1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1 отчасти для того, чтобы иметь возможность перейти от общих векторных пространств к более содержательным и, пожалуй, даже более привычным структурам метрическим пространствам. Вспомним, что богатство фактов нашей трехмерной геометрии в значительной мере обусловлено двумя дополнительными понятиями векторной алгебры — длиной вектора и углом между. двумя векторами. Переход от чисто качественного свойства линейности, безразличного к природе основного поля, к количественным соотношениям между объектами векторных пространств заставляет нас сосредоточиться по существу на двух полях скаляров В и С. Геометрия комплексных векторных пространств заслуживает особого обсуждения как ввиду ее важности, так и ввиду необходимости рассмотрения нового типа форм. 3 1. Евклндовы векторные пространства 1.
Эвристические соображения н определения. В аналитической геометрии пространств Й',~ и п~ важную роль играет скалярное произведение двух векторов, которое вводится как произведение длин этих векторов и косинуса угла между ними. Длина ~~х~~ вектора х = т1е, + яяея + азез, заданного в прямоутольной системе координат, определяется по формуле так что !)х() > 0 для любого х ~ О.
Квадрат длины ()х)(э = хз1+лз+х-' можно интерпретировать как значение положительно определенной квадратичной формы. Полярная к ней симметричная билинейная форма (* ~ *) сопоставляет любым двум векторам х,у Е й число (или скзляр) (х ~ у) = Урн + хауз + хзцз. Пусть Ф х у = (х,у) ". угол между векторами х и у, рис. 3 х = у — х -- их разность (рис. 3). Обычная формула косинусов из элементарной геометрии, примененная к треугольнику со сторонами х, у, в, утверждает, что !)в!)~ = !)х((з + !)у!)з — 2 ((х)( !)у!) соя р. 104 Гл. Я. Векторные пространство ео скалярным произведением С другой стороны, используя билинейность и симметричность формы (л )*), получаем 0х((з = )(у — х!)я = (у — х ( у — х) = ()х)(х -~- )(у)(я— — 2(х ( у). Сравнение двух выражений для йх)(х дает (х ( у) = ))х(! йуЙ сов р, т.е.
скаяяр (х ~ у) совпадает с обычным скалярным произведением векторов х и у. Это обстоятельство подсказывает разумный путь введения скалярного произведения векторов в К': (х ~ у) = ~~~ х,у,. В этом определении, однако, ощущается некий произвол, связанный с выбором специальной системы координат. Чтобы его устранить, введем следующее общее Определение 1. Евклидовым векторным пространством называется вощественное векторное пространство 1' с выделенной на нем симметричной билинейной формой (х, у) ~ — у (х ~ у) такой, что соответствующая квадратичная форма х ~-~ (х ~ х) (или просто (х ~ х)) положительно определена.
В общем случае значение (х ~ у) симметричной билинейной формы (* ~ *) на векторах х,у б 1е будет называться их сквлярным произведением. Использованное нами обозначение (х ~ у) вместо обычного Д~х, у) призвано подчеркивать тот факт, что из бесчисленного множества форм мы выделили одну, которую и положили в основу определения евклидова пространства. Так как мы собираемся при помощи (х ~ у) ввести понятия длины и угла, .то получающуюся при этом неоднозначность можно сравнить с произволом в выборе масштаба при измерении длин отрезков на прямой. Часто скалярное произведение обозначают (х,у) или (х,у), но у нас (х,у) есть просто пара векторов (элемент декартова произведения 1' хГ), а (х, у) -- подпространсгво, натянутое на х и у.
В дальнойшем мы отождествляем билинейную форму (* ~ *) как элемент пространства Ег (1', К) с ее значениями (х ~ у) на произвольных векторах х и у. Итак, в соответствии с определением 1 евклидова векторное пространство это пара (1е,(л(*)), где И векторное пространство над К, а (л ~*) фиксированная симметричная билинейная форма на Ъ'. Отметим еще раз основные свойства скалярного произведения: 1) (х)у) = (у/х) вх,у б 1"; й) (ах + рЗу / х) = ее(х ! г) + Д(у ! х) 1Еа, ~3 б К; ш) (х!х) > 0 уех ф 0((0!х) = О).
Скалярное произведение, заданное соотношением (1) (оно называется етвндвуппным скалярным произведением), у.довлетворяет, конечно, этим свойствам и подходит под общее определение, иначе последнее было бы лишено смысла. у' 1. Евклидовы еекторньле пространстоо 105 1!ример 1. Пусгь и = Ра вещественное векторное просгранство многочлепов степени < и — 1.
Сопоставление любым двум векторам )многочленам) Вд Е 1г числа У о) = ! 1(1)д0)лг (2) !(а,Ъ) . фиксированный отрезок «а И) также задает скаллрное произведение на 10 как зто лг~ ко усмотреть из свойств определенного интеграла. Было бы неудобно выражать то же самое скьллрное произведение (2) в терминах "естественного" базиса 1,1,...,1"' . Следует заметитгч что соотношением (2) задается скалярное произведение и на бесконечномерном просчранстве С(а, Ь) непрерынных функций (на отрезке 1о, Ь)).
Соответствующее бесконечномерное евклидова векторное пространство ооозначаетсл символом Сз(а, Ь). 2. Основные метрические понятия. Пусть 1г евклидово векторное пространство со скалярным произведением (х ~ у). Определение 2. Длиной или нормой бай любого вектора и Б 1' называется неотрицательное вещественное число 'буй = фу(у). Так как Еу ~ и) > О, то длина любого вектора вполне определена, р и и ° 1! Ов з а ПП=ДХ $Х) = )л).
'йу(!. В этом месте заметим, что любое подпространство Г евклидова векторного пространства К само является евклидовым векторным пространством, поскольку скалярное произведение 1х ~ у), будучи ограниченным на П, определяет билинейнунз форму Г х 51 -+ К, которая, очевидно, остается симметричной и положительно определенной. В частности, само поле Ь ьгожно рассматривать как одномерное векторное пространство, длина вектора в котором совпадает с обычным абсолютным значением вещественного числа.
В общем случае мы будем различать символы ~ е ~ и й * 'й. Вектор длины 1 называется нормированным. Любой вектор х у'. -0 можно нормировать, умножив его на подходящий сканяр, а именно для вектора х = — х имеем 'йхй 1 1 'йх (! = — х = — йх'й = 1. !)х(! 'йхй Прежде чем вводить угол между двумя векторами, мы еще раз обратимся к свойству ш) скалярного произведения. Теорема 4 (неравенство Коши Буняковского). Каковы бы ни были векторы х, у евклидова векторного прошпрансп1ва !', справедливо неравенство <4) )(х )у)( ( 'йхй 'йуй. 106 Гл. Я.
Векторны«иростронстоо со скалярным произведением х,р,~< 2 хз ~~ уз =1 =1 (7) и соотвегственно ь ь ь / У(Ь)д(Ь)дс < / Уз(Ь)дЬ. / д (Оиа (8) неравенство (8) играет важную роль в анализе. Неравенство Коцти4-Буняковского означает,что (х ~ у) '8х(! ЙУЙ Стало быть, отношение (х ! у)Ях6 'Оу(!) является косинусом вполне определенного угла Ьо: сову =, 0 < ~р < я. (х ~ у) Йх(! . '8У)! (0) Именно этот угол уз и считается, по определению, углом между векторами х и у.
Определение 3. Векторы х и у называются ортогоиальными (обозначение х д у), когда угол между ними равен п,ь2, т.е. (х/ у) = О. Доказательство. Из положительной определенности скалярного произведения (свойство ш)) следует, что Лз(х)х) — 2Л(х!у) + (у!у) = (Лх — у!Лх — у) > О, (5) где Л вЂ” — произвольное вещественное число. При фиксированных векторах х,у е И мы смотрим на левую часть (5) как на квадратный трехчлен 1. Так как 1(Л) > 0 для всех Л Е К, то для его днскрими- 2 нанта Р(у) = (2(х ~ у)) — 4(х ~ х) (у ~ у) должно выполняться неравенство Р(у) < О, откуда (х(у) < (х)х) (у(у). (6) Взяв по южнтельный квадратный корень из обеих частей неравенства (6) и воспользовавшись определением (3) длины вектора, мы придем к неравенству (4), в левой части которого стоит абсолютная величина скаляра (х ~ у) .
сз Зимич ание. Если ((х ( у)( = ()х6 Оу5, то Р(у) = О, те. трех ьнен у имеет один вещественный корень Ло. Согласно (5) имеем (Лох— у )Лох — у) = О, откуда у = Лох. Следовательно, лишь для коллинеарных (пропорциональных) векторов скалярное произведение по абсолютной величине равно произведению их длин. Пример 2. В применении к стандартному скалярному произвелению (4) и скалярному произведению (2) на Сз(а,,о) неравенство (4) принимает вид у' Е Евклибооьь векторные пространстоа 107 Нулевой вектор ортогонален любому вектору х Е 1'. Заметим еще, что х 4 у =У ()х+ у)! = ()хЙ + ОуЙ (теорема Пифагора), причем у нас это элементарно-геометрическое утверждение является следствием формальных свойств скалярного произведения. Чуть более общим является утверждение о попарно ортогональных векторах х, у, я, и,...: Йх+ у+ я+ и+...
Йз = йх!)з+ Йубз+ ряйз + йп))а+... В качестне упражнения проверьте, что всегда ~х)= ~у( ==в (хму) а (х — у) (диагонаяи ромба пересекаются под прямым углом). Из теоремы 1 вытекает С л е д с т в и е (неравенство треугольника). Длины векторов х, у и х + у связаны неравенством Ох х у)) < !)х(! + !)у!). (10) Доказательство.
Действительно, используя неравенство (4), получаем !)х х у()э = ))х()~ + ))у!)з х 2(х ( у) < !)х((з + ()у(!з + 2 ! (х ! у) ( < < ()х)(з+ )(у)(э+ 2)(х!) ((у(! = Ях(! Ч- ()уф~. П Пример 3. В пространстве функций Ся(о,ь) нераненство (10) принимает вид я ь ь ь / (1(ь) и д(ь)) оь < / Х(ь) оь -~- / д(ь) аь (неравенство Минковского). 3.
Процесс ортогоналнзации. В стандартном пространстве К" со скалярными произведением (1) векторы е, = (О,..., 1...,О), 1 = 1,, н, попарно ортогональны и образуют базис. Ег:тественно ожидать, что в любом евклидовом векторном пространстве И можно выбрать базис с аналогичными свойствами. Сформулируем точно то, что нам хотелось бы иметь. Определение 4. Базис (еы...,е,) евклидова векторного пространства Г назьтается ортогональнььм, если (е, ~ е ) = 0 при 1 у': д; г,д = 1,2,..., н. Если, кроме того, (е, ~ е,) = 1 при ь = 1,2,...,н, то базис называется оргпонормированнььм (нли орпщнормальным).
Другими словами, в ортонормированном базисе все векторы е, имеют единичную длину. Из любого ортогонального базиса можно полу.чить ортонормированный, нормировав каждый из векторов е,. Отметим следующий почти очевидный факт. Теорема 4. Любые ненулевые взаимно ортоеьзнальные векторы еы...,е Е Г линейно независимы. Если нри этом с1ппуг = п, и т = н, то векторы е, абра уют ортоеональнын базис в 1'. 108 Гл. Я. Векторные пространстоо со скалярным произведением Доказательство. Второе утверждение вытекает (по определению размерности) иэ первого, которое мы сейчас и докажем.
Предположим, что але~ + азет +... + оо,ет = 0 .- нетривиальное соотношение между векторами еы..., ет, Пусть, скажем, ая ~ О. Умножив скалярно на ел обе части нашего линейного соотношения, получим 0 = (О) ея) = (алел +... -еа есл /еь) = = ал(ел ! еь) +... + ая(еь ! ея) +... + а„,(е„, ! ея) = ол(ея / еь), поскольку по условию (е, !ея) = 0 при 1 ~ к. С другой стороны, (ел ! ея) ф О, и мы приходим к заключению, что ая = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
