоответствиес множествомнатураЛЬНЫJ(элементы могут быть пронумерованы при помощи всехинесчетНblМ-Впротивоположном случае.JI е м м а 1. /зсякое бесконе'lное множество М содержит счетное подмно­жество.-В самом деле, возьмем в М произвольный элемент а 1 . Выберем ззте\\элемент а 2 • отличный от а 1 • Вообще, пусть в М уже выбрано n различныхэлементов а 1 , а 2 , ••• , аn.

Так как множество М, будучи бесконечным, неМОЖЕ>Т исчерпываться этими элементами, то можно указать отличный от нихэлемент а n +1' Продолжая этот процесс, мы найдем в М бесконечное подмно­жество,составленноесчетностьJIэтогое м м а2.изэлементов.подмножества очевидна.Всякоебесконечноеnод.'tIножество В счетного множества Асамо счетно.Множество А, ввиду его счетности, можно записать в виде(1)Пустьк В,ak, будет первый элемент последовательности (1), принадлежащийаk.-ВТОРОЙn = 1, 2, ... ,элемен'I'сэтимдовательностьт.е.~TOжесвоиством и т. д.

Полагаяakn=b",мы получаем, что элементы подмножества В составляют после­подмножествосчетное.362МНОГОЧЛЕНЫлеМ М аСРАЦИОНАЛЬНЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ[ГЛ.3. Объединение счетного множества конечных множеств,12по­парно не имеющих общих элементов, есть счетное множество.Пусть, в самом деле, даны конечные множестваА 1 , А 2 , ••• , А n , ,.,и пусть их объединение будет В. Мы пронумеруем, очевидно, все элементымножества В, если произвольным образом пронумеруем элементы конечногомножества А 1 , затем продолжим эту нумерацию, перейдя к элементам мно­жества А 2 , и т. д.Л е м м а 4.Объединение двух счетных множеств, не имеющих общихдлементов,естьсчетноемножество.Пусть даны счетные множества А с элементамии В с элементами"',и пусть объединение этих множеств будет С.an =c2n _ 1,Ь n =С 2n ,Если мы положимп=1, 2,то все элементы множества С будут представлены в виде последовательностичтоидоказываетсчетностьэтогомножества.Докажем теперь следующую т е о р е м у:Множество всех алгебраических 'lисел счетно.Докажем предварительно счет насть множества всех многочленов от од·ного неизвестного с целыми коэффициентами.

Если'(х)=аохn+аlхn-l+-такоймногочлен,многочленаПРИТОМнатуральноеотличный",+а n _l х + а nот нуля, то назовемвысотой этогочислоhj=n+ Iа о 1+ la 1/++lan_11 +1 а n 1·Очевидно, что существует лишь конечное число целочисленных многочленовс данной высотой h; обозначим это множество через M h . Кроме того, черезМ о обозначим множество,состоящее из одного нуля. Множество всехцелочисленных многочленов будет объединением счетного множества конеч­ных множеств М о , M 1 , М 2 , ••• , M h , ••• , т.

е., по лемме 3, оно счетно.Отсюда, по лемме 2,вытекает, что множество всех целочисленныхпримитивных неприводимых многочленов также счетно. Мы знаем, вместес тем, что всякое алгебраическое число является корнем однOfО и толькоодного целочисленного примитивного неприводимого многочлена. Собирая,следовательно, корни всех таких многочленов, т.

е. беря объединение счет­ного множества конечных множеств, мы получим множество всех алгебраи­ческих чисел; это множество будет, таким образом, ввиду леммы 3, счетным.Докажем, наКОllец, т е о р е м у:Множество всех трансцендентных чисел несчетно.Рассмотрим сначала множество F всех действительных чисел х, распо­ложенных между нулем и единицей, 0< х < 1, и докажем, что дто мно­жество несчетно.

Известно, что каждое из указанных чисел х можно за­писать в виде прав иль ной бесконечной десятичной дробих=О, ~~•••а n •••и что эта запись однозначна, если не допускать дробей, у которых для всех п,начиная снекоторого n=N, все а n =9; обратно, всякая дробь указанного§ 581АЛГЕБРАИЧЕСКИЕвидаравнамножество363ЧИСЛАнекоторому числу Х из множества Р. Предположим теперь, чтоFсчетно, т. е. чтов сечисла Х можно записать в виде после.довательности(2)Пустьбудет запись числа Xk в виде бесконечнойперь бесконечную десятичную дробьдесятичнойдроби. Напишем те­О, ~1~2'" ~n""(3)полагая ~1 отличным от первого десятичного знака дроби X 1 , Т.

е. ~! =1: IXtt.~2-0ТЛИ'lНЫМ от второго десятичного знака дроби Х 2 , т. е. ~2 =1: (Х 22 , и, во­обще, ~n =1: сх,nn' Положим, кроме того, что среди цифр ~n бесконечно многоотличных от цифры 9. Ясно, что существует дробь (3), удовлетворяющаявсем этим требованиям. Она является, следовательно, числом из множества Р.но,посамомупостроению,отлична от всех чиселпоследовательности(2).Это противоречие доказывает несчетность множества Р ..Отсюдаследуетнесчетностьмножества всех комплексных чисел:если бы оно было счетным, то, ввиду леммы 2, оно не могло бы содержатьнесчетного подмножества Р. Несчетность множества всех трансцендентныхчисел теперь, ввиду леммы 4, очевидна, так как объединение этого множе­ства со счетным множеством всех алгебраических чисел является множествомвсехкомплексныхДоказанныечисел,намит.двее.несчетно.теоремыпоказывают,ввиду..леммы1,что мно­жество трансцендентных чисел на самом деле является шого более богатымэлементами, т.

е. более «мощным», чем множество алгебраических чиселГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯНОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫЭквивалентность ,л-матриц§ 59.Мы еще раз возвращаемся к вопросам, относящимся к линейной7 убедился в том, какуюалгебре. Читатель уже при изучении гл.важнуюрольратныеиграетматрицыпонятиепорядкаnподобияподобныматриц.тогдаИменно,двеи только тогда,они задают (в разных базах) одно и то же линейноеквад­еслипреобразова­lIие n-мерного линейного пространства.

Характеристики

Список файлов книги