1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Одинаково интересны алгебраический и геометрический аспекты теории, поэтому классические "сестры-близнецы", каковыми являются линейная алгебра и геометрия, будут выступать на равных правах. Из курса аналитической геометрии на плоскости и в трехмерном пространстве известно много примеров геометрической интерпретации алгебраических соотношений для двух и трех переменных. Существенно, однако, то, что терминология и идеи линейной алгебры, опираюшиеся на геометрическую интуицию, относятся к пространству произвольного числа и измерений.
Словосочетания "линейная алгебра и анализ" и "линейная алгебра и дифференциальные уравнения", равно как и многие другие, употребляемые в университетских курсах, служат отражением того факта, что идея линеиности -- одна из самых распространенных в математике и, .более общо, одна из самых фундаментальных в цикле естественных наук. Традиционное деление задач на линейные и нелинейные не прихоть математиков, а вполне осознанная необходимость подчиняться сравнительной слабости нашей интуиции там, где кончаются владения линейной алгебры, понимаемой в широком смысле этого слова. Аппарат линейной алгебры, вполне сложившийся к началу нашего века, продолжал совершенствоваться и развиваться в разных направлениях.
При этом его бесконечномерная часть, опирающаяся на понятие предельного перехода, отошла по существу к функциональному анализу, а вычислительные аспекты, особенно актуальные в связи с возможностью применения ЭВМ, стали предметом изучения самостоятельной науки. Предлагаемая книга не может служить исчерпывающим руководством по линейной алгебре не только потому, что она не охватывает указанные два направления, но прежде всего ввиду недостаточного освещения приложений (хотя последняя глава как раз названа приложением). В этом отношении учебное пособие [2~ в списке дополнительной литературы содержит Предислоеие гораздо больше фантазии, поводов к раздумью и, сверх того, кван- тово-механических интерпретаций понятий линейной аягебры.
Оно рекомендуется всем, кто хотел бы заглянуть за рамки стандартного курса. А в данный учебник вошли лишь небольшие фрагменты из !2). Наши намерения и надежды сводятся к тому, что читатель !прежде всего студент первого курса), досконально проработавший основной материал учебника (в течение одного семестра по четыре часа лекций и по четыре часа упражнений в неделю) и затем использовавший дополнительные разделы обеих книг для домашнего чтения, сумеет выработать современное математическое мышление в области линейной алгебры. Само собой разумеется, что для полного понимания текста учебника требуется лишь хорошее владение материалом части 1 (при ссылках [ВА 1]], т.е.
материаяоье первого семестра. Терминология и обозначения обеих частей полностью согласованы, а все нововведения специально оговорены. Кстати, упражнение е из 3 д гл. р иногда в тексте обозначается кратко упр. Рлрг. В этом месте следует заметить, что в отличие от ]ВА 1, ВА НН] ответы и указания к упражнениям выделены в специальный раздел., обращаться к которому нужно в крайнем случае. Автор отдает себе отчет в том, что еприземлятье учебное пособие ]2] и тем самым "насту. пать на горло собственной песне" в высшей степени неблагодарная задача.
Единственным оправданием может служить интерпретация данной части Н как отклика на запросы студентов -. отклика, давно подгоговленного, но реализованного с большой задержкой лишь по внешним причинам. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. !. Основы е.тгебры. --. 2-е изд. Мл Наука, 1994. 318 с.
2. Косшрикин А.И., Манин И.И. Линейная алгебра и геометрия.. Мл Наука, 1986. 304 с. 3. Сборник задач по алгебре/ Под ред. А.И.Кострикина. -- Мл Факториал, 1995. — 456 с. 4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре, 5-е изд. — Мл Наука, 1998. 272 с. 5. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. — Мл Наука, 1956. — - 340 с. 6. Халмош П.Р. Консчномерные векторные пространства.. - Мл Мир, 1970. — 264 с. 7.
Аршин Э. Геометрическая алгебра. — Мл Мир, 1970.. 284 с. 8. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. Мл Наука, 1956. -- 304 с. 10 Предисловие. 9. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Л. Вычислительнвге мотоды линейной алгебры. - Мл Наука, 1963. 10. Стронг Г. Линейная алгебра и ее применения. Мл Мир, 1980. 454 с.
11. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. Мл Наука, 1991. 12, Всллмаи Р. Введение в теорию матриц. Мл Наука, 1976. 368 с. 13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — Мл Наука, 1967. 14. Ланкастер П. Теория матриц. -- Мс Наука, 1978. 15. Виррвгц В. Апбеиапдее Вшеэхе А!8еЬга.
Вег1ш — Нем гог!г: Жа!Еег де Сгиусег, 1990. --. 646 р. ГЛАВА 1 ПРОСТРАНСТВА И ФОРМЫ Вряд ли стоит объяснять, чем дикий лес отличается от ухоженного парка или от упорядоченного леса, посаженного человеком. При всем различии, однако, в них столько общего, что инопланетянину, не познавшему вкуса грибов и не оценившему прелести подстриженных газонов, леса будут казаться сплошными зелеными массивами, населенными различной высоты и формы предметами, которые мы именуем деревьями. Нечто подобное произойдет, если сравнить содержание настоящей главы и главы 2 из ~ВА 1], посвященной координатным векторным пространствам. Абстрактное линейное пространство, элементы которого именуются векторами и которое по этой причине мы будем чаше называть векторным пространством, вводится аксиоматически.
Соответствующая система аксиом, по существу разработанная еше Дж. Пеано (1888 г.), хорошо приспособлена к теории линейных отображений (в частности, линейных операторов),. занимающей центральное место в линейной алгебре. Понятие матрицы при этом как бы отходит на второй план. Первостепенное значение приобретают инвариантные, не зависящие от выбора базиса свойства изучаемых объектов. Однако прежде чем углубляться в абстрактный лес, рекомендуется еше раз пройтись по ухоженному парку — — конкретному пространству векторов строк длины и. Мы сознательно пошли на частичное повторение известного материала, чтобы сгладить абстрактные шероховатости. 8 1.
Абстрактные векторные пространства 1. Мотивировка и аксиоматизация. В ~ВА 1, гл. 2) мы изу— чали и-мерное векторное пространство К" = ((хм..., яя) ~ я, Е Й) строк длины п вместе с линейными отображениями К" — у К, находящимися во взаимно однозначном соответствии с гп х п-матрицами. При т = и бисктивное линейное отображение рл: К" — ~ К" характеризуется свойством определителя деу А ~ О, которое позволяет применить правило Крамера для решения системы линейных уравнений, ассоциированной с дл и фиксированным вектором из Кв. В случае суе1 А = О решения однородной линейной системы образуют подпространство в К", но, как отмечалось в свое время, это подпространство (а точнее, линейная оболочка) - объект иной природы; если В" допускает базис (1, О,..., О),..., (О,..., О, 1), то линейная оболочка о" с 11" базисом такого вида, как правило, не обладает.
Это неудобство проистекает из слишком конкретной природы К". 12 Гм К Пространства и 4ормы В самом деле, свойства ВП1 -ВПв, которыми мы фактически пользовались и которые будут воспроизведены ниже, присущи не только пространству К". Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение дах/д1~ + х = О, изучаемое в школе. Известно, что его общее решение записывается в виде х11) = и яшб+ В сов1. Если ов,,Зо таковы, что повшс+ Косову = О при всех 1, то, полагая поочередно 11 — — я/2, .1в = О, получим оо — — О =,Во. Это обстоятельство дает основание говорить о линейной независимости частных решений в1п1, сов1 и о двумерном линейном пространстве общих решений уравнения аах/й~ + х = О в духе следующего определения.
Определение 1. Пусть й -- произвольное поле. Векторным (или линейным) пространством над Я называется множество И элементов (игвенуеыых векторами), удовлетворяющее следующим аксиомам. а) На 1г задана бинарная операция 1' х 1' -э 1', обычно записываемая аддитивно: (х, у) ~-> х + у, и наделяющая И строением абелевой группы (аддитивная группа пространства 1г). Стало быть: ВП~ .
.х + у = у + х (коммутативность); ВПз . '(х + у) + х = х + (у + х) (ассоциативность); ВПз . в 1' существует выделенный элемент О, называемый нулевым вектором, такой, что х+ О = х для любого х Е И; ВПял длЯ каждого х Е 1с сУществУет обРатный (или нРотивоположный) вектор — х такой, что х+ ( — х) = О.
б) На множестве Я х 1' задана операция (Л, х) ~ — ~ Лх, называемая умножением, векторов из Лв на скаляры из А и обладающая свойствами: ВПв: 1 х = х (унигпарносипь); ВПв . .(оДх = о(Вх) для всех о, Д Е Я, х Е И (ассоциапщвность). Сложение и умножение связаны двумя законами дистрибутив- ности: ВПт. .(и+Дх =ох+Дх: ВПв. Л(х+ у) = Лх+ Лу. Обратим внимание на то обстоятельство, что в левой части равенства ВПТ знак + относится к элементам поля Я (скалярам). а в правой к векторам. Строго говоря, следовало бы обозначить различными символами операции сложения в аддитивной группе 1х и в поле Я (скажем, со и +), равно как и операции умножения в Й х 1' и в й (скажем, Ж и ).
Этого обычно избегают, поскольку всегда бывает ясно, о чем идет речь. Все же, чтобы сделать это замечание содержательным и предостеречь от возможных ошибок, рассмотрим множество Г = Кь положительных вещественных чисел. Полагая хбзу = ху (обычное умножение в К) и Л сох = хк (возведение х Е К.ь в степень Л Е К), мы без труда убеждаемся в справедливости аксиом ВП1 — ВПв, так что И векторное пространство над К.
Нулевым у' и Абстрактные векторные пространства вектором служит 1 Е К . Ясно, что в данном случае обычная запись х + д = ху, Лх = тх могла бы вызвать недоумение. Вот еще один пример, когда предпочтительнее другие обозначения. Пусть 1' - векторное пространство над полем комплексных чисел С. Определим новое векторное пространство Г с той же аддитивной группой 1', но с другим законом умножения на скаляры: (Л,х) нв Л,йх = Лх, где Л комплексно сопряженное число к Л. Так как Л нв Л - автоморфизм поля С, то легко проверяется,что Г векторное пространство. Одновременное рассмотрение Г и 1' без значка (О (или какого-то другого символа) было бы затруднительно.
Соглашение. Читатель, вероятно, заметил, что векторы пространства 1" у нас обозначаются то сюлужирными, то светлыми строчными латинскими буквами, а иногда и буквами греческого алфавита. Тем не менее в абстрактных векторных пространствах предпочтение будет отдаваться полужирному шрифту; в конкретных примерах следовать этому правилу было бы непрактично, а изображать вектор буквой со стрелкой наверху свип1ком громоздко. При небольшом навыке принятый нами компромисс не должен приводить к недоразумениям. Непосредственно из определения векторного пространства 1е вытекают следствия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем без всяких ссылок: а) Ох = ЛО = 0 для всех Л Е Я, х Е 1". Действительно, ввиду ВПт Ох = (О+ 0)х = Ох+ Ох., откуда Ох = О. Аналогично, ЛО = Л(0 + 0) = = ло+ ло, ло = о,: б) Лх = 0 =р Л = 0 или х = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
