1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть А вещественная п х п-катрина без всщесгвенных собственных значений, гак что, в частности, и чечно и А обратима. Показать, что существует вещественная матрица В такая, что АВ = ВА и ВЗ = — Е единичная матрица (Д. Джокович). б. Доказать,что для любых А, В Е М ЧЖ)характеристические многочлеяы матриц АВ и ВА совпадают. 86 Гл. 2. ХХеенсйныс операторы 7. Найти характеристические корни кциклической" матрицы ао а! аз аз ао аг аг аз оо используя легко проверяемое соотношение О 1 О В= О О 1 1 О О А = поЕ-!- агВ т ааВз, а. Доказать, что пространство БМах„Я) нолумагических квадратов 1см.
пример 3 из 1 1 гл. Ц яв еяется Я-подвлгеброй в АХ„Я. О 1Ашег. Ма11ь й!оггсЫу. 1ееьг. 1931. — Р. 131-133). Пусть А,В Е АХ„(Я), сЬагя ф 2. Будем писать В Л, если В =- Ве1, где  — — с1!ак(дг,...,В ), В, =- т1. Очевидно, что отношение зквивавентности. Если В(Л) класс зквивадентности с представителем А, то Сам 561) < 2п. Доказать, что по крайней мере одна из матриц в В(А) нс имеет собственного значения 1. 10. Пусть А — линейный оператор на п-иерном векторноле пространстве 1С Показать, что Аз =- А ~о гапйА-!-гап1с(с — А) = и. 8 4. лКорданова нормальная форма Пытаясь разобраться с действием заданного линейного оператора А; И вЂ” 1 И, естественно поставить перед собой цель найти базис в и',. наилучшим образом согласованный с А.
Другими словами, в классе подобных матрип С 1АС, отвечающих оператору А, требуется найти матрицу, имеющую как можно более простой вид. По понятным причинам эта задача существенно связана с основным полем л1, над которым опредетено векторное пространство И. В дальнейшем считаем, что Я = С - — поле комплексных чисел, хотя в принципе С можно заменить на любое алгебраичсски замкнутое поле. 1. Теорема Гамильтона — Кали. Весьма полезно следующее несложное у.тверждение. Теорема 1.
Мптрииу линейного оператора А всегда можно привести (в смысле подобия) к треугольному виду. Доказательство. Проще всего в этом убедиться рассуждением по индукции. По теореме 9 из 3 3 пространство И содержит инвариантную относительно А гиперплоскость П: АП С П. По предположению индукции в П можно выбрать такой базис (е1,..., е„г), что Аее = Л,е, + пы че, Е (ег,...,е, 1).
Имеем И = (су,еп), где е„- — произвольный, не содержащийся в П вектор. Пусть Ае„ = Лпеп + и, и Б Гг. Таким обРазом, в базисе (ег,..., е, .1, е„) Дейст- у 4. Жороанова нормальна форма вие оператора А выражается матрицей требуемого вида л, Лг 0 Л„ Теперь довольно просто доказывается содержательная Теорема 2 (теореъш Гамильтона-. Кали). Линейный оператор А и соответствуюьцая ему матрица А (в любом базисе) аннулируются своим характеристическим многочленом Хд(ь), т.е Хд(.4) = ~О.
Доказательство. Так как это утверждение не зависит от выбора базиса (см. и. 3 г 2), то естественно воспользоваться теоремой 1, с самого начала считая матрицу А в базисе (еы...,е„) имекьщей треутольный вид (1). Рассмотрим цепочку А-инвариантных подпространств где ья = (еыег,...,ео ь ые„ь). Так как (А — Лн ьб)ен ь е 'ьььь, то (А — Л ьб)К с К и, стало быть,. ,.(.4) =П(А-Л,Е) = ь=1 = (А — Л1б)... (А — Л„б)Ъ~ С (А — Льб)... (А — Ла ьб)1'ь С с (А — Л1б)...
(А — Ла гс)1д с ... с (А — Л1 б)Ъ'„ь —— О. Но Хд(А) ь = 0 ' =г Хд( 4) = сл. П С л е д с т в и е. Минимальный м ног о член рд линейного оператора является делителем характеристического многочлена Хд(ь), делящимся на все линейные множители 1 — Л, Л Е прес(А).
Доказательство. По определению рд(А) = О, а по теореме 2 Хд(А) = О. Делимость Хд(1) на рд(1) вытекает теперь из теоремы 2 из 2 2. Если, далее, Л -- собственное значение оператора А,то Ач = лч =ь О = рд~(А) и = рд(л)и =ь р 4(л) = О =~ (8 — л) ) р д (1) (мы повторили вывод импликации (7) из 2 3). П Замечание. Казалось бы, с1ет(1Š— А)~ь-1 = с1е1(.4Š— А) = = с1еь О = О, и теорема Гамильтона--Кали доказана. Но это совершенно неверное рассуждение.
Подумайте, почему. 88 Гл. 2. Пинейные операторы Теорема Гамильтона Кали имеет многочисленные приложения, но нами пока она будет использоваться в самон непосредственной форме. Пример 1. Пусть А: И вЂ” э И нильпотентный линейный оператор индекса нильпатентности гп (см. определение 3 из 1 2), так что рд(1) = 1 Пусть А™ ге г О. Тогда векторы и, Ач, ..., Ам и линейно независимы.
Действительно, всякая нетривиальная линейная зависимость имеет вид АлчЕогАге~ч+...+от г ьА — ~и=о, О <а<т-1 Применение оператора А"' ч " к обеим частям этого равенства привело бы нас к соагношению А ' чч = О, про гиворечашему выбору ч. Итак, индекс нильпотенгности т оператора А нс превосходит и = гит 1г, что, разумеется, вытекает и из теоремы Гамильтона Кали.
Предположим теперь, что т = и и А" е ф О. Введем следуюшие обозначения для базисных векторов; еч=А" 'е, Р— 2 ез — --А' е, ..., е„ч =-Ае, е„=е. Л 1 О ... О О О Л 1 ... О О О О О ... Л 1 О О О ... О Л д„(Л) = б) Жордвновог( мвтриией называется матрица, состоящая из диагональных блоков дггь (Л,) и нулей вне этих блоков: д ,(Л,) (2) д ,(Л„) в) Жордвновым базисом для линейного оператора А: Ъ' †! 1г называется такой базис пространства 1', в котором матрица оператора А является жордановой, или, как говорят, имеет окордвнову нормвльную форму (ЖНФ) д(А). г1В честь французскога математика К. 2Кордана (1838-1922).
Тогда Аеч = О, Аел = еь ч, а ) 1, и матрицей оператора А в базисе (еы, е„) будет жорданова клетка Зя(Л) с Л = О, определение которой дано чуть ниже. Если, скажем, 1' = (1,1,...,1" ) пространство многочленов степени г! < и над С и 'О = — . - оператор дифференцирования по 1, то матрицей этого аа 1 оператора в базисе (е,), е, = — 1', будет как раз клетка,1и(О). ч! Определение 1.
а) Назовемч) (верхней) клеткой Жорданп размера гп х тп (или порядка гв), соответствующей собственному значению Л, матрицу у 2. Жорданоеа нормальна форма 89 г) Приведением квадратной матрицы А к жордановой нормальной форме называется рещение уравнения в матрицах вида Л' 1АХ = = .1(А), где Х ".
(неизвестная) невырожденная матрица, а 1(А)-- (неизвестная) жорданова ьиатрица. Заметим, что 1ш(Л) — ЛЕ = 1 (0) - ницьпотентная матрица. В частности, (1 — Л)'" -- минимальный многочлен клетки джордана (2) и Л вЂ” — ее единственное собственное значение: прес,1ш(Л) = !Л). П р и м е р 2. Пусть Р„(Л) . —. векторное пространство компяексвых функций вида ел'1(1), где Л Е С, 1(Ц пробегаег миогочяеиы степени < п — 1. Так как Ль — ( "1(1)) = с" (л1(1) е У'(1)), то дифференцирование 'Р = — является линейным оператором на Р (Л).
Поход! жим енес = — е, 1 = О,...,н — 1. Очевидно, и 1* з Г Рент = е ., 'Л вЂ” е = е, -1- Ле,тз м. м (з — 1)1 и (О! = 1; первое слагаемое отсутствует при 1 = О). Следовательно, функции ( — е ) л~ 1! образуют жордаиов базис дзя оператора Р в нашем пространстве и У(Ю) = з„(Л). Этот пример показывает особую роль жордановых матриц в теории линейных дифференциальных уравнений.
Мы к нему еще вернемся. Пример 3. Если Дь) произвольный мвого"шеи, то 1(Л) 1'(Л)/!' 1н(Л)/2' 11'" 1(Л)Дпз — 1)' О 1(Л) 1'(Л) !'11 ... 1('" з1(ЛЯт — 2)! 1(У (л)) —. О О О 1(Л) так что с з'„, л гораздо легче оперировать, чем с произвольными матрицами. 2. 2КНсй! формулировка и следствие. Сформулируем основное утверждение и его следствие. О с н о в н а я т е о р е м а. Каждая квадратния матрица А порядка и над илгебраически замкнуть!м полем Я (в частностпи, над С) арвводится к жордановой нормальной форме. Именно, существует невырожденная матрица С, для которой С 'АС = l(А) = = 1 матрица види (2). С точносгиью до перестановки клеток жорданова нормальная фор,ма матрицы единственна. Так как минимальные многочлены подобных матриц совпадают, то из основной теоремы и из замечаний, сделанных по поводу жордановой клетки 1 (Л), следует,что рл(1) = (1 — Лй)ш ~ ...
(й — Л,,)-", (3) где 1Лп....,Л,„) все попаРно Различные собственные значениЯ Гл. г. Линейные операторы матрипы А и т, . максимальный порядок жордановой клетки, отвечающей собственному значению Л„. Ясно, что необходимым и достаточным условием диагонализируемости матрицы А (т.е. подобия ее матрице д!ад(Ль,..., Ли)) является отсутствие в Х(А) клеток порядка > !. Поэтому с учетом (3) получаетсл следуя>щий полезный критерий. Следствие.
Квидритнил митричи А над С диагонализируема тогда и только тогда, когда ев' минимальный многочлен ил(!) не имеет кратных корней. Этот критерий эффективен, поскольку для вычисления рл(!) нет необходимости приводить матрицу А к жордановой нормальной форме. Доказательство основной теоремы разбивается на три части, соответствующие пп. 3-.5.
Попутно будут сформулированы некоторые практические рекогаендации для получения ЖНФ (жордановой нормальной формы), а затем мы укажем на другие доказательства. 3. Корневые подпространства. Приведем следующее О п р е д е л е н и е 2. Множество векторов !х(Л) = ',ч е Ц (А — Лб)ьч = О для некоторого Ц называется корневым подпространством, соответствующим собственному значению Л Е Врос А.
В том, что Г(Л) --- подпространство, нас убеждает легкая проверка. Если, например, и е Г(Л), ъ е У (Л), причем (А — Лб)'ц = О, (А — ЛГ)'» = О, и т = шах(в, !), то (А — Лб)'"(оп+,Зч) = п(А — Лс)о'и+,3(А — Лб)ыч = О, откуда оп+,Зч Е !'(Л) при любых о,д Е С. Так как в !'(Л) содержится собственный вектор, отвечающий Л, то !'(Л) ~ О. Далее, !хх с Г'(Л), но равенства может и нс быть, как показывает пример нильпотентного оператора А индекса нильпотентности и, > 1. В этогл ел»чае Л = О -" единственное собственное значение, дпп Ъ'о = 1, но Ъ'(0) = » . Так как с!!п1 Г(Л) ( п и ограничение А — Лб' на Г(Л) является нильпотентным оператором,то ! (Л) =(чбтр/ (А — ЛЕ)" =О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
