1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Хотя эта теория универсальна и приводит к другим важным следствиям, ее изложение 3' 4. Жорданоаа нормальна форма довольно утомительно и вряд ли уместно в данном контексте. Напротив, прямой геометрический метод, которому мы следовали, достаточно нагляден и заслуживает того, чтобы 77ривести еще один его вариант, объодиняющий теоремы 3 и 4 (сьь, например, пособия ~2, 9]). Итак, пусть А; К вЂ” > Г - комплексный линейный оператор, Л одно из его собственных значений. Так как жорданов базис для А — ЛЕ будет также жордановым базисом для А., то без ограничения общности считаем Л = О. Тогда оператор А вырожден, включение 1шА с Ъ' строгое, и мы можем использовать индукцию по п = с11ш 1:. С этой целью рассмотрим последовательность 1пьА З 1шА' З 1тпАа З... Э 1п7АР ' З 1птА" = 1шА"" =....
стабилизирующуюся на каком-то р-м члене, так что 1тп А" П Кет А = О, 17п А" ' П Кетл ф О. Согласно упр. 3 из з 3 имеет место разложение 1' в прямую сумму К = Кет АР Од 1тп А" А-инвариантных подпространств. Если йш 1пт АР > О, то по предположении> индукции каждое из слагаемых допускает жорданов базис. Их объединение будет жордановым базисом в 1'.
Мы пришли к ситуации, когда 1' = Кет АР, . '. А" = О, А' ' ф О. Таким образом, в обход теоремы 3, имеющей самостоятельное значение, получена редукция к случаю нильпотентного оператора. Не апеллируя к теореме 4, поступим следующим образом. Положим для удобства 1; = 1шА' ' П КетА.
Тогда Кот А = 1'7 З Г~:з... З 1 р ф О, 1 р.~.7 = О. Выберем в подпространстве Гр базис (атд 1 < 1 < пр). Так как а,' б 1шАР ', то а,' = Ао 'а", для некоторого вектора ао. Рассьтотрим векторы а~ = АР''ка,"., 1 < 1 < р. Векторы ат дополним до базиса подпространства 1'„~ векторами Ьт в количестве пр 1 штук; найдем вектор Ь" ., для которого Ьт = А" 'Ь", и рассмотрим векторы Ь~ = А" ~ тЬР, 1 < 1 < р — 1. Затем дополним векторы ат, Ь. до базиса подпространства Ъ' а векторами с в количестве ир...а 1 1 7 АОККострикии 98 Га. 3.
Пннейнесе операторы штук и т.д. Иллюстрируем этот процесс диаграммой ас а' Ь' ас 1 р — з 1 р — 2 р — е а, Ь,. с, Предположим, .что векторы из диаграммы линейно зависимы: ~ос а,, +~о, а'," +...+~~~ сЗ ' ЬР +...+~бсее —— О. 3 с (11) Применение к (11) оператора АР ' даст в результате Е.'' = о~ а. = О, е с откуда имеем о,~~ = О, 1 (1 ( пр.
Применив теперь к (11) оператор А" ~, получим ~о а'. о(Р ~а'. + ч Д(' 1Ъ' = О, о, а,. ср-О ср — О что в соответствии с выбором векторов даст о~~ = О = ф~ о Продолжение этого процесса приведет к тривиальности соотношения (11). С другой стороны, общее число векторов в диаграмме равно )(а,'))+ )(Ь'.)) +... + )(ес)~ = = рпр + (р — 1)п с +... + 2пз + и, = =(лг+...+яр)+(па+ .+Яр)+ ..+(Пр.
г+пр)+гер = с1пп Гг + с1пп 1е +... + Жгп 1;, с + с1пп Кр = р (1шА' ' с1 КегА) = ~~~ (с)1гп КегА' — с1пп КегА' ') = с=1 = с)1ш КегАР = с(1пс )г аз Ьд сз О О О 12 с11 е) О О О х' д. Жорданооа нормальна форма 99 (по поводу этого равенства см, упр, 7 из ~ 2) Таким образом, векторы в диаграмме составляют базис пространства К, и этот базис жорданов по построению. х1то касается утверждения о единственности УКНФ, то в обозначениях п. 5 имеем К(т, О) = с1пп 1' — сугпг Г„,.ьг = = (с1пп Кот А — с1пп КегА"' ) — (Йпг КегА — с1пп КегАт) = = 2йш КегА'" — йш КегАт ' — сйп КегА'"е' = = гатйАа' ' — 2 гатйАт+ гатйАт~ = гт — с 2гьа+ гтч-1 ~ а это,как мы знаем, есть инвариантнал величина.
7. Другие нормальные формы. В этом пункте мы вкратце опишем другие нормальные формы матриц, пригодные, в частности, для алгебраически незамкнутых полей. а) Циклические пространства и циклические клетки. Разовьем определение 3. Векторное пространство 1с размерности и над й называется циклическим относительно линейного оператора А: ь' -~ К, если в К существует такой вектор и, также называелсый циклическим, что К = (ег, еь, ..., ен), где ес=А" съ, г = 1,2,...,п.
Так как (е,) базис пространства 1с, то и — 1 А" = ~ о,А'и ь=а с однозначно определенными коэффициенталси о, Е Я, поэтому оператору А в этом базисе отвечает так называемая циклическая клетка матрица вида он1 1 О ... О О о„я О 1 ... О О (12) ог О О ... О 1 ое О О ... О О Обратно: если матрица оператора А в базисе (ег,..., е„) является циклической клеткой, то вектор ъ = еа цикличен., причем ес = А" 'ен (индукпия вниз по 1). Покажем, что вид циклической клетки, отвечающей А, не зависит от выбора исходного циклического вектора.
Для этого достаточно Гл. Я. Линейные операторы проверить, что первый столбец клетки (12) состоит из коэффициен- тов минимального многочлена оператора А, т.е. п — 1 РА11) = У(1) = г Е о'1 . В самом деле, ДА) = су, поскольку ДА))Аеч) = А'~ДА)ч) = б, а векторы Аеч порождают и'. С другой стороны, д(А) ~ б для любого многочлена д11) степени ( п, потому что иначе, применив оператор д(А) = с к циклическому вектору и, мы получим нетривиальное линейное соотношение между базисными векторами Аеч.
б) Критерий цикличности пространшпва. Согласно предыдущим рассмотрениям, если пространство и' циклично относительно А,то его размерность п равна степени минимального многочлена оператоРа А и, стало быгзч минимальный многочлен совпаДает с хаРактсристическим. Обратное тоже верно (сьь упр. 4 из 0 3). в) Матрица любого оператора в подходлилем базисе можепз быть приведена к прямой сумме циклических клеток. Доказательство можно провести аналогично доказательству теоремы о ЖНФ. Вместо множителей (1 — Л,) а* характеристического многочлена следует расслзатривать множители р,1х)"', где р,(з) неприводимые над полем Я делители характеристического многочлена. Теорема единственности также имеет место, если ограничиться случаел1, когда минилильные многочлены всех циклических клеток неприводимы.
Без этого ограничения она неверна: циклическое пространство может быть прямой суммой двух циклических подпространств, минимальные многочлены которых взаимно просты. УНРЛЖНЕНИЯ 1. Используя матрицу о из примера 4 и выражение для У1д), вычислить определитель матрицы представив его в виде ве1 А = хвйп -~- 1). 2. С точностью до подобия ненулевые нильпотентные 4 х 4-матрицы исчерпываются следующими: Аг =,Уз(0) ф,б (О) 4,УНО), Аз =,Уз(0) 4- Уз(0), Аз = Уз(0) 4 УНО), Ал = ДНО). уг 4. Жорданооа нормальная Осорма Матрицы 0 0 0 0 1 0 0 0 — О О 1 1 О 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 О 0 0 0 О 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 О 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 — 1 0 0 0 0 0 0 очевидно, нильпотентны.
Каким матрицам А, они подобны? 3. а) Найти У(А), зная, что ЛА141 = (1 — 31*'(1-~- 21 и гапй (А — Зс? = 2, б) Однозначно ли восстасзавливается,У(А) в случае гапй (А — Зс? = 1, 3, 4? 4. а) Показать, что матрицы 6 2 — 2 6 2 2 Л= — 2 2 2, В= — 2 2 0 2 2 2 0 0 2 имеют одинаковые характеристические многочлены. б) Найти рл(11 и рн11?. в) Найти,104) и,У(ВК 6. Пусть Я . - сюле характеристики О, А —. и х п-матрица с козффициентами из Я. Доказать, что Л нильпотентна в точности тогда, когда ьг(А~1 = О, 1 < <?с < н.
О. Доказать, что матрицы А Е М (С1 и сА всегда сопряжены. с. Соотношение Лл = Е для матрицы А Е М (С1 справегщиво тогда и только тогда, когда А диагонализируема и ее собственные значения являются корнями степени Х из 1. 8. Непосредственно проверяется, что Аз р МаЗзЯ для матрицы 1 2 0 А= 0 1 2 ЕМаЗзЯ1 2 0 1 т.е. магические квадраты, в отличие от полумагических (сьс.
упр. 9 из 4 21, кольца не образуют. Тем более яеожиданным является утверждение: если .4 6 МабзЯ), спо А' 6 МадзЯ длл любоео нечетного т > 1. Доказать зто, опираясь на теорему Гамильтона . Коли. 9. Проверитгч что при любом т > 2 матрица А, где 2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 О 1 1 0 6 маблд), 0 О Л 0 0 О 0 О р 1, В= О р о р о о р ~ о о о Л Л= 0 0 Выразить Я и Д" в виде многочленов л(Л1, н(А) от А (по теореме Гамильтона-- Коли можно считать, что с1ед л111 < 2, с1ед н(11 < 2; как обычно, Ао = Я?. не является магической.
Используя матрицу А, показать, что для всякого и > 4 существует магическая и х н-матрица, т-е степени которой не будут магическими (т > 2). 10. Запишеьс матрицу А = Ус(Л?ф.Ух(р?, Л ф р, в виде А =. Я 4- УУ, где В = 01а61Л, р, р1. Более подробно: 102 Гл. л, Пинейные операторы 11. Г!усть У ц-мерное комплексное пространство, А линейный оператор на У.
Доказать,что А допускает однозначную запись в виде А = Я д-ЛГ, ЯЛг.=. Л'8, где Я диагонализируемый, а ЛГ нильпотентный линейный оператор, причем Я и Л' выражаются в виде многочленов от А [о называется полрпростой, а ЛЕ нильпотентной компонентой оператора А). 12. Вычислить [за[ЛГ) для любого нагурального й. ь 13. Доказать, что [[Л', У]з, Я] = 0 для любых трех матриц Х, У; Х Е ЛГз[Я). Здесь [Х, У[ = ХУ вЂ” УХ коммутатор матриц Х,Г'. ГЛАВА 3 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ Теория билинейных форм была развита нами в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
