1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Изоморфизм между дву мя векторными пространствами 1; И", если он существует, определен однозначно только в двух частных случаях: а) 1' = И' = (0); б) дцп И = 1 = = дйпз И', Я поле из двух элементов (попробуйте доказать это). Во всех остальных слу.чаях изоморфизмов много. Иногда бывает, что между двумя векторными пространствами определен некоторый изоморфизм., не зависящий от какого-либо произвола, например от выбора базисов в 1' и И'. Такие изоморфизмы мы будем называть каноническими или естественными, в отличие от всех остальных "случайных". Характерный пример естественного изоморфизма нам встретится в следующем параграфе. 26 Гл.
7. Проссвронство и 4орлы 4. Пересечение н сумма подпространств. Хорошо известные теоретико-множественные операции пересечения и объодинения мы применим к подпространствам. Пересечение П1 Г! !7г двух подпространств П1, !7г С 17, очевидно, является подпространством. То же относится и к пересечению !7 = ! )1 !71 любого семейства 1!7, ~ 1, Е Е 1) подпространств !возможно, что 17 нулевое подпространство). Действительно, нулевой вектор, входящий во все !71,. входит в П, так что !7 непусто. Если, далее, х, у Е !7, то любая их линейная комбинация ах + Ду входит во все !7, и, следовательно, ах + Ду е П. Заметим, что объединение П1 1з' !77 двух подпространств не обязательно является подпространством.
Если, например, еу,ег линейно независимые векторы в И и П1 — — 1е1), Пг — — 1ея), то П1 'с! !77 не содержит е1 + ег. Наименьшим подпространством в И, содержащим !71 и !7г, является, очевидно, б7 = !ну + цз ~ п1 б !71, пг б 17т). Это подпространство называется суллой !71,!7г и обозначается !71 + !7ъ Ясно, что !71 + П = ануя + П1, причем 171 -ь П = 17з тогда н только тогда, когда !71 С !7я. Аналогично определяется сумма любого конечного числа векторных подпространств П1,..., .!7о,. Именно, под П1 +... + !7,„понимается наименьшее векторное подпространство, содержащее все векторы из !7о ! ( 1 ( т, а также их всевозможные линейные комбинации.
При этом не делается никакой расстановки скобок, посусольку Р~ + 1177 + В1;) = (!7~ + суу) + 17ы Если А, В - какие-то фигуры в трехмерном физическом пространстве, возможно, с непустым пересечением А Г! В н во! 1А), уо11В) . их объемы, то справедливо соотношение УО1 (А 17 В) = УО! (А) + ъо! (В) — ио1 (А Г! В). Его аналог в случае пространств выражает Теорема 6. Пусть |1 и И7 -- конечнолерные подпространства векторного пространства И. ТогдвП Жш 117+ И') = Нпп П + с117п И' — с11ш 117 Г1 Ис).
17) Доказательство. Положим с11ш П = й, 11пп И' = 1, 11пп (!7 Г! И') = уп. Так как 117 Г! И') С !7,И', то т ( 1,т ( 1. Выберем в П Г! 1Ф' какой-нибудь базис (еы..., е„,) и, опираясь на теорему 3, дополним его, с одной стороны, до базиса (еу,...,е 1ау,...,аь ) подпространства П, а с другой . до базиса уеу,...,е~,;!71,...,!71 т) подпространства И'. Каждый вектор суммы !7+ И имеет вид п+ зч, Освормуяа 17) саязыааатся с имоясм Г. Грассмаяа 1!809-1877). у Я.
Размерность и базис где и Е У,зи Е И', а это значит, что б|+ И' = (ем..., еаб а|,..., аь .„,; Ь|,..., Ь|,„). Если мы покажем, что система е|,...,ет; а|,...аь „,; Ь|,...,Ь| линейно независима н, стало быть, имеет место соотношение Йп|(Г+ И) = |и+ (Й вЂ” |и) + (1 — т) = Й+1 — тп, совпадающее с (7), то доказательство будет завершено. Предположим, что это не так, н пусть | — т У |жеж+ зУ о,а|+ ~ Д|Ь = О (ж) нетривиальное линейное соотношение. Тогда мы имеем а1 ь — т | — т у,еж+ ~~| о,а; = — ~~| ||уЬ|, |=1 где в левой части равенства стоит элемент из Г, а в правой элемент из И'. Значит, перед нами вектор из П г| И', и мы можем записать — 2" "',ЗУЪ| — — 2 ',", джет |ыи П1 | — т джеж+ ~~,3|Ъз = О.
ж.= | |=1 Но линейная зависимость базисной системы уем..., е; Ьз,..., Ъ| .„,) подпространства И' должна быть тривиальной. В частности, 1|| = ... = 4,„т О, н соотношение 1ж), превратив|несся теперь в линейнУю зависимость базисной системы ~ем..., еиб а|,..., а| подпространства Г, также должно быть тривиальным: ... = 'ут = и| = ...
= оь,„= О. Мы пришли к желаемому противоречию. П Так как размерность суммы Г+ И' не превосходит размерности объемлющего пространства И, то на основании теоремы б часто можно делать заключение о нетривиальности пересечения подпространств. Например, две п|юскости трехмерного пространства или два трехмерных подпространства пятимерного векторного пространства обязательно содержат обшук| прямую, .поскольку в обоих случаях Йш Г + |1пп И' ) |1пп И.
По поводу используемой терминологии сделаем следующее Замечание 2. В и-мерном пространстве И существуют подпространства всех меньших размерностей, в чем легко убедиться, включив И в цепочку подпространств ОСй СжаС...СИ Сйа=И=(е,...,е,), 28 ! л. а Прог!проиства и 4ормм где 1', = (еы,,.,е,). Одномерные векторныс пространства называют прямыми! двумерные плоскоспьлми, к-мерные при и ) 3 И-мерными плоскостлми. Пусть П подпространство векторного пространства 1г.
Разность содйш Г = йш à — дйш Г называется коразмерностью подпространства Г. Любое подпространство коразмерности 1 называется гиперплоскостью. Понятие гиперплоскости относительно; прямая является гиперплоскостью двумерного векторного пространства 11:, но перестает быть таковой, если И' рассматривается как плоскость векторного пространства 1! большей размерности. 5.
Прямые суммы. В сумме ненулевых линейных подпространств Г= Г, +Гг+...+Г (8) любой вектор и Е П записывается в виде (9) п = и! + иг +... + и„„п, Е Г„ вообше говоря, .неоднозначно. О п р е д е л е н и е 7. Если каждый вектор и Е Г может быть представлен одним и только одним способом в виде (9), то сумма (8) называешься прямой и обозначаешься Г = Г! З Гг 11г... Э Г Сумма (8) будет прямой и в том случае, когда однозначность записи (9) имеет место лишь для нулевого вектора, т.е. О = и! + иг +...
+ п .=ь п! = О, и! = О, ..., по! = О. В самом деле, если зто более слабое условие выполнено, то из двух разложений п!+из+.,.+п, =и=и, +пи+,..+п,„ ! ! ! штедошшо бы 0 = (п! — и~~) + (иг — пг) + ... + (п„, — и' ), где и, — и', Е Г,. По предположению п,; — п', = О, 1 ( 1 ( т, или п! = п', пг = п', ..., п„, = п', т.е. выполнено свойство разложения в прямую сумму. Условимся в обозначении: Г,+ +О,+ +Г„, — Г,+ +Г,,+Кь,+ +П Теорема 7. Сумма Г = Г! + Гг +...
+ П, является прямой тпогда и только тогда, когда С,О(С +...+С, +...+С ) =О (10) длл 1 = 1, 2,...,т. Доказательство. Предположим, что наша сумма прямая. Рассмотрим произвольный вектор х е П! О (Г! +... + с!, +... + Пю), где у с. Размсрноспзь и базис 29 индекс т фиксирован. Тогда х = п1+... +йз+... +п „и для нулевого вектора мы получим два разложения О+... + О+ О+ О+... + О = О = =пг+...+пз з+( — х)+пью+...+пап Так как сумма прямая, то эти разложения должны совпадать. В частности, — х = О, и, следовательно, равенство (10) выполнено. Обратно, предполагая справедливым (10), докажем единственность разложения нулевого вектора (этого, как мы знаем, достаточно, чтобы сумма была прямой). В самом деле, будем исходить из какого-нибудь разложения О = аг +...
+ а, +... + а Тогда при любом т = 1, 2,..., тп имеем — а,=ат-~-...-'еа, З-'та,~.т-'т...тая,Е Е Г~ О (Гз + ° + С~ + + ~-~то) = О. Стаю быть, а, = О. П В случае т = 2 теорема 7 принимает особенно простую форму: сумма Г = Пт + Гг прямая ч=-э о'г П Гг = О. В частности, привлекая соотношение (7), получаем, что йш Г = йш Гт + йш Гг. Обобщение этого свойства выражает Теорема 8. Сумма С = Гз + Сг + ... + Го,, является пр мой тогда и только тогда, когда йш Г = ~ йш Гь (11) г — — т Доказательство.
Проводим его индукцией по т. При т, = 2 справедливость утверждения отмечена выше, а в случае произвольного т воспользуемся теоремами б и 7. Именно, если сумма прямая, то прямой будет и сумма Пг -е... + бтг -'е... -'т Г, а тогда С11ш Г = йтп Г, + йтп(С! +... + К + + Сы)— — йптг,п(Г!+...+С,+...+Г ) = = дпп Г, + (йш Гг +...
+ т)пп Г, +... + йтп Г,„) — 0 = ~~ йш Г,. 1=1 Обратно, если формула (11) верна, то объединение базисов подпространств Г; будет базисом в Г, и, значит, сумма прямая. П Вариапией на ту же тему служит Теорема 9. Для любого т-мерного подпростаранства С векторного пространстпва И размернотлти п найдется пгакое (ьг — т)- мерное надпространство И", что И = Г йу И' (П и И' называются дополнительными подпространствами). Зо Гл. 1. Проотранстпоо и 4орлеы Доказательство. Результат получаетсянемедленно, если произвольный базис (аы...,а ) в П дополнить до базиса (аы...,а,„; Ьы.,., Ьн,„) в И (воспользовавшись теоремой 3) и положить И' = = (Ь,,...,ьо ). И Рассматривая прямые суммы, мы действовали пока в фиксированном векторном пространстве И; такие прямые суммы часто называют внутренними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
