1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Относительно введенных операций сложения и умножения на скаляры линейные функции составляют векторное пространство Г* = Е(1|, г"), двойственное (сопряженное или дуаль- ное) к И. Замечание. При одновременном рассмотрении пространств 1" и И* элементы из И* называются ковариаитными векторами (или ковекторами), а элементы из И -- контравариантными векторами. В рамках общей теории тензоров, которой мы у.делим особое внима- ние в гл. 6, ковекторы относятся к тензорам типа (1, О) (ковариант- ныв твнзоры ранга 1), а векторы к тевзорам типа (О, 1) (контра- вариантные |аензоры ранга 1). Переходя к новой терминологии, мы назовем тензором типа (1,0) соответствие, относящее каждому базису пространства 1' систему из п скаляров |лл,..., П„таким обра- зом, что нсштрихованные и штрихованные системы, отвечающие ба- зисам (е|,...,е„) и (е',,...,е'„), где ь л е1 = ~ амеб 1 = 1,..., гл, |=1 связаны между собой соотношениями (2).
Для тензоров типа (О, 1), определяемых системами скаляров (Л|,..., Л„),. (Л|,... |Л'„) в соот- ветствующих базисах, то же самое выражается соотношениями (4) из з 2. Приставки ко и контра часто встречаются в математике (ко- вариантные и контравариантные функторы в самом обще|| понима- нии), но их смысл всегда примерно одинаков и в какой-то степени иллюстрируется рассмотренными простейшими примерами. Обще- принятые обозначения тензоров буду.т введены позднее. Мы видели, что при заданном базисе (е|,...,ел) пространства И имеется взаимно одиозна |нос соответствие Ф: 1 ~-~ (11|,..., Дв) между линейными функпиями и системами из и скаляров. Эти сис- темы мы отождествляем с векторами координатного пространства йь и замечаем, что если 1' л-л (4,...,11„), д ~-~ (уы , 1и) то У+д лрл+у1,...|3„+'у ), Лу л(ЛА, .,Лд ) Таким образом, Ф изоморфизм векторных пространств И* и К', в частности Йпп Г* = |11щ Яь = и,. у Я.
Двойственное пространство 35 Задав скаляры ~3в = 0 для 1 ф 1, СЧ = 1, и положив е(е)=б,, 1=1,...,.п, мы определим линейную функцию е' е 1'*; е'(~ Лзе ) = ~Л е'(е ) = ~Лф = Л;. Функции е1,..., е", очевидно, линейно независимы, поскольку независимы соответствующие им векторы-строки (О, ..., 1,..., 0) в й". Тем самым доказана Теорема 1. Пусть И "- векторное простаранство размерноспьи п над полем Я. Тогда двойственное пространство 1'* таклсе имеет размерность и.
Если (еь, ..,, е„) — базис в Ъ; а е',..., е" —. линейные функции, длл которых (1 при 1= 1, е'(еу) = бм —— ) О при 1~1, то (е',...,еь) базис в И*. Определение 3. Базис (е~,...,е") пространства И*, указанный в формулировке теоремы 1, называется двойственным (дуальным ьыи взаимным) для данного базиса (еы..., еь) пространства И, Само название пространства Г', двоиственного к И, и двойственных базисов (е',..., ев), (еы..., е„) связано "двусторонней симметриеиь между И и 1'*, свойства которой будут раскрываться нами постепенно, по мере введения новых понятий.
Условимся временно вместо )(х) писать 11,х) -. намек на скалярное произведение векторов, взятых, однако, из разных пространств. Тем самым определяется отображение 1'* х И -ь А, линейное по каждому аргументу; (ау+Ой,х) = о(у,х)+о(д,х), ()',ах+/Зу) = о(1',х)+;1(1',у). (3) Отображения И х И' — > Я с таким свойством принято называть билинейными, а также спариванилми между пространствами 1' и И'. 1зассматриваемое нами спаривание между 1г* и 1г называется каноническим. Лользуясь двойственными базисами и представляя через них элементы х=о~е~+огез+...+алел, 1=111е +1)ге +...+Де", легко вычислить значение 1 1х) = (),х) = о1ц1 + ог11г + ...
+ о„,Зь. С другой стороны, получаются удобные формулы для вычисления координат оь вектора х в базисе (еы, .., е„) и координат дь ковектора (линейной функции) 1" в базисе (е~,..., е"): оь = (е,х), 11ь = (у,еь). Гл. 1. Просгпрпнсгпеа и формы В самом деле, (Е,Х) = (Е,агвг+атЕ +... +а„Е„) = ~~г ас(Е гЕ1) = а1м (1,еь) = (~ д,ес,еь) = ~~г »1»(е',ее) = Д. г г Пример. Пусть и =. Рн = (1,1,...,1в г) -- и-мерное вещественное векторное пространство многочленов степени < п — 1.
Отображение П:1л -г р(Л), ставящее в соответствие каждому многочлену 1г(1) = где -ь сггс +... + зг — гс" его значение в точке Л Е йй очевидно, линейно. Меняя Л, мы можем получить некоторый базис двойственного пространсгва 1»*. Удобно ввести еще функции 1 г 1» г Й вида 1(уг) = ррг 1(Л), где угг 1 — й-я производная многочлена ф, а р Л -- некоторые фиксированные числа. Так как Поведу) = д(пи+уй»)1ь1(Л) = = 1»(оггг 1(Л) -~- 1гУ»гь~(Л)) = а1(уг) -~- Я(гг), то»' Е 1'". В частности, линейные функиии р<ы(о) сягзг г =Иг, я=01,...,п 1, ы составляют базис в Р", двойственный к 1,1,...,1Я г. Базисом, двойственным к 1г (1 — Л),..., (С вЂ” Л)", будет набор функций И гг ргя»(Л)»гмг, й .= б, 1,..., и — 1. В этой связи стоит вспомнить о коэффициентах разложения функции в ряд Тейлора.
3. Рефлексивность. Простое сопоставление теоремы 1 и теоремы 5 из у 2 приводит нас к заключению, что по крайней мере в случае 11пп 1» < оо существует изоморфизм )»* = 1'. По тем же причинам будут изоморфны пространства 1»' и 1"* = (г")*. По определению 1'* пространство, двойственное к 1х*, т.е. пространство линейных функций на р *. На первый взгляд. кажется затруднительно разумным образол1 интерпретировать его элементы в терминах исходного пространства 1». Между тем, Г*' находится в естественном соответствии с )»,как показывает Теорема 2.
Суи1ествует канонический изоморфизм е; )х — 1 1»"*, определенный формулами е(х) = е„, е„(у) = у(х). Здесь х Е 1», 1" Е 1'*, сх Е 1'*'. Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность е проверяется непосредственно. Действительно, вольв ()) = зг(ах+ ДУ) = а.гл(х) + И(У) = авх®+ , Зсу(() = (ае„ + Деу)(у) для всякой линейной функции 1: )» — 1Г. Отсюда е „ьбу = асх +,)еу, т. е. Е(ах + Ду) = ас(х) + Ыу). Чтобы убедиться в биективности ег выберем в 1У и 1»* двойственные базисы 1» = (е1,..., е„), 1"* = (е',..., е"). Тогда ее, (е') = е'(е ) = бб, Апеллируя к доказательству теоремы 1, мы видим, что справедливо равенство 1"* = (сею с„,...,е,„), т.е. (Е,,) . базис в 1'**, двойственный к (е'). Сюръективность и инъективность е теперь очевидны. у Я.
Двойственное пространство Каноничность изоморфизма е заключена в его определении. П Определение 4. Свойство векторных пространств, выраженное в наличии естественного изоморфизма между И и 1'*', называется рефлекеивностью. Рефлексивность делает пространства И и И'* совершенно равноправными. Отождествив И** с И посредством естественного изоьюрфизма е из теоремы 2, мы можем считать И пространством линейных функций на Г' и придать новый смысл формулам спаривания (3): х(г) = (г',х) = г'(х). В частности, для всякого базиса в Г' суигествуегп однозначно определенный двойственный ему базис в И 4. Критерий линейной независимости. Используя понятие двойственного пространства И', удобно формулировать различные критерии линейной независимости векторов пространства И.
Вначале доказывается Лемма 1. Если аы...,.ат .- линейно зависимые векторы из Ъ; а ~ы..., 1 произвольные линейные функции на 1; то с1ет(11(а )) =О, 1 <г,г <т (1 — номер спгроки, у' — номер столбца). Доказательство. В силу линеиной зависимости векторов аы, .., а один из них, скажем, а, является линейной комбинацией остальных (теорема 1 из г 2). Пусть а = огаг + ... + о,„гат В определителе де1 (1,(аг)) вычтем из последнего столбца первый, умноженный на о м второй, умноженный на ог, и, наконец, (пг — 1)-й, умноженный на от ~. Мы знаем, что при этих преобразованиях величина определителя не изменится.
Вместе с тем на 1-лв месте последнего столбца будет стоять Яа ) — о~у,(а~) — . — оы — 1Яат — г) = 1,(ат — о аг — ... — о,„гаи, г) = г',(О) = О, 1 = 1,2,...,т. Поэтому определитель равен нулю. П Лемма 2. Если ®,...,Я базис пространства 1", двойспгвенного к г', то векторы а,,...,ао к 1' будут независимы тогда и только тогда, когда бег(уг(а )) ф О, 1 <г,г <и. Доказательство. По лемме 1 линейная зависимость векторов аы...,аь влечет равенство определителя нулю.
Пусть теперь они линейно независимы, так что И = (аы..., а„). Обозначим через (еы..., е„) базис в И, двойственный к (уы..., уп), а через ою,..., нь -- координаты вектора а в этом базисе. '1огда о11 огг ою огг ... ого Ньг Ног ° Нпи будет матрицей перехода от базиса (еы...,еи) к (аы...,а„). По 38 Тл. У. Прослпранства и урормы (6) теореме 4 из УЗ 2 она обратима и, следовательно, с1ес(п,.) ф О. Но оц — — 1,(а ) (см. (4)), откУДа и слеДУет, что с1ел( У",(а )) ~ О. П Теорема 3. Пусть (уы...,уо) - базис пространства 1У', двойственного к Р. Тогда ранг системы векторов аы..., ая Е 1' равен наибольилему порядку от ичного от нуля определителя вида с1ет(1,(а )), (5) 1<у=ум ..., ль <и:, 1<у=ум ..., ут<й.
Доказательство. Обозначим через г ранг системы векторов аы ..,, аю Любые т > г векторов а,,,, а. линейно зависимы и, значит, по лемме 1 любой определитель вида (5) порядка т > г равен нулю. Остается доказать, что существует определитель (5) порядка г, отличный от нуля. С этой целью обозначим через у"м..., у'в ограничения линейных функций уы..., уь на подпространство уу = (аы,,.
..., ал). Докажем сначала, что (л:",у.) = у"', где су* подпространство, двойственное к Г. В самом деле, включение (Уы ...,уя) С (У' очевидно. Пусть, далее, 1 любой вектор из (У*, (еы...,е„) базис в (У, а (еы.,.,е„; е„еы..., е„) его дополнение до базиса в л . Рассмотрим линейную функцию 1 Е Ъ", для которой у"(еу) = у"(е,), л = 1,..., г:, у'(е,) = О, л = г+ 1,...,и, (существует функция 1 6 Р* с лк>быми, а следовательно, и с этими значениями). Так как л'' = (уы..., уо), то у = уул ул +...
+ уу„у„. Ограничим в этом равенстве все функции на (у. Очевидно, у = у( = у', поскольку у' и у принимают одинаковые значения на базисных векторах еы..., е„пространства Н. Таким образом, 1 = 1 = Оу ~, +... +,З„у'о, откуда следует, что ~ с (Л,..., ~о ), т. е. Г' С ( Ул,..., у"я ). Тем саллым равенство (6) доказано. Выберем, наконец, г линейно независимых векторов как среди ал,...,аь (пусть ими будут а,,...,а „), так и среди ул,..., ~„(пусть ими будут ~,;,,..., ук). Они составляют базисы в соответствующих подпространствах сУ,(у'* и по лемме 2 деФ(Л(а,)) ~О, л'=уч,...,л„; у = уы...,у„. Остается заметить, что у',(а ) = уу(а ).
П Мы снова подошли вплотную к понятикл ранга матрицы (см. [ВА 1, гл. 2, ~ 2]), но останавливаться еще раз на его свойствах не имеет смысла. 5. Геометрическая интерпретация решений ЛОС. Напомним, что линейная однородная система (ЛОС) с и неизвестными совместна, а если интерпретировать ее решения как векторы пространства й" строк (или столбцов) над основным полем Я (что мы у 3. Двойственное пространство 39 и делапи), то в йп выделяется подпространство Г решений нашей системы.
Встанем на несколько более абстрактную точку зрония. По своему определению ЛОС размера т х и записывается коротко в виде (7) ул (х) = О, ..., 7т(х) = О, где х вектоР и-меРного пРостРанства лг, а ум...,увл Е И*. Чтобы вернуться к обычной записи, достаточно выбрать в И какой-нибудь базис. Теорема 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
