1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Таким образо.л, билинейная форма 1 симметрична или кососимметрична в точности тогда, когда ее матрица Е относитеяьно любого базиса в 1' симметрична или соответственно кососимметрична. Теорема 2. Если сЬагтт ~ 2, то пространство Ез(1;.в) всех билинейных форм яв яется прямой суммой ~з(~ т~) ~2 (1 )" ) т-~ ~з (1 . ) надпространств ь.' (1',тт)т Е. (г',Й) симметричных и кососимметричных билинейных форм. Доказательство. Если т' е Е~~(1',Я) ГУ Е,, (1г, Я), то 1(х,у) = 1(у,х) = -1(х,у) ==~ 21(х,у) = О ==~ 1"(х,у) = О (поскольку по усгювию сЬагй ф 2), откуда т" = О. Следовательно, суьтмта Е.,' + Е.
прямая. С другой стороны, соотношение 1 1 1(х,у) = — (1(х,у) + 1(у,х)) + — (1(х,у) — 1(у,х)) или соответствующее матричное соотношение т(Е + тЕ) + т(Е тЕ) 2 2 показывает, что всякая билинейная форма 1 представзяется в виде суммы симметричной и кососимметричной форм. П Над Я = Ез каждая кососимметричная матрица симметрична, и поэтому утверждение теоремы перестает быть верным, поскольку, /011 например, матрица (от 1 не явяяется симметричной.
Имеется еще понятие знакопеременной билинейной формы 1"; 1'(цтн) = О ттц е У, которое, однако, прн сЬат.тт ~ 2 совпадает с понятием кососимметричной формы (проверьте это). В дальнейшем предполагается, что сЬагЯ ф 2. у' 4. Билинейные и квадратаичные формы 45 5. Квадратичные формы.
Расснготрение симметричных билинейных форм приводит к следующему важному понятию, которое естественным образом возникает в разных разделах математики. Определение 2. Квадратичной формой наконечномерном векторном пространстве уг над Я называется функция Ч: 1' — ~ Я, обладающал двумл свойствами: П ч( — ») = д(ъ) Уг» е уг; й) отображение 7": 'г' х уг — г Я, определенное формулой 1 7(х,У) = -(Ч(х+У) — Ч(х) — Ч(У)), 2 (6) является билинейной форлюй на Г (очевидно, симметричной). Ее ранг называетсл также рангом Ч: гаггн Ч = гапйд.
Говорят еще, что симметричная билинейная форма 1, определенная формулой (1), получается из д поляризацией или что г" билинейная форма, нолярнал к квадратичной форме д. Пусть теперь 1" -- произвольная симметричная билинейная форма на 1г. Положив Чр(х) = 1(х,х), (7) мы получим функцию Ч7; Ъ' — у Я, удовлетворяющую условиям г), й) в определении квадратичной формы, поскольку 1( — х, — х) = ((х, х) и 1 ~(х, у) = — (~(х -Ь у, х + у) — Д(х, х) — ((у, у)). (8) 2 Можно подумать, что Чр — какая-то особал квадратичнал форма. На самом деле зто не так, поскольку справедлива следующая теорема (ее несложное доказательство можно опустить без ущерба для понимания даяьнейщего).
Теорема 3. Каокдая квадрагаичн я форма д однозначно восстанавливается по своей полярной форме 7', другими словамн, Ч = Чр. Доказательство. Положим в (6) у = — х: 1 -7(х,х) = -(Ч(0) — Ч(х) — Ч(-х)): 2 отсн>да 1 Ч(х) = 1(х, х) + — Ч(0). 2 Так как 1 — билинейнал форма, то 7'(О, 0) = О. Позтолгу при х = 0 имеем д(0) = —,Ч(0), т.е. Ч(0) = О.
Значит, Ч(х) = 1(х, х). П Определение 3. Матрицей квадратичной формы Ч = Чр относительно базиса (ег,..., е„) пространства Ъ' называется матрица Е билинейной формы г', полярной к Ч. Стало быть, Г = (1ез), где 1 де = †(Ч(е, + е .) — д(е,) — Ч(еу))., $, 1 = 1, 2,...,п. 2 46 Гл. П Прооаранотва и формы Любой симметричной матрипе Г = (Д,з) в свою очередь отвечает квадратичная форма о, заданная соотношением д(х) = 'Х Р Х = ~ Л,л;иу аз Таким образом, в соответствии с названием квадратичная форма суть однородная квадратичная функция координат лы...,ао вектора х = л1е1 + ...
+ хаен. Заслуживает быть особо отмеченным случай диагональной матрицы Р. О п р е д ел е н и е 4. Говорят, что квадратичная форма о имеет в базисе (еы...,е„) пространства Г канонический или диавональный вид, если для каждого вектора х = ~х,е, е Г значение д(х) вычисляется по формуле д(х) = ~ ~унт,. Базис (е,) при этом называется каноническим базисом для о. Та же терминология относится и к соответствующей полярной билинейной форме 1': Пх,у) = ~ Л **р Не требуется, чтобы канонический вид квадратичной формы или ее канонический базис определялись однозначно. Скажем, при произвольной перестановке векторов канонического базиса вновь получается канонический базис.
Заметим,что в каноническом виде гапхду = гапх1 есть просто число отличных от нуля коэффициентов ум. Вместе с тем согласно замечанию в конце п. 3 гапйй = йп1à — йшТю где Ьо = Ьу ядро (радикал) формы 1 (левое или правое безразлично ввиду симметричности )). Подпространство Т с Г, называемое также изотропным (или нулевым) подпространством квадратичной формы о, в терминах о определяется так: Б = (п е 1' ~ фи+ ч) = д(п) + д(и) Ури е Г). Ранг формы о величина инвариантнвя. 6. Канонический вид квадратичной формы.
Вопрос о возможности выбора базиса, в котором данная форма принимала бы наиболее простой вид (а таковым является канонический вид), имеет важное теоретическое и прикладное значение. Теорема 4. Длл всякой симметричной билинейной формы 1" на Г существует канонический базис.
Доказательство. При и = 1 утверждение очевидно, поэтому можно использовать индукцию по н. Если ~(х, у) = 0 для всех х, у Е Е Г (т.е. 1 = О), то теорема очевидна: любой базис годится. Если же У' 4. Билинейные и квадратичные формы 7 ф О, то отлична от нуля и соответствующая квадратичная форма (равенства (6), (8) или теорема 3). Пусть е~ такой вектор, что з1ем е~) = ц(е~) Р О. Тогда линейная функция 1',; х ~-> 7(х,еь) отлична от нуля (~~(е~) ф- 0). По теореме 4 из ~) 3 линейное подпространство Ь = Кег~~ = 1х к Ц 7~ (х) = О) имеет размерность и — 1, т.е. является гиперплоскостью.
По предположению индукции Б обладает базисом (еа,..., е„), в котором матрица формы 7, ограниченной на А, диагональна, т.е. 7'1ебе ) =О при 1~1, 1,1=2,...,п. Так как по построению ~(е„е~) = О, 1 = 2,3,...,и, то мы получаем свойства Деме,) = О, 1 ~ у, характеризующие канонический базис (еь), если только система векторов ем ею..., е„линейно независима. Предположив противное, мы в любом соотношении о~е~ + оаеа +... + о„е„= 0 имели бы коэффициент оь ~ О, поскольку (ею...,ео) базис в А.
Но в таком случае е~ = ~,>~ Де, и 0 ф ~~(е~ ) = ~~ (~ В;е,) = ~ ~3,~~(е,) = 0 ~>1 а>1 --- противоречие, доказывающее теорему. П Следствие 1. Пусть на векторном пространстве И размерности и над полем Я вадино квадратичная форма у ранга г ( п. Тогда в И суилествует базис (е;), в котором ц принимает канонический вид д(х) = Л,х~ + Л, х~ ~+... + Л„х~. (10) Следствие 2.
Для любой си,мметричной матрицы Б существует невььрохсденн я магарица А такая, что '.4ГА диагональная матрица того аке ранга, что и Г. Другими словами, всяк я симметричная матрица конгруэнтна диагональной. Рассмотренный выше индуктивный способ приведения билинейной (а следовательно, и квадратичной) формы к каноническому виду принадлежит Лагранжу (1736 — 1813). Естественно, что на практике его применяют в координатной записи, действуя несколько в ином порядке. Исходя из выражения (9) квадратичной формы д(х), интерпретируемой как однородный многочлен степени 2 от п независимых переменных и у(хы..., х„);= цех) = ~ ~~0 х;х, ьз=ь будем избавляться от смешанных членов х,х, 1 ф З, древневавилон- ским методом дополнения до полного квадрата.
Выделим все члены, 48 р и К Проолприпстпои и фориь1 содержащие координату х11 4(х1,...,хп) = 2 1211 хл + 2~12 хл тз + 2~13 хлхз + ° + 2~ли х1хп + ~~~;~у хзху 1,1ф1 (визуально мы имеем суммы типа 211 х1хо + 111 хохл, но 311 = 311, поэтому возникают удвоенные произведения). Предположим сначала, что 111 ~ О, .и за счет коэффициентов при членах, не содержащих х1, выделим полный квадрат: 1 4(х1,..., хп) = — (Ллхл + Лзхз + . + Бпхп) + 2 .
Л1 х,х,. Л1 1,1'ф! Полагая теперь / Х1 111Х1 Л 112Х2 ~ ' ~ Лп Сп х',=х„г>1, мы приведем форму д к виду 4(х1:"",х.) = — ( 1)2+а'(хз'",х',), Л1 где 4'(х',..., х'„) = ~,. о 1,'ух',х' квадратичная форма от меньшего числа переменных. Считая Д. ф О, перепишем ее в виде Ч(Х2 ''' Хп) 122Х2+123Х2ХЗ+'''+12пХ2Хп+ ~Х~ Л1Х~Х1 пз>2 = — (И' Хз + ЛЗ ХЗ + " + Узп 3») 2 + ~~ .С1 Х',Х,' оо П1>2 (переход от У,". к ~," обусловлен выделением нового полного квадрата).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
