1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Очередная замена переменных и 1 и ! ! ! ! 1 Х1 Х1~ Х2 122Х2 + 123ХЗ + ' ' '+ ззптп) даст нам выражение 11 22 где до(хз',...,х",) = ~, у 1 ' х' х," форма от еще меньшего числа переменных. этот процесс, очевидно, продолжаем до канонической записи 11(х) в виде линейной коллбинапии г = гапку квадратов. Производимые по ходу дела замены переменных невырожденны и отвечают переходам к новыл1 базисам. Следует сделать только одно замечание. Ограничительные, на первый взгляд, предположения )11 ф О, Дз р'.
-О,... таковыми не являются. Если )'11 — — О, но 111 у': О для некоторого Й,то достаточно поменять нумерацию переменных хл,хл (или,что у' 4. Билинейные и квадратичные формы 49 то же самое, иначе занумеровать базисные векторы). Если, однако, д(х) р: 0 не содержит ни одного квадрата, т.е. уы = 0 для всех й, то без ограничения общности можно считать, что 2гггхгха ф О, а в таком случае следует воспользоваться заменой 1 х1 =хг +х, ! хг; хь =ха "> 2. Возникнет несократимое слагаемое 2~гг(х, — х г), дающее возможгг гз ность начать наш процесс. 7. Вещественные квадратичные формы.
Действуя над произвольным полем Я (с ограничением сйагЯ р': 2), мы не можем, вообще говоря, приводить диагональные квадратичные формы к еще более простому виду. Если, однако, Я = Б'., то все коэффициенты в (10) мы можем сделать равными х1. Действительно, при соответствующей перестановке базисных векторов мы имеем право считать первые в коэффициентов Лы, Л, формы (10) положительными, а остальные отрицательными. При замене координат х;= „/Л;.хб 1<в<в; х,.=~l — Л; х,, в+1<г<г; х',=х„г+1<г<п, получим д(х) = 2„, (х',)~ — 2,',,(х',)г. Определение 5. Говорят, что квадратичная форма о, значения которой вычисляются по формуле д(х) =х, +...+х, — х„, —...— х„ (11) имеет нормальный вид. Только что проведенное рассуждение показывает, что в случае Я = К справедлив более сильный вариант следствия 1 теоремы 4.
С.ледствие 1'. Всякая квадратичная форма о на вещественном векторном пространстве И приводится к нормальному виду. Кроме ранга г у квадратичной формы у на векторном пространстве 1' над В появилась еще одна числовая характеристика количество в коэффициентов 1 в ее нормальном виде. Оказывается, что число в также не зависит от способа приведения д к нормальному виду.
Теорема 5 (закон инерции). Пусть о квадратичная форма на п-мерном векторном пространстве И над %. Тогда целые числа г и в, в < г < и, входлщие в нормальный вид (11), зависят только от у. Доказательство. Инвариантность г нам известна, так что нужно лишь убедиться в инвариантности (независимости от выбора канонического базиса) числа в. Предположим, что в каком-то другом базисе (е'ы..., е'о) форма у имеет нормальный вид у(х) — (х') + + (х') (х', г)' (х'.)з (11 ) 4 Л.И. Кострикнн 50 Гл.
1. Простпранстпва и 4ормь> с 1 положительными членами (х = 2„, л;е; = 2, л',е';). При 1 Р в без ограничения общности считаем 1 < в. Рассмотрим в 1т надпространства Ь= (е>,...,е,)н, Ь = (ет >,...,е„),. Так как дйп> (Л+ Ь') < т1пц ут < п, то по теореме 6 из ~ 2 имеем с)1тп (Ь О Л') = дйш Л + 61>п А' — Йш (Л + А') > > в + (и — 1) — и = в — 1 > О. Стало быть, существует ненулевой воктор а Е (П Г> Ь'): > > 0 ф а = атет +... + а,е, = ат„,е тьт +... + а„е „. Согласно (11) д(а) = а, + ... + а„ > О. В то же время согласно (11') д(а) = -(а', ) —...
— (а~.)в < 0 (возможно, что т < н, а', т =... = а'„= 0). Полученное противоречие устраняется только в случае в = й П Ввиду теоремы 5 для числовых инвариантов формы используются специальные термины. Определение 6. Ранг вещественной квадратичной формы называется также ее индексом инерции, число в -- положительным индексом инерции, число т — в отрицательным индексом инерции. Под сизнатурой формы понимают либо пару (в, т — в), либо разность 2в — т между числом положительных и числом отрицательных квадратов.
Закон инерции квадратичной формы, приписываемый Дж. Сильвестру (1814 1897), ведет свое происхождение из механики. Очевидно, что для комплексной квадратичной формы у: К вЂ” > С понятие положительного или отрицательного индекса инерции теряет смысл, поскольку ненулевые козффипиенты Л, в ее диагональном виде (10) можно тогда сделать все равными 1 или все равными — 1.
8. Положительно определенные формы и матрицы. Пусть снова Ь' -- вещественное векторное пространство. Квадратичная форма д на 1' называется невырожденной, если гапку = т11щн1т; другими словам, ее индекс инерции совпадает с размерностью пространства. Определение 7. Невырожденная квадратичная форма т1: 1> — > -> К называется положительно (соответственно отрицательно) определенной или прог>то положительной (отнрицатнельной), когда ц(х) > 0 (д(х) < 0) для любого вектора х ф О. Форма у называется ноложитаельно т>олуоттределйнной (или неотрнцатпельной), сели д(х) > 0 для всех х Е 1'.
Наконец, форма д неонредсленнал, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения. у' д. Билинейные и кеадратпичные формы 51 Важно заметить, что эти понятия не связаны с выбором базиса. Соответствующими нормальными формами от и = г)гшгд~' являются: хг + хг +... -)- х„в случае положительной опредшченности; — хг — х~ —... — х„в случае отрицательной определенности:, 2 хг + х., +... + х,, г < и, в случае положительной полуопределен- 2 ности; г > в > О (см.
(11)) в слу.чае неопределенности. Записанная в каноническом базисе (е,) вещественная квадратичная форма д(х) = Лгх~г + Лйхг г+... + Л„хг„, очевидно, положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты Л, больше нуля: достаточно заметить, что Л, = д(е,). Билинейная форма, полярная к положительно определенной квадратичной форме, также называется положительно определенной. Аналогичная терминология переносится на матрицы. Например, вещественная силпнетричнзя матрица Г называется положительно определенной, если Р соответствует положительно опреде денной квадратичной форме. Но положительно определенной форме в ее нормальном виде отвечает единичная матрипа, поэтому, согласно следствию 2 теоремы 4 имеет место Теорема 6. Любая положительно определенная матрица Г имеегп вид (12) где А вещественная невььрожденная матрица. Верно и обратное: всякая веиьественная магприца вида (12) положитпельно определена.
1асто возникает необходилюсть непосредственно по матрице квадратичной формы судить о том, является ли она положительно определенной. Пример. Пусть ьс(х, р) -- дифференпируемая функция двух вещественных пероменных, допускающая раззюжение в сходящийся ряд Тейлора в окрестности начала координат. Символами 1с', р'„ обозначаются частные производные по х и р соответственно. Точка (0,0) предполагается крнтнческой (или,как еще говорит, станнонарной), т.с.
дг (О, 0) = 0 =. х', (0,0), так ч"го разложение н ряд Тейлора начинается с членов нулевой и второй степени: р(х,у) = 1с(0,0) + †(аха + 2ьху + су ) + .. 2 :Здесь а =- дс" (0,0), Ь =. Ьс"л(0,0), с =- П'„'„(0,0), а точками обозначены члены более высокой степени. В достаточно малан окрестности пуля зтими членами можно пренебречь,так что значение функции сс приближенно равно константе 1 р(0, 0) плюс -д(ч), ч = хег -~- уез, где ' 2 д(ч) = ахз -~- 2Ьхр -1- суз квадраз ичная форма па Р = (ег, еа). В общем случае гапй д = 2, несли ото гак, то критическая точка (0,0) называется нееырозхоенной.
Если д положительно определена, то, очевидно, 1с имеет в (0,0) относительный минимум. Максимум 52 Гл. 1. Пространства и формы отвечает отрицательно определенной форме д. Если же сигнатура формы д равна В, Ц, то в 10,0) нет ни минимума, ни максимума, и критическая точка 10, 0) называется седловов.
Записав д1ч) ввиде д1ч) =а(л+ — ) + (с — — ) уз, а~О, или использун аналогичное выражение при о = О, с и О, мы видим, чго вьпщлнсние неравснсгв н>0, >О а Ь с является достаточно простым необходимым и достаточным условием положительной определенности формы д и, следовательно. условием существовании минимума функции 1с в окрестности начала координат. В рассмотренные выше неравенства входят определитеяи, аналогом которых в н-мерном случае являются так называемые главньее ,миноры Л1 Лз . Ль Л1 Лг .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
