1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если, например, Л ре О, то х=1 х=(Л 'Л)х=Л '(Лх)=Л '0=0; в) (н 1)х = х+ х+... + х (и ешагаемых) для любого целого положительного и и любого х Е Г (доказательство индукция по и). Естественно писать просто пх вместо (и . Цх, где 1 .-- единица поля Я. Если Я поло конечной характеристики р, то рх = 0; г) ( — 1)х = — х.
В самом деле, х А- ( — 1)х = 1х + ( — 1)х = (1+ +( — 1))х = Ох = О. 2. Линейные оболочки. Подпространства. Заметим, что, располагая любым коночным набором скаляров Лв, ., ., Л„Е Я и векторов хы, .., х„Е Г, мы можем составить выражение Л~х1+... + Л„хн сс ~ Л,хо называемое линейной комбинацией векторов х; с коэффициентами Л,. Более обшо: если 1 какое-то семейство индексов, возможно, бесконечное, и М = 1х; Е 1Г ~ 1 Е У) подмножество векторов в 1', то правомерно рассматривать линейные комбинации ~ е Л,х, 14 Гл. 1.
Пространства и 4ормы с произвольными коэффициентами Л, Б й, среди которых, однако, лишь конечное число отличны от нуля. Очевидно, Л(ЕЛ,Х,) =Е(ЛЛ;)хе линейнан комбинация с коэффициентами ЛЛ1, г Н Е, для всякого скаляра Л Б 11. Аналогично, сумма (~ Лехе) + (~ р,х,) = ~(Л, д-)зз)х, зЕ1 1Е1 двух линейных комбинаций с коэффициентами Ль р; будет линейной комбинацией тех же векторов х, Б ЛХ с коэффициентами Ле + р„ среди которых снова лишь конечное число отличны от нуля. Таким образом, множество (М)я всевозможных линейных комбинаций векторов х; Б М замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения их на скаляры: Л Н Я, х, у Б (М) =у х+ у Н (ЛХ), Лх Б (М).
Принято говорить, что (ЛХ) - - линейная оболочка множества ЛХ с 1'. О п р е д е л е н и е 2. Пусть à — векторное пространство над полем А, П с Г " - его подмножество, являющееся аддитивной подгруппой в Г и переходящее в себя при умножении на скаляры. Тогда ограничение на П операций, определенных в Г, наделяет ЕЕ строением векторного пространства. Оно называется векторным (или линейным) подпространством в р . Пересечение любого числа векторных подпространств также является векторным подпространством (см. начало п.4 из й 2; это легкое упражнение, которое для случая групп рассмотрено в ~ВА 1]). Мы видим, что линейная оболочка (ЛХ) системы векторов ЛХ С Г является векторным подпространством в Г, причем, очевидно, (ЛХ) наименьшее подпространство в Г, содержащее ЛХ.
Говорят еще, что (ЛХ) -- подпространство, натянутое на векторы х Н ЛХ или порожденное векторами х Б ЛХ. Если с самого начала ЛХ было подпространством,то (ЛХ) = ЛХ. Приводем несколько примеров векторных пространств, которые будут встречаться в дальнейшем. Пример 1 (нульлерное пространство). Нвд любглм полем Я сутествует нульмервое (однозлементное) векторное пространство Г = (О) с законом умножения нв сквляры ЛО = О. При мер 2 (основное поле Я как одномерное координатное просглранстло). Но определению 1' = Я, основные операции в 1г сонпвдвют с операциями в Я.
Если 1 единица поля Я, то можно считать, что Я = (1) линейная оболочка, натянутая на 1. Более общо: если поле Я -- расширение своего подполя ф, то Я можно рвссмвтринвть квк векторное пространство нвд ф. Например, поле комплексных чисел С векторное пространство нвд полем вешественных чисел Н, в И векторное пространство нвд полем рвциоцвльных чисел яд у' 1. Абстрактною векторные пространства 15 Пример 3 [и мерное координатное пространство Я"; см. [ВЛ 1, гл. 2), где поле И можно заменить на произвольное поле Я). При и = ! получается предыдущий пример.
Рбы увидим вскоре [см. 3 3), что всякое надпространство Г С Я" является пространсчвом решений некоторой линейной однородной системы. Пример 4 [пространство функций). В [ВЛ 1, гл. 1, й 4, и. Ц было введено кольцо функций К, которое на самом деле является еще векторным пространством пад Ь [кольцо Ь нужно заменить на поле). Итак, Х .. произвольное множество, Я поле, Ях множество отображений [функций) 1: Х э Я, наделенное поточечными операциями сложения и умножения на скаляры: [/ -~- д)[х) = Дх) 4- д[х) для всех х б Х; [Лу')[х) = Л[Д[х)) для всех Л Е Р, х Е Х. Каждому элементу х б Х л~ожно поставить в соответствие так называемую дельта-функцию 6,, сосредоточенную на [х): 6 [х) =- 1, 6г[х') = О, х Д х'.
Если Х = [1,2,...,и), то вместо 6,[д) обьгшо пишут 6, - стандартное обозначение для символа Кронскера. В этом случае Я" огождестю~яется с Я . Именно, функции ф ставится в соответствие вектор-строка всех ее значений [ 1[Ц, 1" [2),... ..., 1[и)), а сама функция однозначно представляется в виде линейной комбинации дельта-функций 1 = 1[1) 6ч й Д2) Оз 4-...-У 1[и) 6 В случае бесконечного множества Х аналогичное заключение лишено смысла, поскольку суммы бесконечного числа векторов не определены [если спеииально не позаботиться о топологии).
В анализе чаще всего рассматриваючся вещественнозначные функции, определенные на всей прямой или на интервале [а, Ь) С И. Легко проверяется, что ли»ейное пространство И1 '1 содержит в качестве надпространств пространство Б',,'и всех непрерывных функций, пространство рщ' всех непрерывно диффе- 1 .ь1 ренпируемых функций и т.д., поскольку все отмеченные свойства сохраняются при сложении функций и умножении их на Скаллры.
П ри мер 5. 34ногочлены ф Е Я[1) степени < и — 1 с обычными операпиями сложения мпогочленов и умножения их на скаляры образуют векторное пространство Р . Следует отмстить, что многочлены степени, равной фиксированному числу й,линейного пространства не составляют. Однако формы степени й от т переменных, рассматриваемые вместе с нулём, образуют векторное пространство. Пример б. Пусть д[Ч) .-. фиксированная непрерывная на отрезке [О, Ц вещественная функция, отличная от нуля на некотором инч.ервале э' С [О, Ц, а 1'„[д) — множество функций вида з"[4)д[1), где 1[1) — многочлен степени < и — 1.
Тогда Ро .- векторное пространство, содержащееся в И~„ы. Пример 7 [пространство магириц). По правилам матричного исчисления [см. [ВЛ 1, гл. 2)) любую прямоугольную матрицу размера т к и можно умножить на элемент поля Я и любые две сложить, в результате получится матрица того же вида. Все аксиомы здесь выполняются, так что т х и-матрицы образуют векторное пространство. При чи = и кольцо квадратных матриц 61„[Я), являющееся одновременно вокторвыл~ пространством над Я, называется алееброй, в соответствии с общим определением, которое мы дадим в 4 2 гл.
2 и под действие которого попадшот также объекты из примеров 2 и 4. 16 Гл. 1. Пространсгпеа и формы Пример 8 ~Лпзег. Маис Моп1йду. 1990. У. 94. Р. 60 — 62). Л4атрица А 6 44„'СГ4) называется полумагпческоб 1или полумаепческпм квадратом), если суммы коэффициентов н каждой строке и в каждом столбпе ма"грицы совпадают: а,ь=хл ая = 1г1)с©, 1<ну< л — 1 я — 1 Если к тому же мА = а1А):= Е;," аь е~ „то матрица А называется магочсскоя 1илн магическим кеадрагпом). Магические квадраты издревле привлекали к себе внимание. Нам они интересны по той достаточно очевидной причине, что множество НМа6„144) полумагических квадратов, раино как и множество Маяв141) всех магических квадратов порядка и, суть векторные пространства над Сг, причем Мая„Я) с 6Мая„®) с Л4„Я).
Стоит оговориться, что чис го комбинаторное множество магических п х и-квадратов с натуральными коэффициентами Е'2,..., пз мы не рассматриваем. См. по этому поводу: Постников 44.М. Магические квадраты. Мл Наука,!964. 3. Замечания о геометрической интерпретации. Принято называть векторное пространство 4г аещеслпаенным 1соответственно комплексным), если Я = К 1соответственно Я = С); скаляры тогда будут просто числами. Именно зти случаи наиболее интересны с прикладной точки зрения, хотя значительная часть теории не зависит от природы поля Я. Самой естественной моделью векторного пространства служит, несомненно, совокупность направленных отрезков, выходящих из фиксированной точки трехмерного пространства, в котором мы живем.
Умножению отрезка на число Л Е И отвечает его растяжение в Л > 1 рвз (или сжатие в Л раз, Л ( 1) и изменение направления отрезка при Л отрицательном. Сложение направленных отрезков осуществляется по правилу параллелограмма. Это вещественное векторное пространство совпадает также с множеством свободных геометрических векторов, если условиться считать равными два направленных отрезка, которые можно совместить параллельным переносом.
Объекты физического трехмерного пространства 14фз принято изображать посредством чертежей. В случае многомерных пространств 10 размерности мы поговорим в 9 2) наша интуиция подвергается серьезному. испытанию, тем не менее систематическое апеллирование к геометрическим образам не только полезно, но и необходимо: вырабатываются устойчивые ассоциации, оживлянзщие теорию. Непривычность геометрии векторного пространства может быть связана также с особенностями полл Я. Если, например, Я = С., то прямая над С . зто одномерное координатное пространство С'.
Ее наглядным геометрическим изображением служит плоскость комплексных чисел я1, которую не нужно путать с С . Числу з = и+19 Е Е С1 отвечает точка (х, р) Е К: умножение на и ф 0 соответствует у' 1. Абстрактные векторные пространства (О, 1, 1 (О, О, 1 ) )1,1, Ц (О, 1) (1, 1) <1. 1, О) 0 1 и=1 П, =(О) (О, 0) (1, 0) о=2 По =- НО,О), О,1Н (0,0,0) О,О,О) а=э Пв =- НО. О, 0), (1, 1, 0), 11, О, 1 ), со, 1, 1 ) ) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
