1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Удобно считать, что базис нульмерного пространства образует пустое множество векторов. Существование базиса в Ь' вытекает из определения п-мерного пространства. Следующая теорема показывает, в частности, каким образом можно фактически строить новый базис, исходя из заданного. Теорема 3. Пусть е' — векторное пространен!во над Я с базисом (ег,...,е„). Тоедл имеют место гледуюгцие утверждения: у л. Размерноспзь и базис Ц каждый вектор и Е И можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов еы..., е„, й) всякую систему из в < п линейно независимых векторов Гы... ..., Г, прошпранства )г можно дополнить до базиса.
В частности, любой вектор ъ ~ О можно включппзь в базис. Доказательство. з) Присоединив к данному базису произвольный вектор и Е И, мы получим согласно определению и-мерного пространства линейно зависимую систему, причем в нетривиальном соотношении от+ озез +... + о„е„= О коэффициент о должен быть отличен от нуля.
Следовательно, т = (-и о1)ез +... + (-о о„)е„ - - линейная комбинация базисных векторов. Из существования двух разложений Р'з аз +... + р„е„= и = узез +... -Ь у„е„ мы получили бы после вычитания соотношение (А — уз)е~ +... + (дь — у„)еь = О, но ввиду линейной независимости еы..., е„отсюда вытекало бы ра- венство нулю всех коэффициентов: д1 — 1ч =... =,3„— т = О, т.е. О1 = уы ..., Щ, = у„.
Тем самым установлена единственность разложения. й) Рассмотрим систелсу векторов Гы, ..,Гьд еы...,ео. Выбросим теперь из системы (1) все те векторы, которые выражаются линейно через предыдущие. По условию Гы ..,, Г, линейно независимы, поэтому ни один из них выброшен не будет, и оставшаяся система примет вид (2) Г~ ., Гз; еп, ..,, ен.
Любое нетривиальное соотношение озГз+...+п,Гз+цзе„+...+реп =О содержало бы коэффициент ~Зя ~ О с максимальным номером Й, и мы выразили бы вектор е;,, через предыдущие векторы системы (2), что исключено по построению. С другой стороны, согласно Ц все векторы из И выражаются линейно через базис (еы..., е„), тем более через систему (1), а стало быть, и через систему (2). Таким образом, линейно независимая система (2) максимальна. Она будет базисом пространства И, а еп,..., ен искомым дополнением.
П 22 р с П Пространстплл и форин Рассуждение, использованное при доказательстве утверждения й), называют по традиции принципом Сглейнигга о замене. Тривиальным следствием утверждения й) является импликация 1гг с 1'г ==л гг < гг, Ф где Ъг., Гх .-- надпространства в 1Р размерностей соответственно гь гг. Замечание 1. Число элементов базиса конечномерного пространства Г' не зависит от базиса, и иногда базис считается просто подмножеством в 1г, но вопрос о нумерации базисных элементов (или о порядке элементов базиса) приобретает значение при использовании матричного формализма, как это будет ясно из дальнейшего.
Структура на множестве индексов базиса чаще всего определяется существом дела. Нс всегда в качестве индексов берутся натуральные числа. Так, базис (д,, ~ х е Х) из дельта-функций (см. пример 4 из З 1) пространства Ях (Я поле, ~Х~ < оо) естествгнно нумеруется элементами х с Х. Если вдобавок Х конечная группа, то линейное пространство Я~ функций на Х со значениями в поле гл можно превратить в алгебру размерности ~Х~ над Я (см. определение в конце п. 2 из ~ 1), положив б, *йл = длм 'Фх,х' Е Х и распространив умножение на все функции ( = 2 Д(х)б„д = = 2 д(х')д„по линейности: г" * д = ~ ~((х)д(х')йл = ~~ (~ ((х)д(х у))6, . х,мех рЕХ лЕХ Эта операция носит название свертки функций.
Если Х = (хы хг,... ..., х„) и мы возьмем в Е базис (Ьг,..., Ь„), гхг = д... пронумерованный натуральными числами, то сразу же возникнет затруднение с определением номера Й в формуле гл, * Ь = Ьр. 3. Координаты. Изоморфизм пространств. В силу теоремы 3 имеет смысл следующее Определение 5. Пусть (еы.,.,е„) -- базис векторного пространства 1' над Я. Скаляры Лы..., Л„б Я, входящие в разложение ч = Лгег +... + Ляе„„ называются каординатигли вектора ч Е Ъ' в данном базисе.
Если х = агег + ... + а„е„,у = дгег + ... +,З„е„, то х + у = = (сгг + цг)ег +... + (ал +,3„)е„, т.е. при сложении векторов х, у их координаты складываются. Так как, далее, Лх = Лагег+...+Лале„, то при умножении х на скаляр Л координаты вектора х умножаются на тот же скаляр. Вектор, все координаты которого равны нулю, совпадает с нулевым вектором. Если Р„- пространство, векторами которого являются много- члены из Щг) степени < п — 1, то, как улсе отмечалось, один из базисов у с.
Размерность и базис составляют векторы ео = 1, е1 — — 1, ..., еп ! — — 1п 1. В этом базисе координатами многочлена 1(1) = оо + о!1+... + оп 1Г ' будут его КазффнцнвитЫ ОО!О1,...,Оп !. НО тат жс МНОГОЧЛЕН 1(1), Заннеаи- ный в виде ер! †!!( 1(1) =,(( ) + Г( Н1 — о) + ... + (1 — )" ', (н — 1)! будет иметь в базисе е'„= 1, е' = 1 — о, ..., еп = (1 — о)п координаты (3) Еп = а1„Е! + ахпЕ2+...
+ а„пЕп. Коэффициенты а, й Й определяют матрицу ам а12 с!21 а22 а 1!2 азп А = (а, ) = ап1 С!пя ° ° С!пп называемую матрияей перехода от базиса (е1,...,еп) к (е',...,е'„). Следует подчеркнуть тот факт, что координатами вектора е' от- НОСИтСЛЬНО баЗИСа (Е1,...,Еп) СЛужат ЭЛЕМЕНТЫ 1ЧГО СтОЛбца Матрицы А. Пусть координатами вектора и Е К будут Л1,..., Лп в базисе (е1,...,еп) и Л'„...,Л'„- в каком-то новом базисе (е'„...,е„'), т.е. Л1е! +... + Лпеп = я = Л!! е', +... + Л'„еп, После подстановки вместо е' их выражений (3) через ее мы получим и = Л1Е1 +... + ЛпЕп = Л (а! ! Е! + а21Е2 +...
+ ап1Еп) +... ... + Л'„(а1„е1 + азпе2+... + аппеп), В йп координатами вектора х = (о1,. оя,..., оп) относительно базиса е1 — — (1, О,..., 0) ! е2 —— (О, 1,..., 0), ..., еп = (О, О,..., 1) (раньше мы писали Е11р Е<2О..., ЕО!!) являются числа о1, о2,..., о (поэтому это пространство и называется координатным), но в Кп имеется бесчисленное множество других базисов, в которых координатами того же вектора х будут новые системы чисел.
Рассмотрим теперь эту ситуацию в общем случае. Пусть К П-МЕРНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСтРаНСтВО НаД ПОЛЕМ Й И (Е1,..., Еп), (Е1,... ..., е'„) какие-то два его базиса. Векторы одного базиса выражаются через векторы другого: Е, = аыЕ! + а21Е2 +... + а„1Еп, 24 рл. П Прас>пранства и формы откуда Л> = а»Л> + а>зЛ!, +... + а>„Л'„, (4) Л„= а„, Л, + а,„Л +... + а„„Ло, или, как мы писали в [ВА 4, гл. 2], Х = АХ', (4') где Х = (Л>,..., Л„], Х' = (Л',..., Л'„] столбцы старых и новых координат. Формулы (4), (4') выражают старые координаты Л>,..., Лв вектора ч через его новые координаты Лм...., Л'„при помощи линейного преобразования переменных с матрицей А.
Ъ!ы могли бы с самого начала выразить ем ..,, е„через е~>,..., е'„(оба базиса в Г равноправны), и тогда полу.чились бы формулы Л', = а'„Л> + а',;Лз +... + а';вЛв, ! ( ! ( и. (5) Их существование означает, что линейное преобразование с матрицей А обратимо, т.е. бес А ф О, и (5) принимает вид Х'=А Л, А =(а';,). Итак, справедлива Теорема 4. При переходе от базиса (еы..., е„) просп>ранства Г к базису (е'„..., е'„), определяемом матриией А, координаты вектора в новом базисе вырахкаются через старые координаты при помаяли обратимого линейного преобразования с матриией А Важно отметить, что при явном выражении нового (штрихованного) базиса через исходный по формуле (3) естественным образом старые координаты выражая>тся через новые (штрихованные) по формуле (4) (обратить внимание на порядок суммирования), в то время как выражение новых координат через старые требует трудоемкой операции обращения матрицы перехода.
Использование координат позволяет свести операции над векторами к действиям над скалярами (скажем, над числами из К), а выбор разумной системы координат (базиса) зачастую существенно упрощает вычисления. Понятие базиса или координатной системы мы используем теперь для того, чтобы алгебраически отождествить векторные пространства одинаковой размерности. Определение 6.
Векторные пространства Г и И' над полем Я называются изоморфными, если существует биективное отображение !; Г -> И", для которого у(оп+ Ди) = о((п) + >зу(>с) (6) при всех о, Д Е Й, пли Е !'. Другими словами, ! — изоморфизм аддитивных групп пространств Г и И~, обладая>щий дополнительным свойством у(оп) у 2. Размсрносляь и базис = а((н).
Говорят также, что отображение у линейно над Я, или Я-линейно. Из определения изоморфизма гру.пп вытекает, что отображение у ' будет также изоморфизмом И' и 1'. Кроме того, композиция изоморфизмов будет изоморфизмом (од: à — ~ И'. Непосредственно видно, что размерность является инвариантом изоморфизма: если (еы...
...,е„) . базис в 1', то (((е~),..., ((ел)) . базис в И', и обратно. Других инвариантов изоморфизма нет, как показывает Теорема 5. Все векторные пространство одинаковой размерности и нод Я изоморфньь Более точно: все они изоморфны координатному нроелнранству Ян. Доказательство. Пусть (ем...,е„) какой-нибудь базис и-мерного пространства 1'. Координаты аы...,а„произвольного векторах = а1е1 + ... + а„ен однозначно определены, поэтому соответствие у; х у (аз,...,а„) между векторами из 1' и Я" биективно. Если у = Д1е1 +...
+,З„е„, то ах +,Зу = (ааз +,ЗД~)е1 +... + (аа„+ Др„)е„. Стало быть, .((ах+Ду) =( +13, ., +ВД ) = = а(ам .,,, а „) + Д(Зы,, ., (з„) = а ((х) + Щ(у), что и явчяется выражением свойств изоморфизма. П Доказанная теорема в сущности утверждает, что, выбрав базис в И, мы придем к Я".
Однако было бы крайне неудобно ограничиваться изучением линейных задач только в Я", поскольку подлинной целью является получение результатов, совсем не зависящих от специальных свойств базиса. Кроме того, при переходе к Я" утрачивается наглядный характер многих векторных пространств таких, как обычное трехмерное пространство, пространство многочленов и др. П р е д у п р е ж д е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
