1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Существует такжепринадлежащийКронекеруипозволяющийолюбомнадметод,многочленес целыми коэффициентами решить, приводим ли он над полем Rили нет. Этот метод, однако, очень громоздок и практическипочтинеприменим.При м е р.Рассмотрим многочленxP-Ifp(X)= х-l =ХP-l+хР-2+ ... +x+I,где р--простое число. I(орнями этого многочлена служат кории р-й степенииз единицы, отличные от самой единицы; так как эти корни вместе с 1 делят единичный круг комплексной плоскости на р равных частей, то многочленfр (х)1(называется многочленом деления круга.этому многочлену не может быть непосредственно применен критерийЭйзенштейна.
Совершим, однако,Мы получим:заменунеизвестного,положивх= у+ 1.(y+I)P-Ig(y)=fp (y+l)= (у+l)-I=~[yP+pyP-l +Р (P2~ 1) yP-2 + ... +ру] ==yP-l + pyP-2 +р (Р21-.-!2 yP-З + ... +р.I(оэффициенты многочлена g (у) являются биномиальными коэффициентамии поэтому все, кроме старшего, делятся на р, причем свободный член неделится на р2. Таким образом, согласно критерию Эйзенштейна многочленg (у) неприводим над полем R. Отсюда следует неnриводимосmь над полемR многочлена делен ия круга р (х). В самом деле, еслиf'р (Х) =<р (х) Ф (х),илиg (у) = ер (у+ 1) Ф (у + 1).§ 57]РАUИОНАЛЬНЫЕКОРНИ355МНОГОЧЛЕНОВРациональные корни uелочисленных многочленов§ 57*.Выше было указано,членаUЕЛОЧИСЛЕННЫХнадполемчто вопрос о разложении данного многорациональныхчиселнанеприводимыемножителини имеет практически сколько-нибудь удовлетворительного решения.Однако частный случай этого вопроса, относящийся к выделениюлинейных множителей многочлена с раuиональнымими,т.е.коэффициентак разысканию его рациональных корней, уже весьмапрости решается без больших вычислений.
Само собой разумеется, чтовопрос оразысканиирациональныхкорнейональными коэффициентами ни в какойщеговопросаметодыиодействительныхрезультаты,полностьюсвоекорняхизложенныезначениеидлявМНОГО'lленовмеренеэтихМНОГО'lленов,девятоймногочленовсс рациисчерпываетглаве,обт.е.сохраняютраuиональнымикоэффициентами.Приступая к вопросу огочленовсразысканиирациональнымибыло указановрассмотрениемпредшествующемлишьбудем при этомрационa-nьныхкоэффициентами,что,какпараграфе, можно ограНИЧ!iТЬСЯмногочленов срассматриватькорней мноотметим,целыми коэффициентами; мыотдельнослучайцелыхи случайдробных корней.Если l,елое число ct служит корнел лногочлена.ми "оэффициента.ми,этогоf(х)с целыто ct будет делителел свободного члена.многочлена.В самом деле,пустьfРазделимf{X)на(х) = аохn+ а 1х - 1 + ...
+ а n•nx-ct:f(x) = (x-ct) (boX n -1+ Ь1хn-2+ ... + Ь"-I)'Выполняя деление методом Горнера, изложенным в § 22, MhJhолучим, что все коэффициенты частного, в тол числе и ь n - 1 ,являютсяцелы.мичислали,аn =атаккак-ctbn - 1 = ct ( - bn 1).t ),то наше утверждение доказаноТаким образом, еслицелочисленныйuелыми корнями, то ониногочлена.Необходимо,будутмногочленнайдены средиследовательно,f(x)обладаетделителей свободиспытатьвсевозможныеделители свободного члена, как положительные, так и отриuательные;еслиниодинизнихнеявляетсякорнеммногочлена,тоцелых корней наш многочлен вообще не имеет.1) Было бы ошибкой доказывать эту теорему ссылкой на то, что свободный член а n является (с точностью до знака) пронзведением всех корней мнего'!лена(Х)I среди этих корней могут встретиться и дробные.
иlиррациональные,икомплексные,ипоэтомузаранеенельзя утверждать,что произведение всех этнх корней, кроме а, будет целым.356МНОГОЧЛЕНЫИспытаllиевсехСРАЦИОНАЛЬНЫМИдеnителейсвободноговесьма громоздким, есnи даже+leляться методом Горнера. а[глКОЭФФИЦИЕНТАМИзначения12члена может оказатьсямногочлена будут вычиснепосредствевной подстановкой каждого из деnителей вместо неизвестного. Следующие замечания позволяют несколько упростить этикак-1 всегда/(1) и /(-1),1Лl!емлее,ичто непредставляетцелое число а явnяетсяfто,как указано выше,лымичисnами,ивычисnения.llреждевсего,служат делителями свободного члена,(х)всепоэтомуi l l1 =а-корнем длязатруднений.IтакВhlЧИСЕсли, да(х):= (х -а) q (х).коэффицпенты частногоq (х)будут иечастныеf(-l)-q(I),--=-q(-I)а+1должны быть целыми числами.
Таким образоч, nоiJлеЖ'ат исnытаJiию лишь теделители а Сбободн.ого члена (изотдля которых каждое из частн.ых f (1 )1' f ( -I u -ляется1),цеЛЫhtПри м еры.числаот,/Uчн.ыха-1)а+lRб-числом.1.Найти целые корни многочленаf (х) =хз-2х 2 -х-6.Делителями свободного члена служат числа ±(1) = -8, t (-1) = -8, то 1 и -1 не являются1±З, ±6. Так Ka'~корнями. Далее, числа1, ±2.-8-8-8-82+1' -2-1' 6-1' -6-1являются дробнымишены,втовремяи поэтому делителикак2, -2,6, -6должны быть отброчисла-8-8-8-83-1' 3+1' -3-1' -3+1-целые, и поэтому делители3Mt'TOA Гор нера:-3т.
е,l (-3) = -48,и поэтомут. е.1. (3) =0:3числои1еще подлежат испытанию. Применим-31-2-1 -61-5 14-48'-3 не является1-2-1-6/3 1 1 2О'служиткорнемкоэффициенты частного от деленияt (х)f (х)=(х-З)Легко видеть, что частноех2+Х +2дляf (х).f(х).ОдновременноНаконецмы нашлина х-З;(х 2 +х+2).не имеет числаэто число не является кратны'>! корнем для2.
Найти целые корни многочленаf (х) =корне'l дляf (х).3х 4 +х 3 -5х 2 -2х+2.3своим корнем,r.е.§ 571РАПИОНАЛЬНЫЕкорниUЕЛОЧИСЛЕННЫХМНОГОЧЛЕНОВ357Здесь делителями свободного члена будут ±\ и ±2. Далее, 1(1)=-1.т. е. 1 и -1 не служат корнями. Наконец, так как числаf (-1) = 1,-\\2+1 и -2-1дробиые. тои2также не-2будуткорнямиипоэтомумногочленвообще не имеет целых корней.f (х)Переходим к вопросу О дробных корнях.Если целочислен.н.ыЙ .мн.огочлеu,paBeuрог оедuuuце,старший 1Соэффuцuеuт 1Сотои.меет рациоuальн.ыЙ 1Сорен.ь, то этот 1Сорен,ьбудет целы.м число.м.Пусть, в самом деле, многочленj(x) =х"+ a1Xn - + а 2 х1с целыми коэффициентами имеетт.n-2корнем+ ...
+ а "несокраТИ~IУЮ дробье.ьс'Отсюда-=ст. е.несократимая дробьравна целому числу,для nОЛУ'tеuu'Я всех рацuон.алЬftыхчтоневозможно.(дробuых. и целых) 1Сорн,ейцеЛQ'tUслен.н.ого .многочленаj(x) = аох"uужн,оIlийmиер (у) = у"все+ a x n - + а 2х11n-2+ ... + а ll _ 1 х+ а "целые 1Сорн,и ,л,tн,огочлена+ a1yn-l + а о а 2уn-2 + ... + a~-2an_lY + a~-1a"и разделить их н,аао.В самом деле, умножим j (х) на a~-\ а затем совершим заменунеизвестного, положив у= аох.Очевидно, чтоер (у) =ер (аох)=a~-l!(x).Отсюда следует, что корни многочлена !(х)члена <р (у), разделенным на а о .Вравны корням многочастности,рациональным корням j(x) будут соответствовать рациональные же корни ер (У): таккак, однако, старший коэффициент <р (у) равен единице, то этикорни могут быть лишь целыми, и мы уже имеем метод для их разыскания.При м ер.Найти раuиональные корни многочленаf (х) =3х4 +5х 3 +х 2 +5х-2Умножаяt (х)на 33 и полагая у= 3х, ПОЛУЧIIМ:<р (у) =у4+5 у З+3у2+45у-54.Ищем uелые корнимногочлена<р (у).358МНОГОЧЛЕНЫНайдем <рСРАЦИОНАЛЬНЫМИ[ГЛ.КОЭФФИЦИЕНТАМИ12методом Горнера:(1)1 5 3 45 -549 54О .1/ 1 6Таким образом, <рт.
е.(1) =0,1<р (у)является корнем для <р (у), причем=(у- 1) q (у),гдеq (у)=уЗ +6 у 2 +9у+54.Найдем целые корни многочленаслужат числа ±1, ±2, ±З, ±6, ±9,q(I)=70,q (у).Делителями свободногоЗдесьчлена±18, ±27, ±54.q(-I)=50.Вычисляя ~ (1)1 и q~+:) для каждого делителя ~, мы обнаружим, что должНЫ быть отброшены все делители, кроме ~=-6.Испытаемэтот делитель:1 6 9 54/-6 1 О 9 О'Таким образом,О,q (-6) =т. е.служит-6корнемдляq(у) и поэтомудля <р (у)Многочлен <р (у) имеет, следовательно, целые корнинымикорнямитолькоf (х)многочленабудут,такими-6. Рациональ-1образом,числа1"3и-2иони.Следует ещеприменимыт о л ь к оразподчеркнуть,т о л ь к одлякчтомногочленамразыскания§ 58*.ихизложенныес целымивыше методыкоэффициентами ираuиональных корней.АлгебраическиечислаВсякий многочлен n-й степени с рациональными коэффициентамиимеетв поле комплексныхчиселnкорней,некоторыеиз которых(или даже все) могут лежать вне поля рациональных чисел. Однаконе всякое комплексноеилидействительноечислослужитнекоторого многочлена с рациональными коэффициентами.плексные (в частности,действительные)числа,которыекорнемТе комявляютсякорнями таких многочленов, называются алгебраическuмu числамив противоположность числам тpa~цeн,дeн,тн,ЫM.
К числу алгебраическихчиселмногочленовпринадлежатпервойвсестепениа также всякий радикал видараuиональныесi1aчислом а, как корень двучлена х n шихкурсахматематическогочисла,рациональным икаккорникоэффициентамис рациональным подкоренны~;а. С другой стороны, в больанализадоказываетсятрансцендентность числа е- основания системы натуральных логарифмов, а также известного из элементарной геометрии числаn.Если число а алгебраическое, то оно будет даже корнем не которого многочлена сцелымикоэффициентамиипоэтому корнем§ 58]АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ359ЧИСЛАОДНОГО из неприводимых делителей этогомногочлена такжес целыми коэффициентами.
Тот неnриводи'мЫЙ цело численный 'многочлен, корне,М которого является а, определен однозначно с точностыо до постоянного 'множителя, т. е. вполне однозначно,если потребовать, чтобы коэффициенты этого ,Многочлена былив совокупности взаи,Мно просты (т. е. чтобы многочлен был примитивным). В самом деле, если а служит корнем двух неприводимых многочленов [(х) и g(x), то наибольший общий делитель этихмногочленов будет отличен от единицы, а потому эти многочлены,ввидуихнеприводимости,множителеммогутАлгебраическиеHbt.flU между собойкореньмеждуначисел.многочлена первойных чисел характерным:рациональным,другалишьитогоженазываются соnряженсопряженные,Всякоестепенинеконечныерациональноеимеетклассысочислокаксопряженныхчисел,и это свойство является для рациональвсякоебудетстепень которого большевуютмногочлена,R)непересекающиесясобойотличных от самого себя,щеесяот1).
Все множество алгебраических чисел распаследовательно,пряженныхдругчисла, являющиеся корнямц. одногонеприводимого (над полемдается,отличатьсянулевой степени.алгебраическоекорнемединицы,от личныеотчисло,неприводимогоинегопоэтомудляне являюмногочлена,него сущестсамого.Множество всехалгебраических чисел является nодnоле,Мко,Мnлексныхчисел. Инымисловами, СУ'м'ма, разность,произведение u частное алгебраических чисел са'ми будут алгеполябраически,Ми числа'ми.Пусть, в самом деле, даны алгебраические числазначимчереза]рез ~l=P, Р2'g (х) -=а,а2 •• •• ,а,.всеРs-числа,... ,числа,сопряженныенеприводимые многочленыса и р. Обосопряженныеср,черезса,че[(х)ирациональными коэффициентами, имеющие своими корнями соответственно а и р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
