1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть выполнены условия 1), й), Если Л1,..., Лю - различные корни многочлена Ллф, а й1,..., й —. их кратности,то ,1; 1 л. йь+йх+..+й — и. (11) По лемме 1 любая совокупность не равных одновременно нулю векторов и, б 1'~*, 1 = 1,...., т, линейно независима, так что 1мС~1ы+ +1чн+ +11 ) 6 (12) Значит (сы, теорему 7 из е 2 гл. 1), сумма Г'"' +... + 1х~ прямая, а с учетом равенств (11) получаем ул, + +рх (13) Взяв за базис в И объединение базисов в И~', мы придем к собстпвснному базису, т.е. к базису, состоящему из и, линейно независимых собственных векторов оператора А. Его существование эквивалентно диагонализируемости А.
Обратно:пусть оператор А диагонализируем. Снова обозначим через Л1,..., Л его различные собственные значения и положим 11 = = 11пп Их*, 1 < 1 ( т. Условие (12) по-прежнему выполнено, а так как 1г имеет собственный базис, состоящий из элементов подпространств И~', то 1хх',...,1'1" порождают 1'. Из этого мы заключаем, что имеет место равенство (13). Относительно базиса, получающегося объединением базисов в 1гх*,матрицей оператора А будет р=л ка„...,л,;;ы,...,л ). Из равенства Хл(1) = Хл11) = да (СЕ - А) = 11- Л,)' ...
11 — Л )'- 6 Л.И.Кострикин 82 Гл. я. Линейныв операторы вытекает, что все корни многочлена СЛ[1) принадлежат Й, т.е, выполнено условие 1), и что целое число 1, совпадает с алгебраической кратностью к; корня Л, [сне [11)) для 1 = 1,..., т. П 5. Существование ннвариантных надпространств. Все рассуждения, связанные с инвариантными подпространствами, собственными значениями и собственными векторами оператора, проходят, в принципе, над произвольным полем. Однако существование рассматриваемых объектов находится в прямой зависимости от основного поля, в чем мы убеждаемся на примере наиболее валсных полей 14 и С. Теорема 7. Всякий комплексный [соответственно вещественный) линейный оператор А имеет одномерное [соответственно одномерное или двумерное) инвариантное надпространство.
Доказательство. Так как характеристический многочлен ул[1) имеет в С хотя бы один корень, то известный метод нахождения собственных векторов заведомо даст одномерное инвариантное подпространство исходного пространства Г. В случае вещественного поля К рассмотрим минимальный много- член р ~[1) оператора А (см. определение 2 из ~ 2). Его коэффициенты лежат в 2. Есяи р 4[1) имеет вещественный корень и, то рлЯ = (1 — п)у[1): Ф1) б КЯ.
Так как у[А) ф б в силу минимальности р ~[1), то у[А)п ~ О для некоторого вектора п Е 1'. Но (А — ой) = [А — пй)у[А)п = рл(А)п = О, откуда А» = о», т.е. » - -. собственный вектор. Предположим теперь, что А не имеет собственных векторов. Тогда по доказанному у рл[1) нет вещественных корней. Но по тео- реме о многочленах с вещественными коэффициентами [ВА 1, гл.
6, й 4, теорема Ц мы имеем право записать рд[1) = [1 — М вЂ” р)а[1), П,Д б К, Ь[С) б К[1). Снова» = а[А)п ф О для некоторого п е Г и А໠— оА» — В» = рл(А)п = О. Получается., что А~» = пА» + В», а так как А» у'. -Х» [одномерного инвариантного подпространства нет), то Ь = [», А») — двумерное инвариантное подпространство. П 6. Сопряженный линейный оператор. Посмотрим, в какой связи находятся понятия оператора и сопряженного пространства. Пусть Г - векторное пространство над полем зз, Г * сопряженное к нему пространство и А линейный оператор на Г.
При любом фиксированном элементе 7' Е Г' отображение х ~ — ~ [7', Ах):= 1[Ах) [в обозначениях п. 2 З 3 гл. 1) снова лвляется элементом из 1", т.е. уе Я. Инввриантнл«е подпроетранс«пва и собс«пвенные векторе«83 линейной функцией; ((А(ах+«Зу)) = (Д аАх+ ДАу) = а((Ах) +«8((«Ау). Раз это так, то мы можем положить (А*у,х):= (1,Ах), (14) считая символ А*1 некоторой линейной функцией на И. Соответствие А*: 1 ~-> А*у при переменном 1 определяет линейное отображение Г* — л Г*; (А'(а1" + ллд),х) = (ау + Дд, Ах) = а(1,Ах) + Д(д, Ах) = = а(А*у,х) + «ЯА'д,х) = (аА*з" -ь л1А*д,х), так что А* б ь(«'*).
Определение 8. Линейный оператор А* на Г*«заданный соотношением (14), называют оператором, сопряженным к А е ь(И). Итак, мы имеем отображение ь(1') — ~ ь(1л*), а именно *: А «-~ «-л А*. Непосредственно из определения мы выводим следующие его свойства: О~, = Ок, б~, = бк., (аА)* = аА*, (А+ В)* = А* + В*, (АВ)* = В*А'. Например, последнее соотношение в (15) доказывается так; ((АН)*1, х) = (1, (АВ)х) = (1, А(Вх)) = (А*у, Вх) = (И*А*1, х). Чтобы задать оператор А* в матричном виде, естественно выбрать в И и И* дуальныо базисы (е,), (е').
Если Ае = ~ '„,', ал еы то (е'«Ае~) = ~ ~ал (е'«ел) = ~ ~ае1б,я = ал . е=-1 ь=-л Положив, далее, в А«« ~ «и ь=« будем иметь (А'е',е ) = ~,", а*е(ел,е ) = а*,. Так как, с другой стороны, в соответствии с (14) (А'е', е.) = (е', Ае ) = агы то а*; = = а; . Следовательно, верна Теорема 8. Если в базисе (ее) пространства И линейный опера«пор А имеет матрицу А = (а,:), то в ддальном базисе е' прошпранспша 1'* сопряженный к А оператор А* имеет, транспонированную матрицу 'А: А' = (а*, ) = 'А. П Заметим, что рефлексивность конечномерных векторных пространств, дающая возможность отождествить Г*" и И посредством 84 Гл. й. Линейные операторы естественного изоморфизма (теорема 2 из ~ 3 гл.
1), на уровне операторов выражается в виде А'* = А. (16) Действительно, в силу рефлексивности любую линейную функция> на К* можно мыслить себе как 7' ее ((, х) при некотором фиксированном х 6 К. В частности. (А* 7, х) = (7, у). По определению у = А'*х. Стало быть, (7, Ах) = (А*~, х) = ((, А"*х), откуда и вытекает соотношение (16). Оно показывает, что отображение А >-> А", обладающее свойствами (15), взаимно однозначно. Его называя>т витии оморфизмом алгебр В(у') и В(1"). Одновременное рассмотрение пар (1', А), (у *, А*) часто приводит к практическим результатам.
Одним из содержательных примеров этого является доказательство следующего утверждения. Теорема 9. Всякий комплексный ьинейный оператор А на 1' обладает инвариантной гиперплоскостью. Доказательство. Пусть с)1ш 1г = и. Как мы знаем, с11>пКег( = = п — 1 для любой линейной функции >' ф О на К, Возьмем теперь в качестве 7" собственный вектор линейного оператора А* на Ъ'*. Он существует по теореме 7, и если Л --- отвечающее ему собственное значение, то, как следует из определяющего равенства (14), х 6 6 Кег( .=> О = Л(7, х) = (Лу, х) = (А*7, х) = (7, Ах) ==> Ах 6 Кег(. Это и означает, что Кег 7 искомая гиперплоскость.
П 7. <7>актороператор. Пусть В - подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А, действующего на векторном пространстве 1'. Считая 1' и В фиксированными, будем обозначать факторпространство 1>>>В, определенное в п. 6 ~ 2 гл. 1, символом К, а лк>бой его элемент х + В через х. Определение 9. Соотношением А х = Ах на 1~ вводится фактороперап>ор.
Другими словами, А(х+ Ь) = Ах+ В. Это определение не зависит от выбора представителя х: если х+ + В = х' + Ь, то х — х' = у 6 В и Ах — Ах' = А(х — х') = Ау 6 В (в силу инвариантности Ь относительно А). Отсюда Ах+ В = Ах'+ В. Если бы В не было инвариантным относительно А, то определение фактороператора А теряло бы всякий смысл. Предположим, что 1' = В ей М прямая сумма инвариантных относительно А надпространств. Тогда, как мы знаем, А = Ал + Ал> прямая сумма операторов ограничений А на В и М. Если 7': и ~ — > > и+ В изоморфизм между М и 1' = 1',~В (теорема 10 из й 2 гл. 1), то (У Ам) у = Я(Аллу) = Ал> у + В = Аь + Р = АУу), откуда (17) уг 3.
Инвпрпангпнььг. подпространства и собствснныг. вскпчоры 85 Итак, действие А на И совпадает с действием Ам на ЛХ. Говорят, что равенство (17) устанавливает эквчлвпяентность (подобав) между А и Ам. При мер. Как известно, всякому линейному оператору и, действующему в двумерном векторном пространстве 1 = (еч,еэ) с собственным вектором еч, Л и отвечает треугольная матрица О р . При 1г = ЪЯе!) = (ез) имеем Аеэ = = рез. Если теперь 1г =. (еч,ез,ез) трехмерное векгорное пространство над Е и А: 1' э 1' линейный оператор с собственным вектором е~ (Аеч = оеч, а Е Е),то на двумерном пространстве И = 1'Деч) = (еэ.ез) действует фактороб ператор А, когорому по предыдущему отвечает треугольная матрипа в подходящем базисе.
Пусть для простоты им будет базис (ез, ез). Тогда Аеэ = Вез ,'=:, Аез = Вез -~- ие,, Аеэ — уеэ -~- без З Аеэ — Чеэ -1- беэ т рез. таким образом о и р А=~ О б б О О Аналогичные соображения используются и в общем случае. УПРАЖИЕПИб! 1.
Пусть (А! 1 < ч < т — 1) ортогональная система идемпотентных матриц (см. замечание в конце и. 1). Показать, что Аз = А, АА, = А,А =. А„ 1 < ч < т — 1 для А = А! -1- Аз Е... -~- А ы и если положить А„, = Š— А, то 1А, ~ 1 < ч < т) будет полной ортогональной системой. 2. ПУсть тм ЛХя1Я) — з М ф) —. не тожДественно Равный СЧ линейный оператор на пространстве квадратных матриц, обладающий свойством мультипликативности: Ю(АВ) = В(А)О(В) для всех А, В Е М (Я). Доказать, что тогда '0 = 7о для некоторой невырожденной п х и-матрицы С' (см. упр.
3 из б 1). 3. Пусть А: 1' — з 1' --. линейный оператор такой, что 1щАи .= 1щ Аичч для некотоРого натУРального числа Р. Докаэатгч что в этом слУчае 1' = КегАЯ Еа Оч!щА" прямая сумма двух А-инвариантных подпространств. 4. Доказать, что если линейные операторы б,А,Аз,...,А" ч, действующие па векторном пространстве 1' размерности и, линейно независимы, то существует такой нектор у Е 1', что 1:.= (у,Ау,А у,...,А" у) (в этом случае говорят, что 1г ппклпчно). б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
