1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Соответствие между матрицами и линейными отображениями можно использовать для нового доказательства известного утверждения (см. [ВА 1, гл. 2 ч 3)) о ранге произведения матриц. На языке отображений ему соответствует Теорема 3. Пусть Ход -. композиция линейных огпображений П 4 И -э йИ Тогда: с) Йт1сп(Х од) < с1пп1гп Х; й) с1пп1гп(Х од) < Йш1тд. Д о к а з а т е л ь с т в о. Неравенство 1) очевидно, поскольку 1сп(Х ь д) С 1пс 1.
Для доказательства Н) заметим, что 1гп(Х о д) = = Х(1гпд). Так как Йпг1га 6 < Йт П для любого линейного отображения Л: П -э И', то становится очевидным и неравенство й). П ПУсть х = 2 "ыс и». — — вектоР из 1', У = Х(х) = 2 „', У,и с — его образ относительно линейного отображения Х: 1Х -э И' с матрипей ЛХХ вида (2) в указанных базисах (» ), (»»,). Тогда в соответствии с правилом (1) имеем Х(х) = ~ т Х(» ) = ~ и (~об»») = ~(~ос т )и; = ~дно д б Пине«гные отоброженил векторных пространств Отсюда у; = ~", а;.х, 1 < 1 < т, или, коротко, У ее Л«Ту Х, (3) где Х = (хы,,.,х„), У = (ум.,.,у ) столбцы координат векторов х Е 1«и у = 1(х) Е И'. На (3) мы смотрим как на линейное преобразование координат (в привычном нам смысло), отвечающее отображению г.
Пусть Г", д — — линейные отображения из И в И'. Фиксируя в этих пространствах базисы (и ), (ги,), мы фактически переходим к рассмотрению линейных отображений д"; Х «-> АХАХ, д: Х «-д ЛХ Х из дг" в Я . В соответствии с нашими прежними представлениями (ВА 1, гл.
2, ~ 3) видим, что линейному отображению ог'+ рд (см. п. 1) отвечает матрица ЛТ 1.~-од = оЛ4~ + ««ЛТд. Аналогично, композиции д' о д линейных отображений 11 — г 1г — д И' д г при фиксированных базисах в Ог, 1' и И' отвечает матрица ЛХу.д — ЛХУЛХд. Мы лишь напомнили известные факты, еще раз подчеркивая полную согласованность в соответствии между линейными отображениями и матрицами. 3. Размерность ядра и образа.
Справедлива сведующая Теорема 4. Пусть Г конечномерное векторное проспь ранетво над полем й, г": И -о И' -. линейное отображение. Тогда Кег 1 и 1шу конечномерны и «1ппКег г" + с11п«1ш г = еуш~ 14 Доказательство (ср. с доказательством анаюгичной теоремы в [ВА 1, гл.
2, ~ 3]). Так как Кег г' С 1Х, то ейп«Кег у" < «11п«1' < со. Выберем базис (ем,,. «ед) в Кег г" и дополним его в соответствии с теоремой 3 из ~ 2 гл. 1 до базиса (ег,...,еюеь«г,...,еи) пространства г'. Любой вектор из 1ш д" имеет вид I и ,(( ~~' о«е« ~ = ~ ~о«,((е«), о«Е е, «=1 «=гег т.е, векторы ((еда«), ..., г"(е„) порождают 1гп д'. Остается лишь показать, что эти векторы линейно независимы. Предположим, что 2 ',. „«Л«д(ее) = О.
Тогда д (2„„, Лее,) = О. Это значит, что 2 Л „, Л,е; б Кегд", т.е. 2 е „, Лее, = 2 . Л е . Но всякая линейная зависимость между базисными элементами еы..., е„должна быть тривиальной. Приходим к заключения>, что Льшие = ... — — Л„= О. Следовательно, векторы У(еяог),...,2(е„) линейно независимы и дпп 1ш г" = и — к. П Гл. в.
ззззнейньзс операторы УПРДЖНГНИЯ 1. ЗаПИСаВ СтОЛбЕЦ КООРДИНат Х = )Хг,яз,из,а4~ В ВИДЕ МатРИЦЫ ' З Е З *4) Е Мз)д), а затем взяв фиксированную матрицу и = ("' з) Е Мз)д), мы опре- ГЗ 4Г делим два линейных преобразования: уг. Х ьзд( ) ( (я:Х ('"' " )д=-(",, з ) — Х~ ", )=х", которы.~ отвечают матрицы Мг и Муя. Предлагается проверить,что а а4 О О О аз О аз 3. Проверить линейность следующих отображении: а) Г векторное пространство, Н' = Ъ'(Ъ факторпространство, 1 отображает каждый вектор х Е Г на смежный класс х = х + Ь; б) 1: Р„-4 Р„отобрвжевис, определенное по правилу 1(пр)) = ГиИГ)— — п(0.
Найти Кегу и вычислить гапйр 3. Показатть что отображение (е: Х 4 С ХС, определенное неиырожденной матрицей С' Е М (Я), линейно на ДПДЗ) и обладает своиством ус (ХУ) = =- ус(Х) (о(У). 0 2. Алгебра линейных операторов 1. Определения и примеры. Основное поле ц пока предполагается произвольным. В случае И' = Г элементы векторного пространства с(Г, И'), которое теперь естественно обозначать символом ь" 1Г) (использу.ется также обозначение Егп) Г), обычно называизт линейными операторалзи или линейными преобразованиями. Ввиду многозначности термина "линейное преобразование" (связанного скорее с Следствие.
В случае с))ш ( ( оо следуюигие свойства линейного отображения )': à — > И' равносильны: 1) ( иньективно; й) Йпз Г = с)пп 1ш у. Доказательство. Согласно теореме с))ш 1т = с))гп1ш ( тогда и только тогда, когда с))гп Кег( = О, т.е. Кег( = 10), а мы видели, что ядро нулевое только в случае инъективности (.
П Замечание. Если йш Г = с))ш И' и 1: Г-+И" — линейное отображение, то, как утверждает следствие, из инъективности 1когда Ксг( = 10)) или из сюръективности (1ш ( = И") вытекает биективность (, т.е. в этом случае у являетсл изоморфизьголг. у 2. Алгебра линейных операторов 65 координатами векторов, чем с самим векторным пространством) мы предпочтем первый из них. В дальнейшем линейные операторы будем обозначать заглавными рукописными латинскими буквами А, Б, С, 'О, ..., а соответствующие илг в каком-нибудь базисе (е,) пространства 1' матрицы --.
заглавными печатными буквами А, В, С, В, В другом (штрихованном) базисе (е',) тем же операторам А, Б, ... будут отвечать матрицы Х, В', ... Линейный оператор Б = 16 с матрицей Е = (51 ) всегда обозначает тождественное (единичное) отображение х г-> х. Как правию, результат применения оператора А к вектору х обозначается простым приписыванием букв: Ах (реже А(х)). Линейный оператор Б называешься обратным к А, если АБ = = БА = С.
В соответствии с известными общими результатами (см. ~ВА 1, гл. 1, 5 5)) обратный к А оператор, если он существует, однозначно определен; его обозначают символом А '. Согласно следствии> теоремы 4 из з 1 существование А ' эквивалентно условии> КегА = 0 или йгп К = с!цп 1шА, В общем случае размерность ядра йп> КекА называется дефектом оператора А. Стало быть, операторы дефекта нуль и только они обратимы. Например, если уравнение Ах = Ь имеет решение при всех Ъ, то существует обратный оператор А. Напомним ещёт что гап11 А = йш 1>п А = с(пп à — йп> Кег А это ранг оператора А.
Все эти понятия и условия, переведенные на язык матриц,.нам хорошо известны, но важно признать,что понятие линейного оператора является более фундаментальным: оно не связано с выбором какого-.тибо базиса. Приведем несколько примеров линейных операторов. Пример 1. Нулевой оператор СЗ переводит любой вектор ч Е Г в нулевой: гап1г С> = О.
Пример 2. Оператор подобия А: Ах =- Лх (Л - фиксированный скаляр). Пример 3. Оператор А поворота плоскости Иг на угол а проше всего реализовать, интерпретируя Иг как плоскость комплексных чисел с базисом (1, г). Тогда, очевидно, А: я =. х -1- гу г е' г — оператор умножения на число с' = сова ф гяпсг и А г = — япа + гсояа. По>тому в базисе (1,>) матрипей оператора А будет >г сова — япа яша сова / Пример 4. Пусть 1' = Г га 1И прямая сумма надпространств. Если х = хо + хн разложение вектора с компонентами хг Е 1/, хн.
Е И' и Рх = хь, то Р называется оператором проектвроеонпл или проектором на надпространство 1> параллягьно Иг (или вдоль 1Ф) Заметим, что Рг = Р. Пример 5. Р = (1,1,...,>л ) пространство многочленов степени < гг, — 1 над Я, ггг = д,гдл операгар дифференцирования по 1: 'Ог П1) = Гг(1). Следует предостеречь от возможной ошибки в истолковании формулы йшКегА+ йп> 1шА = йп> 1' (см. формулировку теоремы 4 из 5 1).
Отсюда вовсе не гледует, что 5 Д.И. Кострнкин 66 Гл. г. Леенейньее операторы 1' = Кег А+ 1ш А, как показывает хотя бы оператор ее из примера 5; Р (1) Ц 1~(1 1 Ьп — г) 1 1У А(ВС) = (АВ)С (ассоциативность), А(В + С) = АВ+ АС, (А + В)С = АС + ВС (дистрибутивность); (Зп) (Зо') Л(АВ) = (ЛА)В = А(ЛВ).
ГИы видим, .что множество линейных операторов Е(1е) является одновременно векторным пространством над полем Й (первые четыре соотношения (3')) и ассоциативным кольцом (следующие три соотношения (Зо)); последнее соотношение (Зо') смешанного типа у.станавливает дополнительну.ю закономерность между умножением на скаляры н композицией операторов. Определение 1. Кольцо К, являющееся одновременно векторным пространством над поясы Я таким, что Л(аЬ) = (Ла)Ь = а(ЛЬ) для всех Л е Я, а, Ь е К, называется алгеброй над й. Размерность К как векторного пространства называется размерностью алгебры К над и'.
Всякое векторное подпространство 1 с К, замкнутое относительно операции умножения в К (1,. В С ь), называетсл подалгеброй алгебры К. Говоря об аягебрах, имеют в виду преимущественно ассоциативные алгебры (аЬ)с = а(Ьс) с единицей 1: 1. а = а, я Е К. Именно такой является алгебра Е(1е) линейных операторов на 1е. Матричный вариант ЛХнф) алгебры С(Р) встречался в [ВА 1, гл. 2, 3 3], 2.
Алгебра операторов. Мы уже знаем, что множество С(К) всех линейных операторов на векторном пространстве И само явля- ется векторным пространством размерности СйпеЕ(Ъ') = (Сйш Р) . (2) Линейный оператор А на 1' полностью определяется своим действием на элементы х е 1е. Вспоминая принципы композиции отображений, изложенные в [ВА 1, гл. 1, 2[, мы полагаем, что (А+ В)х = Ах+ Вх, (ЛА)х = Л(Ах), (АВ)х = А(Вх) (таким образом, композиция А о В обозначается просто "приписы- ванием" А к В). Из этого определения непосредственно вытекают соотношения а(А+ В) = аА+ аВ, (а -ь (3) А = аА + /3А, (афА = а(ВА), (3') 1 А=А; у 2.
Алгебра линейных операторов где приводились аналоги соотношений (3') (Зн') для матриц. Хотя о соответствии между линейными отображениями и матрицами гово- рилось неоднократно, в том числе в 3 1, еще раз запечатлеем в памяти простой, но важный факт: если и А: еь д-в Аеь = ~ амеп п В; е, д-в Ве, = ~ бьбеь ь=д линейные операторы с матрицами А = (а,ь), В = (оь ) в биисе (е;) прошпранства 1х, то матрицей оператаора АВ в том лсе б зисе будет С = АВ. Действнтеяьно, =длвн,=л(в,)=л(г д„,)=г д„л,= ь д д Ь т.е. см — — ЕьадьЬи, и (см) = АВ.
Наиболее инторесные для приложений кольца являются алгебрами. Алгебра многочленов Я [1] - . простейший пример бесконечномерной ассоциативной алгебры. В ассоциативной алгебре б(1д) размерности п~ (см. (2); и = Йш 1х) особого упоминания заслуживают подалгебры, порожденные одним оператором. Именно, если А — линейный оператор,. то порожденнал им подалгебра Я[А] есть наименьшая подалгебрад содержащая А. В этом частном случае удобно считать единичный оператор Е принадлежащим Я[А]. Элементами подалгебры Я[А] являются всевозможные степени оператора А; ~о б 1 (г 1 1 ~ь ь и их линейные комбинации. Лрутимн словами, если У(1) = ао1 +адс +...
+ аен д1+ а 6 Я[1], то ,((А) = аоАдп +... + ат — д А + атб (4) наиболее общий вид линейного оператора из Я [А]. Встав на функциональную точку зрения, мы сказали бы, что 1(А) -- значение многочлена 1 Е Я [1] при 1 = А. Линейный оператор ДА) вида (4) действует на векторы х е Г естественным образом: ДА)х = аоА х+ адАп' х+... + а дАх+ а,„х. Алгебра Я [А] коммутативна, поскольку ПА) у(А) = у(А) ПА) 68 Гл.
й. Линейньге операторы (следствие перестановочности степеней; А" . А' = А"+' = А' А ). Какова ео размерность? Мы увидим в дальнейшем, что всегда г1гггг Я [А[ < с1гш 1г. (5) Но это сравнительно тонкий результат, а пока мы сделаем предварительные полезные замечания. Определение 2. Говорят, что многочлен ?(1) аггнулирует, линейный оператор А, если г(А) = О. Нормализованный (т.е. со старшим коэффициентом Ц многочлен минилгальной степени, аннулирующий А, называется минимальным многочленом оператора А.
Пусть ггя(й) =й +?ггпу '+...+?гы гй+ггы (6) минимальный многочлен линейного оператора А. Тогда опера- торы б, А, А', ..., А'" линейно независимы, так как соотношение ,'г '„:„ЛгА' = О о,ганча ю бы, что многоч.ген ~"',":е Лгу аннулирует А, хотл его степень меньше т. Обратно, если б, А, Аг, ..., А'" линейно независимые операторы (как векторы пространства ь'(К)), а оператор А'" у.же выражается линейно через них, то это значит, что т —. степень минимального многочлена для А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
