1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1) Если ране системы ум...,1гя Е Г* ровен г, то размерность иросплрпнства Г с И решений ЛОС (7) равна и — г (и = о1шгл'г'). й) Любое подпросгпранство Г с И яв яется пространсгпвом решений некоторой системы (6). Доказательство. Утверждение1) было доказано в (ВА 1, гл. 2, з 3], но теперь соответствующие рассуждения будут восприниматься более естественно. Итак, без ограничения обшности считаем линейно независимыми векторы 7ы..., 7"„. Тогда остальные )', будут их линейными комбинациями, а система (7) на самом деле равносильна системе ( 7') ул (х) = О, ..., 7"„(х) = О. Дополним уы...,7г до базиса (е',...,е") пространства 1" (е' = 11 при 1 ( г).
Пусть (еы..., е„) базис в И, двойственный к (ел,..., е"). Тогда при любом х = жлел + ... + лпеп система (7') принимает вид лл = ... = х„= О. Сяедовательно, пространство решений Г системы (7') состоит из векторов х = т„еле„ел + ... + явен, т.е. Г = (ег ьм ..,, е„), Заметим, что х,, м ..,, тн играют роль свободных неизвестных. Так как е„ты..., ео линейно независимы, то ейпл Г = = и — г. й) Пусть (ем...,ея) базис подпространства Г С И, являющийся частью базиса (еы..., е„) всего пространства И. Вектор х = = тлел+...+хаен в точности тогда принадлежит Г, когда т,ы =...
... = хп = О. Выберем в И* базис (ул,..., уя), .двойственный к (ел,... ...,е„). Тогда т, = 7г(с), и условие ж Е 11 записывается в виде ~,, л(х) = О, ..., 7п(х) = О. П УПРАЖ11К11ИУ1 1. Как легко вытекает из определения Лом. упр. 1 из й Ц, функция следа лг: х л 1гх линейна на пространстве 1' = м 1н) всех квадратных матриц порядка и над полем Я. Доказать, что каждая линейная функция 7 на К имеет вид ПЛ) = лг ДЛ, причелл катрина Д = Лу однозначно определена. 2.
11усть а11) - фиксированный многочлен из 5!)1), Р„подпространство вещесгвенных многочяенов степени < п — 1. Рассмотрим следующие функции на Рв: гл а) Пн) .= / агл)п11) й, нЛ1) Е Р; 40 Гл. 1. Проыпрансгпеа и формы г! б) Пи) = / а(!) и(! )об о г г в) Пи) = / а!!) )иЩ 4!! о лз ')П )=д!з. Какие из этих функций линейны на Р„'! 3. Пусть !» векторное пространство, и пусть функции У,д Е К* таковы, что Кег) = Кегд. Доказать,что тогда д = Л) длл некоторого скаллра Л. 4. Пусть х ненулевой вектор пространства !».
Однозначно ли определяется функпил 1" Е !»* условием Пх) =. !? 5. Доказать, что лля всякой ненулевой линейной фувкции 1" на и;мерном векторном пространстве 1' над А найдется базис (е»,...,еа) пространства !' гакой, что Погег -1-...-1-а„е„) = о, чо, е А. 2 4. Билинейные и квадратичные формы 1. Полнлннейные отображения.
При первом чтении этот пункт можно опустить. Понятие ковектора !линейной функции на Г), уже проявившее свою работоспособность, допускает далеко идущее обобщение. Рассмотрим векторные пространства 1'1,..., '»»г; !? над А. Отображение Ъ'! х!бзх...х1»в-эГ называется полилинейным !в данном слу.чае р-линейным, если для каждого индекса г = 1,..., р и для любых фиксированных векторов а. Е 1;, 1 < у < р, д ~ !', отображение у,: ч ь» у!аг,..., а! г,ч,а+г,...,а„) является линейной формой (линейной функцией), т.е. уг!ох+,Зу) = оУ!!х) + 31',!у) Ч х,у б Ъ;, ог?) е Я.
!1) Изучение линейных отображений вида (1) мы продолжим в гл. 2, сейчас же сделаем только одно общее замечание. Как и в случае линейных функций, нетрудно убедиться в том, что линейная комбинация оу + ))д двух р-линейных отображений снова является рлинейным отображением. Это обстоятельство позволяет рассматривать множество ь!'»»»,..., 1р! Г) всех р-линейных отображений 1'! х ... х !» — » б? как векторное пространство над у!.
Мы получим простейший пример, взяв )?! = )гз =... = Ър — — Г = = Я !однокгерные векторные пространства) и положив )!ег,...,ор) = и! ...вр. Более общо: любое полилинейное отображение !', х ... х гр в Я называется полаланеирной формой на )г! х ... х !'„. Если, скажем, у' 4.
Билинейные и квадратичные формы 41 Р: ч, ~-> Р(ч;), 1 = 1,...,р, какие-то линейные функции на 1о то функция ), определенная соотношением ~(ч1 .. ч ): 1 (ъ1) . Р(чр) будет полилинейной формой на Г1 х ... х Гр. Она называется тен- зорным произведением линейных функций (форм) 11,..., Р' и обозна- чается 1 = 11 З 1е я... Оз Р нли просто 1~0... Р (порядок существен). Можно доказать, что произвольная полилинейная форма на х ... х 1' является суммой тензорных произведений линейных форл~, но пока этот факт нам не понадобится.
При Г1 =... = 1'„= Г полагаем Г" = Г х ... х Г (декартово произведение р экземпляров множества Г). В этом случае удобным яаеяется обозначение Б„(Г,д) = Б(1:,...,1:й). Полилинейная форма 1 на Ге х Г'е будет впоследствии названа нами тензором типа (р, о) и валентности р -е д. То, что тензоры типа (О, 1) можно считать векторами из Г, есть следствие отмеченного в ~ 3, п. 3 свойства рефлексивности. Полилинейная форма ) на Г" (тензор типа (р, 0)) называется сим- метричной, если 1 (чкрр ъ „(эр..., че(Ю) = 1(чм ъ е,..., че) для любых чы..., ъе й Г и для любой перестановки х б Яю Если же У (ч П1 чкбб . чешир)) = е; 1(чм чю, чр), где е четность перестановки, то 1 называется косоеиммегприч- ной (или знекопеременной) формой.
В случае Йш1' = р мы знаем хороший пример кососимметричной формы . - это определитель ма- трицы Л, рассматриваемый как функция ее строк или столбцов. Цепь данных здесь общих определений заключается лишь в том, чтобы уложить в общукв схему все частные понятия, с которыми мы уже встречались и которые нам еще предстоит изучить. Тензорными обозначениями в общем виде мы воспользуемся лишь в гл.
6. 2. Билинейные формы. Мы ограничимся пока случаем Г1 = = 1ез = Г и будем говорить о билинейной (р = 2) форне 1' на 1' (а не на Ге., что бьпю бы более правильным). В соответствии с общим определением, билинейная уорме 1" на векторном пространстве Г над Й характеризуется свойствами Д(ам+ )дч,и) = а)(п,ьч) + )У)(ч.,ъч), (2) Д(ъе,ап+(дч) = аД(ьч, п) + Я(че,ч) для всех п, ч, ъч й Г, а,,З й й.
Заметим, что, вообще говоря, )'(п, ч) ~ и: Д(ч,п). Выбрав в Г некоторый базис (ее,.,.,е„) и выразив х,у 6 Г через их координаты х = хеее -'е ... + еве„, у = д1е~ + ... + увео, 42 Гл. П Прае«нранетаоа и формы 1(х,у) = 1(~ х,е,~ ~у еу) = ~ ~х«1(е„~ ууе ) = = ~х,~ д )(е„е ) = ~~ Ях,уу, (3) где («3 = Д(е„е ). Матрица Г = ((з) называется матрицей билинейной формы ( на И в базисе (е~....,,е„).
Введя в рассмотрение координатную и х 1-матрицу (столбец) Х = (хы хз,..., х„) и транспонированную с ней координатную 1 х п,-матрицу (строку) «Х = (хм ха,, ..,хо)«мы перепишем выражение (3) в виде ((х,у) = 'Х Г У. (4) Для этого нужно лишь воспользоваться известными правилами умножения матриц размеров 1 х н, п х и, п х 1. Обратно., имея квадратную матрицу Е = (Д«з), мы при помощи соотношения (4)(или (3)) определим на И билинсиную форму 1«полагая 1(ео е ) = 1«Таким образом, при заданном базисе (еы..., е„) векторного пространства над Я имеется взаимно однозначное соответствие между квадратными и х в-матрицами над й и билинейными формами на И (и = «11шяу').
Это соответствие является на, самом деле изоморфизмом векторного пространства Ез(!:, Я) всех билинейных форм у«х у« — у П (если 1 д Е Ез(«', ут), то и од + Дд Е Ез(1',м); проверка очевидна) на векторное пространство Л1а(м) всех квадратных матриц порядка п над «ь Действительно, если У(х,у) = «ХЕ'У, д(х,у) = «ХСУ, то о ((х, у) -~- Дд(х, у) = 'Х (с«К -~- ~ЗС) . К 3. Закон изменения матрицы билинейной формы. Аксиоматическое определение билинейной формы )«свойствами (2) свободно от выбора какого бы то ни было базиса в И. Чтобы матричная запись 1 имела реальную ценность, нужно соответствие 1 «-у «-у Е дополнить правилом изменения матрицы г' при переходе к новому базису.
Пусть наряду. с (еы..., ео) в 1' задан еще один базис (е'ы..., е'„) вместе с матрицей перехода А = (а; ): « е, = ~обе„ д = 1,...,н. Если х«е«+... + х„е„= х = х', е'«+... + хне'„«то координатные столбцы Х и Х' связаны соотношением Х = А Х'. Пусть теперь мы ис|юльзуем опредеаяющие свойства (2) для записи значения 1" (и, и) формы 1 через нз скаляров 1(е„е ).
Именно, з' 4. Билинейные и квадратичные формы Р = ( Цс ) —.. матрица билинейной формы ф в базисе (ес), а Г' = (з" ) матрица той же формы с' в базисе (е',), т.е. сс = с"(ес,е ) и й",д = = 7"(е'„ е'). Так как '(АХ') = 'Х' 'А и так как значение 7"(х,у) вообще не зависит от выбора базиса, то Х.Г 1' =ф(ху)= Х Р У= = с(АХ').Р. (АУ') = сх' сА Р 4.У' Сравнивая левую и правую части этого равенства, мы приходим к заключению, что имеет место Теорема 1.
Матрицы Р и Р' билинейной формы ф на Г в базисах (ес) и (е',) связаны соотношением Р'='А Р.А, (5) где А --. матрица перехода от (ес) к (е'с). Определение 1. Матрицы Р и Р' = САРА с с1есА ф 0 называются конгрузнтными, Рангом билинейной формы ф называется ранг соответствующей ей в каком-нибудь базисе (е,) матрицы Р.
Следствие. Ранг гап1сс" билинейной формы ф является ее' инварианспом, не зависящим от выбора базиса. Доказательство. Применить следствие 1 теоремы 5 из [ВА 1« гл. 3, ~ 3[ к конгруэнтным матрицам (5). П Утверждение о ранге билинейной формы можно доказать еще и так. Обозначим через 1,7 множество тех х е 1г, для которых 7(х, у) = 0 при всех у Е 1С Короче: 7 (х, у) = О.
Очевидная проверка показывает, что ь7 подпространство в Г. Его называют левым радикалом или ядром формы 1. Ясно, что с(1шЛ7 величина, зависящая только от с. Пусть (е>,..., е„) -- базис в у, Условие х Е Ь7 равносильно тому,что ф(х,ес) = О, ..., ф(х«е„) = О. Эта система уравнений определяется линейными функциями х «-> с-> 7>(х) = 7(х,е>) = О, ф = 1,..., и. Координатами функций (> являются скаляры 7>(ес), т.е, коэффициенты ф(ееес) = 7",> с,'-й строки матрицы Р. Стало быть, ранг системы линейных форм йс,..., (ч с Г* совпадает с рангом матрицы Р = (7«.), и если он равен г, то по теореме 7 из [В>1 1«гл. 2, й 3[ иъшет место равенство дйш Ь7 = п — г. Другими сяовами, с' = дйсп 1« — дйшЛс — величина, не зависящая от какого бы то ни бьсло базиса.
4. Симметричные и кососимметричные формы. В соответствии с п. 1 билинейная форма ф: У х Г -+ >с называется симметричной, когда ф(х«у) = ф(у,х) для всех х«у Е У, и кососимметричной, когда 7(х,у) = — 7(у,х). Эта терминология хорошо согласуется с понятиями симметричных и кососимметричных многочленов (см. [В>1 1[), а также симметричной мапсрицы А = (а, ), когда 44 Гл.
1. Простпранства и формы тА = А, и кососимметРичной, когда 1.4 = — А. Так как 1"(Утх) = '1(у,х) (транспонирование 1 х 1-матрицы, т.е. скаяяра), то из .т" (х у) = т'(утх), е = л 1, в соответствии с соотношением (4) следует тХ с У = 1(х,у) = ет(у,х) = е т((у,х) = — е ( У г.Х) — е Х. РУ откуда 'Е = еР. Обратно: если 'Е = еЕ, е = х1, то билинейная форма т', отвечающая матрице Р, будет удовлетворять соотношению ((х, у) = ((у, х). Остается еше добавить, что согласно (5) Гт=тАЕ А=ьтКт=тА тГ А=е 'А Г А=еЕт, поэтому. свойство симметричности или кососимметричности матриттьт Е для 1 не зависит от выбора базиса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
