1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Но иногда возникает необходимость в рассмотрении внешней прямой суммы Г ее Ил двух векторных пространств над одним и тем же полем Я, заранее никуда не вложенных в качестве подпространств. Под П ',э И' в этом случае понимается совокупность И = ПхИ'всевозможныхупорядоченныхпар (ц,и) си Е Г, яе Е И'. Операции сложения векторов из И и умножения их на скаляры определены формулой о(ц,яу) + 1цц',яя') = (оп+ Пи',слу+ Зъ'). Это похоже на построение плоскости по двум ее координатным осям.
Векторы (и, О) порождают в Г подпространство Г, изоморфное Г, а векторы (О., яо) порождают подпространство ИУ, изоморфное И'. Изоморфизмы (ц,О) ~-> и, (О, яу) ~ — ) тч здесь очевидны; вместе с тем можно записать ГНИ'=И= ГЮЙ', внешняя внутренняя поскольку на Пы ИУ мы уже смотрим как на прямую сумму подпространств данного нам векторного пространства Р . В дальнейшем речь будет идти преимущественно о внутренних прямых суммах, поэтому всякие спецификации опускаются. 6. СРакторпрострвнства. К заданному подпространству ь С С И существует, вообще говоря, много дополнительных подпространств ЛХ С И, для которых И = ь ~Э М. Но все такие дополнения изоморфны одному векторному пространству, которое строитсл по И и А абсолютно инвариантным способом, не связанным с каким- либо произволом.
Будем смотреть на И и П как на аддитивные абелевы группы. Множество х+А = )х+у! у Е 1) называется смелснылн классом И по ь, вектор х предечнаоигнелеле этого смежного класса. Если 0 ф я Е (х + 1) Г1 (х' + ь), то х + у = х' + у' = в и х + ь = х' + А = я + А. Поэтому два смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают. При фиксированном Ь положим х:= х + А. Каждый вектор ч Е И попадает в какой-то смежный класс, и если Г = Ъ;Ч множество всех смежных классов И по Е, то на И устанавливается структура абелевой группы по правилу х + х' = х+ х'. Операции коммутативности и ассоциатив- У в.
Размерность и базис ности проверяются непосредственно. Понятно, что 0 = Х. нулевой элемонт этой абелевой группы: х + 0 = х + 0 = х. Далее, — х = — х. Положив Лх = Лх, т.е. Л(х + Х ) = Лх + Х ЧЛ Е и, мы легко убеждаемся в том, что выполнены все аксиомы ВПг — ВПв из д 1. 11апрнмер, 1 (х+ Х) = 1 х+ А = х+ Хч о(Р(х+ Х)) = о(Дх+ Х) = одх+ Х = (оД)(х+ Х). Такиьл образом, 1: = 1г/Х наделено естественным образом структурой векторного пространства, которое и называется 1ранторпространглавом пространства к по подпространству Х, (илн по модулю Х). Вместо смежных классов мы могли бы рассматривать классы по отношению эквивалентности, определеннолсу сравнением х = х (угсос1Х) .Ф== х — х Е Х, но это была бы перефразировка сказанного.
Пример 7. Пусть Р = Из -. координатная плоскость, а А — ось а. Дополнительным подпространс гном М слу- и жит любая прямая, проходящая через О и отличная от горизонтальной оси (рис. 2). Дополнение М пересекает каждую прямую, параллельную оси х, точно в одной точке,так что ЛХ параметризует множество всех таких прямых. Это множество как роз и есть 1ТЬ.
Теорема 10. Пусть К = Х |В ЛХ пр ма сумма поднространств, ХоМ с 1". Тогда отображение Х: п ьь п+ Х. (п е М) является изоморфизмом между М и 1'/Х. Доказательство. В самом деле, Х вЂ” линейное отображение, поскольку Х(оп + Ди) = оп+ Ди + Х = о(п + Х) + ~3(н + Х) = и Х1п) + ДХ(н). Пусть и + Х --- произвольный элемент из 1г~Ь.
По условию и = = х+у, х е Х,, у Е ЛХ, так что и+В = х+у+1. = (х+Е)+ (у+В) = = Х + (у + Х) = у + Х = 11у). Это доказывает сюръективность Х. Если, далее, п Е Кегр, то п+ Х, = Х, откуда п Е Х,. Но п Е ЛХ, а Х Г1 ЛХ = О. Поэтому п = О, так что КегХ = О. Стало быть, Х бнективное отображение.
П Следствие. Пусть Х, произвольное надпространство в 1'. Тогда д1ш )г/Х, = с1пп К вЂ” с11ш А. Друзами словами, ддш 1г,'Х = сос1ппи Х. Доказательство. По теореме 9 найдется такое поднространство М С К, что К = Х, Оз ЛХ, причелс дйш М = дпп Р— с)1ш Х,. По только что доказанной теореме 10 это подпространство ЛХ изоьлорфно факторпространству ГХХ,. 1Л 32 Гл. 1. Пространства и формы УП!эЛЖНЕННЯ 1. Сколько й-мерных поднространств, 1 < й < и, у и-мерного векторного пространства !7 над полем Рч из д элементов? 2.
Выясниггч какова размерность пространства вещественных квадратных матриц порядка п: а) симметричных; б) кососимметричных; в) с нулевым следом. 3. Какова размерность пространства всех многочленов?(!) степени < и от одной переменной с условием 1(!) = О? Найти базис этого пространства. 4. Доказать, что сумма П = Пг -!- Рз -~-...-!-(( является прямой в точности тогда, когд!а ((7! ф...
-~- Р, з) г? Р, = О, 1 < ! < т. 5. Найти матрицу перехода от базиса (1,1,...,! з) пространства Рв к базису (1, (! — о),..., (! — о)" ) того же пространства. 6. Пусть 0 комплексный корень неприводилюго над (с многочлена ( б Я!). Найти размерность над (( пространства Я~о) —.— !1,О,...,0",...)О. Т. Доказать, что для прямых сумм ве выполняется закон сокрашения, т.е. из равенства сумм (1 0 И'! = Р З И'з с одинаковылз слагаемым П, нообще говоря, не следует, что И ! = Игз. 8. Выясннтчь конечномерно ли факторпространство А[!)? о, где: а) Л подпространство Р„ многочленов от ! степени < и — 1; б) Ь -- подпространство мвогочленов, делящихся на !"; в) Ь подпространство многочленов от ! ? 9.
Доказать следующий аналог формулы Грассмана: собпп ((1 4- И') 4- сооНпз (П (? И') = соб!т П ф содпп И' (!1 и И' подпросгранства конечной коразмерности не обязательно конечно- мерного векторного пространства 1г). 10. Следуя терминологии примера 8 из 3 1, выделим тривиальные полумагические матрицы 11... ! ! 1 ... 1 11... 1 Возникает вопрос: каковы размерности 4!ш БМад„Я) и 4!ш Маб„Я)? Очевидно, ВМадзЯ) =?Е,Р)О. В этом случае Н = Е 4 Р - единственная с точностью до рационального множителя магическая матрица.
При и =. 3 можно указать менее очевидную магическую матрицу 1 2 О А= О 1 2 2 О 1 Вычислить указанные выше размерности при п = 3 и и = 4. 11. Доказать разложение в прямую сумму 93(ад„Я) = Мад„Я ЬЯЕ О? 4)Р. 12. Пусть р(,..., ~,. — подвространствап-мервоговекторвого пространства Г. Доказать, что если 41ш !й .1-... -!- Ойп !'!. > п(й — 1), то Пь Р,, ф О (прямое обобщение утверждений, вытекающих из формулы (7)).
у оц двойственное. пространство 2 3. Двойственное пространство 1. Линейные функции. Любому векторному пространству 1' конечной размерности над полем Й можно сопоставить другое векторное пространство, находящееся с к' в специальном отношении двойственности. С этой целью введем Определение 1. Отображение 1; 1л — > й, обладающее свойством Д(ах+ ду) = о1'(х) +Я(у) Ча,13 е Е; х,у е 1е, называется линейной функцией на 1' (линейной формой или,линей; ным функционалом; последний термин чаще используется в теории бесконечномерных пространств).
Выберем в 1' какой-нибудь базис (ем,,,,ен). Тогда результат применения линейной функции 1 к вектору х = Л|е1 + ... + Л е„ запишется в виде У(х) = Л, А +... + Л.д,. где (ч = 1(е,) -. - скачяры, зависящие только от выбора базиса. Обратно: непосредственно видно, что при заданном базисе (ем,., ...,ео) произвольным скалярам )1, Е Й, г = 1,...,и, отвечает, и притом только одна, линейная функция. Важно, однако, помнить, что как в определении линейной функции, так и в эквивалентных ему соотношениях У(х+ у) = 1(х) + ((у), ((Лх) = ЛУ(х) нет уполеинанин о каком-либо выборе базиса, т.е.
определение линейной функции инвариантно (не связано с выбором базиса). Представлял значения линейной функции ( в виде (1), мы должны знать правила, по которым меняются коэффициенты )з; = 1(ев) при переходе от одного базиса к другому. Пусть (ем..., е„) = Г = (е',..., е'„), е =а1 е1+азез+.,.+ацен, у =1,2,...,.п, формулы перехода от базиса (ем., ., е„) к базису (е',..., е'„). Если теперь Лв 31 +... + Л„,Зи = у (и) = Л~~,31 +... + Л'„о,'о где Лм...,.Ло и Л'„...,.Л'„координаты вектора ъ Е 1' в базисе (ем,,.,е„) и (е1,...,е'„) соответственно, то, как легко видеть, = 1(е~) = ((апе, + асоез+...
+ а„,ен) = = ап1(е,) + аз 1(ез) +... + а„,у(е„) = = ао31 + аззцз +... + ашц . (2) 3 Л.И. Кострикин 34 Гл. 1. Пространства и формы Стало быть, базисные векторы и коэффициенты линейной формы ари замене базиса меняются по одним и твм же формулам, т.е. согласованно или, как в|не говорят, когрвдиентно. 2. Двойственное пространство н двойственный базис. Имея линейные функции 1, д на И, мы можем рассмотреть их линей- ную комбинацию оу + рд с о, 11 Е А, полагая (оУ + М(л) =' оУ(л) + Ы; ). Непосредственно проверяется, что о1 + 11д является линейной функ- цией и, следовательно, имеет смысл Определение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
