1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1 ПОднрОСтаиетВО П„, СОСтОящЕЕ ИЗ ТОЧЕК (Е1сво,...,Ссо) С Е1+ +еэ+... + во — 0 (напомним, что 1+ 0 = 0-1- 1 = 1; О+ 0 = 0 = 1+ 1), задает простейший код, исправляющий одну ошибку (см. [ВА 1, гл. 4, 2 4, п. 7)). Именно, условившись, что закодированным сигналам соответствуют только точки (е1,еэ,...,ен) й П„, и приняв сигнал (е1,ев,...,е',,) с е1 + е~ +... + е'„, = 1, мы с полным основанием можем считать, что при передаче сообщения произошло его искажение внешними помехами.
Наш код с проверкой на четность не обнаружит, конечно, двух искажений, поскольку тогда (е1, еэ....., е'„) й Пн. 2 Л.И. Кострикин растяжению в )а~ раэ и повороту на утоп аг80 против часовой стрелки. В частности, при а = -1 ограничение на ))е' поворота С1 на 180' дает кпереворачиванисн прямой К1.
В г:1. 3, 2 4 будут изложены операции комплексификации и овеществления,позволяк1- щие использовать преимушества алгебраической замкнутости поля С (для работы с вещественными векторными пространствами), а и-мерное комплексное пространство С" представить как 2п-мерное вещественное пространство 142". Отметим еще,что физическое пространство Ц гораздо богаче, чем координатное пространство той же размерности, поскольку в Ц определены длины векторов и углы лсежду ними, площади и объемы фигур. Вся эта дополнительная информация невольно переносится на чертежи, призванные отразить свойства абстрактных векторных пространств, аксиоматика которых пока бедна.
Ее обогащение метрическими понятиями в полной мере реализуется лишь в последующих главах. В какой степени векторное пространство 1' несет отпечаток свойств поля скаляров, видно также из того,что если Я конечное поле, то геометрические образы, привнесенные из 11в, являются "дырявымио (следствие дискретности о1). Но этот недостаток Я можно иногда обыграть (рис. 1), ассоциируя с линейной геометрией над Й дискретныс картинки иного рода. Например, и-мерное координатное пространство Еэ над полем из двух элементов Еа = 10, 1) = е,э допускает естественное отождествление с множеством вершин ((е1, еэ,, ., ..., сн); е, = 0 или ев = 1) и-мерного куба в 2".
18 Гл. ?. Прошпринсгпва и 4ормы УПРАЖНЕНИЯ Ь Образуют ли следующие множсстна векторные пространства вад полем ЛН а) матрицы из М (Н) фиксированного ранга г; б) симметричные матрипы СА = А) из Л?„(Н); в) кососимметричные матрипы ('А =- — А) из М„Н); г) матрицы из Л?в?и) с нулевыл1 определителем; д) матрицы из лх (н) с нулевым следом ьгА = О (след матрицы А = (о, ) опредсяяетгя соотношением Сг А = оы Е озз т ... Е и,„); е) матрицы из ЛХ„Щ с положительным следом; ж) многочлены вида Лс) = (и~ +... +о„) — из? —... — и е при фиксированном и (ач Е Н)? 2.
Сколько элементов существует в координатном пространстве Р„" векторов- строк (хы..., х ) плицы и над конечным полем ун из р элементов? Сколько решений в Рр имеет уравнение о1ху Ь оехз -~-... Е овхя = О (не все а, Е Ер равны нулю)? 8 2. Размерность и базис 1. Линейная зависимость. Действун по аналогии с [ВА 1, гл. 2[, введем следующее Определение 1. Векторы чы .. ю ип пространства 1г называются линейно зависимыми, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулю; другими словами, найдутся такие скаляры оь..., суп, не все равныс нулю, что оуу1+озуг+...+о у =О. В противном случае система векторов ны..., у„называетгл линейно независимой.
Когда среди векторов уы,,.,уп имеется нулевой, зти векторы не могут быть линейно независимыми: если, например, уу = О, то, положив оу = 1, ог = ... = о„= О, мы получим нетривиальную линейну.ю комбинацию, равную нулю. Теорема 1. Пекторьз уы...,у„, и ) 2, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных. Система векторов у,,...,Уп линейно зависима, коль скоро некоторая ее' подсистема линейно зависима. Другими словами, если система векторов линейно независима, то и всякая ее' подсистема также линейно независима. Мы сознательно опустили доказательство, поскольку оно достаточно очевидно и является повторением доказатеыьства соответствующей теоремы из [ВА 1, гл.
2, О 1[. Фактически там же доказана Теорема 2. Если в простринспьве К киждый из век?паров линейно независимой системы еы...,е, валяется линейной комбинацией векторов сис?гземы Гы..., Х„то в < Е у с. Размерность и базис 19 Доказательство. Вспомним, как мы рассуждали ранее (чуть в иных обозначениях). По условию имеем ез = оы$з + оаз1з +... + сснРы е, = оз,Г1 + ог,Г -Ь... + ос,Гы где о,. какие-то скаляры. Предположим, что в > й Составим линейную комбинацию векторов еы..., е, с коэффициентами х,: х1е~ + ... + х,е, = = (онх1 + нсз сз+ ° + оыхз)11 + ° ° + (омх1 + енахз+ ° + снз ьз)1с и рассмотрим систему из 1 линейных уравнении с в неизвестными оых1+ о,зхг+...
+ оых, = О, омх1 + осзхг + .. + сзмхз = О. Так как по предположению з > с, то наша однородная система обладает ненулевым решением (ды...,.1)з) (сьь в этой связи ~ВА 1, гл. 1, 3 3, следствие 2), а также [ВА 1, гл. 4, 3 3], где сделано важное для нас замечание о линейных системах с коэффициентами из произвольного поля скаляров). Это значит, что дзез + ... + З,е, = Π— нетривиальная линейная зависимость, наличие которой, однако, противоречит условию теоремы.
Стало быть, в < й П Следствие. Любые две эквивалентные. линейно независимые системы векторов в 1' содерзкат одинаковое число (возмолсно, бесконечное) векторов. При этом две системы векторов мы считаем эквивалентными, когда каждый вектор одной системы является линейной комбинацией векторов друтой системы. Разумеется эквивалентные линейно зависимые системы могут состоять из разного числа векторов так же, как одна из эквивалентных систем может быть линейно независимой, а друтая линейно зависимой. Но если в данной системе векторов из 1г мы возьмем какие-то две максимальные линейно независимые подсистемы (максимальные — значит нс допускающие расширения до линейно независимых подсистем из большего числа векторов), то в этих подсистемах будет одинаковое число векторов.
Для доказатечьства достаточно применить теоремы 1 и 2. Определение 2. Число векторов, содержащихся в любой максимальной линейно независимой подсистеме данной системы векторов, называется рангом этой системы. В применении к пространству 1' установленные нами факты допускают несколько иную интерпретапию, которая будет играть основополагающую роль во всем дальнейшем изложении. 20 Гл.
1. Пространстпеа и !бормьз 2. Размерность векторного пространства и его базис. Могут представиться два случая: либо в пространстве Р можно найти произвольное число линейно независимых векторов !системы векторов произвольного ранга), и тогда оно называется бесконечномерным, либо все достаточно большие системы векторов в и' линейно зависимы. Бесконечномерные линейные пространства, содержательная теория которых предполагает наличие в них дополнительной, обычно топологической структуры, будут рассматриваться лишь эпизодически. О п р е д ел е н и е 3. Линейное пространство )г, в котором существует п линейно независимых векторов, но нет линейно независимых систем с большим числом векторов (большего ранга), называется и-мерным (в записи: с)ппя1х = и ипи просто Нпп1з = п). Нулевое пространство считается 'нульмерным.
Это определение хорошо согласуется с понятием размерности прямой (одномерное пространство), плоскости (и = 2), пространства й!за (и = 3). В новой терминологии ранг семейства векторов 1,иг, из,... ) есть не что иное как размерность линейной оболочки (нг, цз,...). Примеры. 1) Координатное пространстно Я имеет размсрносгь и (ср. 1!1Д 1, гл. 21).!йсли бы зто было не так, то наше определение размерности следовалп признать неполнОценным. 2) Просгранство магрнц размера гп х н имеет размерность тп, в чем легко убедиться, расположив элементы матрицы в одну строку длины гпп и отождествив пространство т х п-матриц с координатным пространством д 3) Пространстно функций н примере 4 из З 1, очевидно, бесконечномерно.
4) Пространство Р„ многочленов степени < и — 1 от одной переменной, очевидно,п-мерно. Линейно независимыми будут, например, векгоры 1,1,...,!" 5) Пространство однородных форм степени й от из переменных имеет размерность и = ( ) (проверьте зто). В двух последних примерах без труда указываются системы из п линейно независимых векторов. Для определения размерности необходимо, однако, убедиться в том., что в этих пространствах нет систем болыпего ранга. Перебора всевозможных систем можно избожать, как нетрудно сообразить, если использовать теорему 2 или ее следствия. Определение 4. Пусть !г и-мерное векторное пространство над полем зч. Любая система из и линейно независимых векторов ег,..., ео Е !' называетсЯ (конечныьг линейным) базисом пРостранства уд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
