1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Теорема 3. Пусть А; !х — ь Г -" линейный оператор с характеристическим многочленом Л л(!) П(! Лг) ~ Лт 7- Ло при ! о- 1! Тогда Ъ' = !'(Л1) 9... 6з !х(Л„) прямая сумма корневых аодпространсп~в Г(Л,), каждое из которых инвариантно относительно А у' 4. Жорданооа нормальная форма 91 и имеет размерность с11ш Г(Л;) = пь Оператор А — Л;Е, нильпотснтный на К(Л,), действует невыролсденным образом на подпространстве 14 = Ъ (Лл) Я... Ср 1 (Л, л) СО 1~(Л,Ьд) ~9...
йЛ Ъ (Лр). Наконец, Л, -- единственное собственное значение оператора .4 Ь«лд. Доказательство. Ни один из простых множителей 1 — Ль не может быть делителем одновременно всех многочленов Х,(Е) = П( — Лз)"', 1= 1, 2, ", р, узм и поэтому НОД(Хллс),..., Хр11)) = 1. Найдутся, стало быть, много- члены Л1ь),..., Яс) Е С~1), для которых ~ х 11)Л11) =1 ь=1 (4) Подпространства И'; = ХДА)Л(А) Г = ~Х,(А)Л(А)и/ и Е К), 1 <1 <р, инвариантны относительно А: А% = Х;(А) Л(А) А 1У с Х,(А) ИА) 1 = 14 ь Кролсе того (А — Л;Е) ь И", = ХЛ(А) Л(А) Г = О (поскольку по теореме 2 Хл(А) = б), так что 11; с К(Л,).
Соотношение (4), переписанное в виде р б = ~ хДА) ЛЖ; (5) дает нам разложение У 1 =~И, ~=1 и тем более (ввиду включения (5)) Р 1 =~1(Л,). ~=1 Предположим, что и е К(Ль) Г~ро где, как и в формулировке теоремы, Г. = ~ П, К~Л1). Тогда (А — ЛЯ"'и = О, а так как и = х„.ь, иу и (А — Лоб)"из = О, то и Яу~,(А — Лоб)о)и = О. Но из взаимной 92 Га. а. Панейнеее операторы простоты многочленов (Ь вЂ” Л;)", с(е) = П ~,(Ь вЂ” Ло)п следует существование а(е), Ь(е), для которых и(е) (е — Л;)" + Ь(е) с(е) = 1. Получаем ч = а(А)(А — Л;оа)"ч + Ь(А)) П(А — Ле Я ч = О, о~~ т.е. пространства ч (Л;) и 1;.
не пересекаются. Значит, мы имеем разложение Ь' = И(Л1) З... Еэ 1'(Л„) (6) в прямую сумму А-инвариантных подпространств. Из включения (6) и из разложения (6) непосредственно вытекает, что И', = Ъ'(Л,). Таким образом, для 1Г(Л,) получено эффективное выражение уе(Л.) = Х (А)Л(А)11 где Л;(Ь), Д(Ь) — многочлены из тождества (4). В частности, (А — Л;Е)н1'(Л;) = О. Минимальным многочлсном для А на 1е(Л,) будет некоторый делитель многочлена (е — Л,)п'. Отсюда следует, во-первых, что Л, единственное собственное значение оператора А~ч~х р Далее, в базисе, являющемся объединением базисов пространств Г(Л;), оператор А имеет матрицу А1 ...
О О ... А где А; - матрица порядка и', = 61ш Г'(Ле) с единственным собствен- ным значением Л; и характеристическим многочленом чл,(1) = (Ь вЂ” Л )"*, и', ( и, Так как Лл(1) = П, Л а (Ь), то и = п1 +... + п, и и, = и,. Осталось доказать невырожденность ограничения (А — Л,Е)!ц. Но зто понятно: в противном случае (Кег(А — Л,Е)) й 1; ф О и Ач — Л;» = О для некоторого О ~ ч б 1'ь Однако на 1', характеристическим многочленом для А является Ле(Е) = П ~,(8 — Л )", и Л, собственным значением быть не может. П 4.
Случай нильпотентного оператора. Теоремой 3 задача о выборе простейшей матрицы для линейного оператора А: 1е -у 1' свелась к тому случаю, когда А имеет единственное собственное значение Л и (А — ЛГ)т = О, т < е11ш Ье. Положив В = А — ЛЬ', мы получим нильпотентный оператор индекса нильпотентности т, с нильпотентной матрицей В. В рассматриваемой ситуации естественным ,является у 4. Жорданова нормальна форма '» ~(ч Щ Бч' ~, а е ~=1 Если а; = О, 1 < 1 < в, то к клеткам Жордана,Уы, (0) .....,,Уы, (0) добавится,У1(0), отвечающая циклическому надпространству (ч'), т.е. В д(В) = 01ая (,7,т (О),..., д,„. (0), 11 (0)) — знак подобия). Остается рассмотреть случай, когда ь а1 —— ...
— — а, 1 — — О, Бч = ~а;ео а„ф 0 =ь для некоторого индекса г ) 1. Удобно положить 1 сп е,= — ч, а„ а„ е;=ее 1у:г Определение 3. Линейная оболочка Й[Б)ч = (ч, Б», ..., Б~ называется циклическим подпространством, ассоциированным с оператором Б индекса нильпотентности т, и вектором ч. Предполагается, что т' < т наименьшее натуральное число, для которого Бо'ч = О.
Теорема 4. Мардонова нормальная форма 3(В) нильиотентной матрицы В существует (основное поле Й произвольное). Доказательство. Из примера 1 и из определения 1 видно, что всякому циклическому. подпространству отвечает клетка Жордана. Нам нужно показать, что векторное пространство ь', на котором действует нильпотентный оператор Б с матрицей В, разлагается в прямую сумму надлежащим образом выбранных циклических подпространств.
По теореме 1 матрица В приводится к верхнему треугольному виду с нулями по диагонали. Это значит, что линейная оболочка Г первых п — 1 базисных векторов инвариантна относительно Б. По определению Б'» С Г, а по предположению индукции в Г можно выбрать жорданов базис для Б, или, что то же самое, П = Й [В) е1 -',г... б Й [Б) е„, (у) Й[Б]е, = (е„Бе,, ..., Баь 1е ), Б *е, = О. Без ограничения общности считаем т1>тя> ..)т„. (8) Далее, 1' = «(», Ц, Бч б Г для любого вектора ч, не содержащегося в П, так что Б» = ~, а,е, + Бп, и Е Б. Заменяя ч на ч' = » — и, будем иметь 94 Гл.
2. Лппейпеее операторы Тогда Ве,, = е„+ ~ Вее;:= Г, В соответствии с упорядочением (8) Вт'1'„= О, а так как сумма (7) прямая, то Вп' 'Г„ф О, какие бы ни были коэффициенты Д, Кроме того, легкое рассуждение показывает, что сумма Й [В) е[ + Й [В) Г„ также является прямой и совпадает с П, Но теперь циклическое подпространство й[В) 1„расширяется за счет вектора, е'„ф П: и[В) те С и[В] е',, и мы имеем прямую сумму Г = ®%[В) е„ отвечающую набору индексов т[,...,т'„где пе', = ть 1 ф г, те = = т, + 1.
В свою очередь В е11а8 (э„(0),..., 7о, (О)) (число клеток Жордана сохранилось прежним, но размер одной клетки увеличился на 1). Последовательность (тп,',,..., ш,',), вообще говоря, нс упорядочена, но этого всегда можно добиться путем пере- обозначения векторов е,', Таким образом, существование жорданова базиса для нильпотентного оператора В доказано. П 5. Единственность.
Приступая к доказательству единственности, укажем заодно практическое правило для приведения произвольной матрицы 4 порядка п к жордановой нормальной форме. Для этого нужно уметь находить число Х(т, Л) жордановых клеток 7 (Л) порядка тп, отвечаюьчих собственному значению Л матрицы А. Сопоставим обычным образом матрице А оператор А, действующий на и-мерном векторном пространстве 1', и разложим 1' в прямую сумму К = Г(Л) в Г, (9) где 1 "(Л) = ® (е, (А — ЛЯ)е,э..., (А — ЛВ)т' е.), 1=1 Будем подсчитывать ранг ге — — гап1е(А — ЛЕ)е матрицы (А — ЛЕ)', или, что то же самое, размерность пространства (А — ЛВ)' К. Эта у' 4.
Жорс1анооа нормальная форма 95 размерность, конечно, не зависит от выбора базиса в Г. Каждое из пространств в разложении (9) инвариантно относительно (А — Лс)с, поэтому йпс (А — ЛЕ)'Г = ~~~ ппп(А — ЛЕ)'С~А) е + с1пп (А — ЛЕ)' Г. Считаем для определенности тс < спз « ... щ,. Если пс < 1, то СА — Ло)~ С [А) ео = О. ПРи т1 > 1 имеем (А — Лс) С~А) е = ОА — ЛЕ)'ею (А — ЛЕ)ьые, ..., (А — Лс) ' сеа), так что йщ (А — Лс)' С~А) е = сп — 1.
На Г' оператор А — Л", невырожден (теорема 1), поэтому ойп (А — ЛЕ)" Г' = йш1". Получаем гс = ~ (т — с) + йпс Г, т,>с откуда сс — тссю — — ~ 'Ст — 1) — ~ (та — 1 — Ц = т >С , >с-ьс ~ (сп1 ") ~ сс 1 «)+ ть >С т„>с-ч оп >с.~-1 1+ ~~~ 1 = сс'~,1 + 1, Л) + йс(с + 2, Л) +... ьо >С-~- ~ Стало быть, с с — с — 'Сг — с Сс) = 1Х(сп, Л) -~-дс(т-ь 1,Л) +...)— — (Х(т+ 1, Л) + М(ос+ 2, Л) +... ) = М(сп, Л), и мы получаем окончательную формулу Х(т,Л) =г,„с — 2г +г (10) т > 1, сс = сап1с(А — ЛЕ)~, то = и.
Заметим, что сс инвариант матрицы А (т.о. число, определяемое классом подобия матрицы А). Значит, формулой (10) устанавливается также единственность жордановой формы 1(А). П До сих пор о матрице С, осуществлякьщей подобие .с(А) = С 'АС, Гя. и. Пннейные операторы почти ничего не говорилось. Но так как теперь А и 1!А) . - известные нам матрицы, то С = !с,.) можно найти из матричного уравнения Х,У(А) — АХ = О, о котором упоминается в определении 1 из п. в) и которое эквивалентно линейной однородной системе порядка г!а.
Пусть С1,..., С, -. ее фундаментальная система решений. Вообще говоря, не все С; невырожденные матрицы, но так как жорданова нормальная форма э" (А) существует, то с)е! (!!С! +... + 1„С,) ф- О (с неопределенными коэффициентами !1,..., 1„), и можно подобрать комплексные числа о1,..., и„, для которых с)е1 (о! С! +...
+ огС„) Р О. Тогда С вЂ” о!С! + ... + огС, искомая матрица. Разумеется, С определяется даяеко не единственным образом, днжс при нормировке г)еб С = 1. Нахождение таким способом матрицы С, осуществляющей переход к жорданову базису, не очень практично, хотя и не представляет принципиальных трудностей. Пример 4. Миннмаяьным многочяеном п х п-матрицы удовяетеоряюшсй соотношению оа = п5, будет, очевидно, де!!) = еа — гсЕ, т.е. Лг =.п, Лз = 0 собственные значения матрицы Л кратности !ни — 1 соответственно.так как, далее, ганя и =- 1 и 5 ве может быть нияьночентной матрицей )не тот минимаяьный мвогочяев),то дяя ее жордановой формы остается един- 1 ствевная возможность: У(у) = д1а Оц О,..., 0).
Это и понятно, поскольку Р = — 5 матрица проектора. Решением матричного уравнения хн ... хм, ге ... 0 1 х!с ... хс„ х! ... хив 0 ... 0 1...1х!...хв является, в частности, 1/и — 1 ... — 1 1)п и — 1 ... — 1 Мп — 1 ... и — 1 6. Другие подходы к ~КНс1у. Для нахождения жордановой нормальной формы матрицы и соответствующего жорданова базиса достаточно эффективной оказывается обшая теория модулей над кольцами главных идеалов, одной из разновидностей которой является хорошо разработанный метод Л-матриц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
