1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Алгебры Ли, конечномерные и бесконечномерные, играют весьма существенную роль в квантовой механике (см. учебное пособие (2) в списке дополнительной литературы). Делов том,что так называемые динамические переменные в квантовой теории подчиняются законам некоммутачивной алгебры, и степень их неперестановочности измеряется как раз "коммутаторами" (13). Мы получим нетривиальный и в некотором смысле близкий к квантовой теории пример коммутационного соотношения, если возьмем в качестве 1' бесконечномерное пространство всех многочленов над Я.
Пусть ?ч = й?б! оператор дифференцирования по 1, а х) — оператор умножения на 1:?Эс(1) = 1', х) (1) .= 1. 1. Легко ироверить,что (Боре(= 'О?У) †.~Юс = б единичный оператор на 1' = Я (!). 13озникает вопрос: люжет ли выполня гься соотношение (А, Б) = Г типа (14) в конечномерной алгебре С(1')? Ответ па него оказывается зависящим от характеристики основного поля. Если Я = С или Я = и (наиболее интересные случаи), то сразу же приходим к противоречию: 0 = сг АБ — сх БА = !г (А, Б) =.
!1 б =. и = с1ни ЪС у 2. Алгебра линейных операторов 73 Однако при р(п, где р = сбаг Я, зто противоречие устраняется, как показывают операторы с матрицами порядка р над Я: 0 1 0 ... О О 0 О 1 ... О О О О ... О О 1 О ... О О О 2 ... О О О О 0 ... 1 О О О 0 .. О 1 О О 0 ... О О О О ... р — 1 О Прежний критерий с функцией 1г здесь не срабатывает, и на самом деле 1зр, Хр) = = Вг. УПРАЖНЕНИЯ 1. Проверить, что обе матрицы вида (1б) нилыютептны: Угл — — Хгг = О. 2. Показать, что если А, В, С матрицы размеров и х р, р х О, д х и соотвегс геенно, то ге сАВС) — 1г (ВСА) — Г. (САВ). 3.
Интерпретируя СВ (Рр) как группу автоморфизмов Дп11' векторного пространства И размерности и над полем Рр из р элеменчов, найти порядок С1,„1рг ) ~. 4. Показать, что множество я1„1Я) винейных операторов со следом нуль является подалгеброй коразмерности 1 в алгебре Ли 91„1Я) = С('г'). б. Доказать, что для любых .аинейных операторов А,В на г' имеет место равенство гап1сА =- гап1сВ 4 с1пп (1гпА О КегВ). 6. Используя упр. о, доказать, что для любых линейных операторов А, В, С на 1' справедливо неравенство озробеянрсо гапй ВА + гап1сАС < галйА -1- гапй ВАС.
7. Доказать, что для любого линейного оператора А: И вЂ” з 1' и для любого з > 1 имеет место формула с11щ (1щА' О КегА) = с1ппКегА' — б)гпКегА' (для я = 1 формула очевидна; следует иметь н виду, что по определению всегда ,до 8. Доказатсч ччо две ма"гРицы А, В Е Д1 (И), подобные над полем комплексных чисел, будут подобны и над полем вещественных чисел. 9. По аналогии с определением 2 назовем 1"11) аннулпрующпм мноеочленом оператора А относительно вектора к е 1', если 1"СА)к = О. Аннулирующий нормализованный многочлев минимальной степени называется минимальна~и жнозочлснол оперотора А относительно ч.
Обозначим его дд (1). Будем считать поле Я бесконечным. Доказатеч что: а) р,с 11) делит р ~11); б) сзчоествует а Е 1' с рд (1) = рд11). 10. Пусть 1' векторное пространство, В,И' два его подпространства, причем 1" = 12 О 1'з, И' = И'й 1Р Исз прямые разложения, где Ий С 1'„я = 1,2. Пусть, далее, Р, - - проекция И на 1; параллельно Ъ), 1 у~ 1. Доказать: Гл. и Пглнсйныс операторы а? если =И' -ЬбгС1'л, 1' =И Е'Р1??), 1' = И' ф Сг; б) если 1' = уу-1- 1? и Рз?1?) С И ! = О, то справедливы разложения (г) для 1л, 1э, причем Иг г! 1/ = И'! с??. 11. Доказать, что любая матрица А Е И„1Я) с коэффициентами в поле Я характеристики нуль и с нулевым следом подобна матрице А' с нулялги по главной диагонали (Аг = (а1 ), а' = а',а = ... = ач„= ОР 12.
Существенно ли в упр. 11 ограничение айаг й = О? 2 З.Инвариантные подпространства и собственные векторы 1. Проекторы. Пример 4 из б 2, п. 1 устанавливает связь между разложением 1г в прямую сумму двух подпространств и оператором проектирования Р, обладающиъл, как мы знаем, свойством РЯ = Р. Обратно: всякий оператор с этим свойством является оператором проектирования. Мы докажем это утверждение в следующем более общем контексте. Пусть И = И'! ~Э И'з сг...
1ь, И',„разложение в прямую сумму т подпространств (см. п. 5 ~ 2 гл. 1). Тогда каждый вектор х Е И однозначно записывается в виде х = х! + ха +... + хю, хг Е И'„ а отображение Ре: х ьь хе является линейным оператором на И. Кроме того, ?г+?х+ +Рт причем Р,Р = 0 при 1 у'. -у и Р~ = Р,. Наконец, Иг=Рг1'=)хЕИ~Ргх=х) Кг = Кег'Р, = И'! +... + Игг +... + И'„г и Р, суть оператор проектирования 1г на И?1 вдоль Ко Теорема 1. Пусть Р1,...,Р,: И вЂ” у 'г' - - конечное множество линейных опера!норов, удовлетворяющих услов ям Рл=Р„1<1<тпб РеР =ьг, !'фу? 11) Р! = Г; г=1 Тогда И = И'! !э... ю И'„„ где И'1 = 1т Ре, Доказательство. По условию для любого х е И имеем х = сх = ~ Р;х = х1 -!-,., -1- х г хе Е Игь уг о. Инвприпнтные подпросщрансгпва и сойсгпвенные иенгпоры 75 Поэтому Г = Иг1 +...
+ И" . Эта сумма является прямой, в чем мы убедимся, применив критерий из гл. 1, 2 2, п. 5 (теорема 7). Именно, предположим, что х Н Иг О (,'1,'1 И;). Так как )Г, = 11пР,, то найдутся такие векторы хг,...,х ,что х = 'Р,(х,) = ~ Ре(хз). нлй Применяя к этому равенству оператор Р, и используя определяющие свойства Р = Р, 'Р Р, = 0 при 1 фу, получим х = 'Рз (х ) = Рд(х, ) = 1~ мР1Р (хе) = О.
1чяз Таким образом, сумма Г = 2 И'1 прямая и Ре оператор проектирования Г на И; вдоль К, = КегР, = 2,'йем И' . П Добавим, что если Рг = 'Р и 1' = 1у сг И' -- связанное с этим проектором прямое разложение с 17 = 1ш Р = (еш..., е,), И' = Кег Р = = (е„г,..., еп), то в выбранном базисе оператору Р отвечает матрица Р =, г = гагйР. Ес О О О (2) В частности, мы видим, что любая и х и-матрица А ранга г, обладающая свойством Аг = А, подобна матрице Р: В 1АВ = Р и гап)с А = 1г А.
Замечание. Часто говорят, что операторы Рг,...., Р,, удовлетворяющие соотношениям Р1Рд = 6ОР„1 < 1, 1 < т, составляют ортогональную систему (Р,~ 1 < 1 < т) идемнотентныи операторов, а отвечающие им матрипы - ортогональную систему (Р, Д 1 ( 1 ( гн) идемпотенганых моторин. Если выполнены все условия (1), то говорят о полной ортогональной системе. 2.
Инварнантные подпространства. Всякий линейный оператор А: 1 — > )г действует не только на отдельные векторы х н 1г, но и на подпространства П С 1У: Ао' = (Ах! х Н Г). В связи с этим исключительно важное значение приобретает понятие инвариантности.
Определение 1. Подпространство П с 1' инвариантно относительно линейного оператора А: 1' -л Г, если Ас1 С П. Например, КегА и 1п1А инвариаптные подпространства, хотя, возможно, и тривиальные, т.е. совпадающие с (О) или с 1г. Для оператора дифференнирования тг~ на пространстве Р„мпогочленов степени ( н — 1 сразу же выделяетгж цепочка (0)С15СЬеС...С1' =1' (з) инвариантных подпространств И многочленов степени < г — 11 г = 1,2,...,н.
Рассмотренное выше (п. 1) семейство операторов проектирования Рг,...,Р Гл. и. рзллнейньлс операторы замечачельно в том огне~пении, что с ним ассоциировано болыпос число надпро- странств И;, рв И'„Е... Е И;р, (лл,...,лл) С (П2,,щ), инвариантных сразу относительно каждого оператора Рл,...,Р, (мы здесь использовали то очевидное обстоятельсгво, что сумма и пересечение в И надпространств, инвариантных относительно линейного оператора А, всегда инвариантны).
Пример противоположного снойства достанляют матрицы эр, Хр, указанные в конце з 2. Отвечающие им операторы действуют на р-ллерном пространстве дг (над полем Я характеристики р > о) таким образом, что у них нет общего нетривиального инвариантного надпространства. Можно указать одну существенную причину гакого различия: )Р„Рр) = О, в то время как (1 „Длр) Р' О. Пад полем и также может прояпляться подобный феномен. Оператор А по- ворога плоскости Жа на угол о (О < о < х; см. пример 3 из и. 1) не имеет нетривиальных инвариантных надпространств прямых, которые переходили бы в себя при действии А. Наличие собственного инвариантного надпространства (0) С С Л С 'р' дает возможность упростить матрицу А оператора А путем выбора надлежащего базиса в р'. Именно, если дополнить базис (ею, .., е„,) в Г до базиса (еы ..,, е„„еп, рю ..,, е„) в И, то из условия Ае, Е К 1 < л, < т, следует, что в этом базисе матрицей оператора А будет Аг Ао О .42 (4) (5) соответствукзщей разложению р' = 5г йу Н' в прямую сумму инвари- антных подпространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
