1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Существова- ние т тривиальное следствие включения Я[А[ с ь(1г). Так как с?гшь(гг') = п-, то т < пз. Тем самым доказана часть следующего утверждения. Теорелга 1. Для всякого линейного операпгора А существует ,минимальный многочлен, 1гд(1). Его степень совпадавта с размерно- стью алгебры %[А[. Оггератор А обре>пим тогда и только тогда, когда свпбодный член р многочлена (6) птличен от, пуля.
Доказательство заключительной части теоремы столь же просто, как и проведенное выгпе доказательство первой части. Имен- но, если?лю = О, то О = Рл(А) =.4(А +?ггА + . +Р -гс). Значит, у А есть делитель нуля А ' + ргА ~ +... + р гб ~ ~ О (минимальность?г л(?)), а делитель нуля в кольце не может быть обратимым. Если, напротив,?г,„ф О, то соотношение — г (ы — г — г Аы — а вытекакгщее из р л (А) = О, в явном виде задает оператор, обратный кА.П Теорема 2.
Любой аннулирующий многочлен уЯ оператора А делится без остатка на минимальный многочлен рл(у). Доказательство. Попредположениюлинейныйоператор?(А) (см. (4)) равен нулевому оператору О. Если г (?) = у(1)?г Л(?) + г(1) результат деления ?(г) на р,г(1) с остатком г(г), то О =,~(А) = г?(А) . О + 7'(А), у 2. Алгебра линеаных операторов ОО откуда г1А) = О. Но с1е8 т11) ( с1е81ьл(1), так что в соответствии с определением минимального многочлена имеем г1х) = О. П Определение 3. Линейный оператор А называется нильпотентным, если А = 0 для некоторого т > О; наименьшее такое натуральное число пь называется индексом нильпотентпногти. Понятно, что рл(1) = 1о' для оператора с индексом нильпотентности т и 1ьл(1) = 1з — 1 для нетривиального оператора А с Аз = А.
Далее, 1ьсь(1) = 1 и 1ьг(1) = 1 — 1. Типичным примером нильпотентного линейного оператора индекса и служит оператор дифференцирования Юь, действующий на пространстве Р„ многочленов степени ( п — 1. Оператор проектирования Р 1пример 4 из п. 1) обладает свойством Рз = Р. Эти примеры будут активно использоваться в дальнейшем.
3. Матрицы линейного оператора в различных базисах. Пусть уг -- и-мерное векторное пространство над полем Я, А: 1' — ь -+ уг линейный оператор. Выбрав в Ъ' базис 1еь,..., е„), мы можем задать А его матрицей А = 1аь,), так что Аеь = ~аыеь. ь 17) Ае' = ~~ а~ь еь. ь (7') Если В = 1о,ь) матрица перехода от базиса 1е,) к базису 1е',), то формулы е' = ~, 6; ео 1 ( ь ( п, наводят на мысль ввести линейный оператор Б: Бе:=е., 18) с матрицей В в базисе 1еь,..., е„). Так как с)ос В ~ О 1теореььа 4 из з 2 гл.
1), то оператор Б обратим. Наконец, определим вспомогательный оператор А', имеющий в базисе 1еь,...,е„) ту же матрицу Х, что и оператор А в базисе 1е'„..., е'„). Другими словами, положим А'е = ~~~ а', ео е Мы имеем право зто сделать, поскольку при фиксированном базисе между линейными операторами и матрицами имеется биективное соответствие.
Используя 17) и 18), перепишем соотношение 17') в виде АБе = Ае!; = ~~ а'ьуе', = ~ ацБе, = Б(~ ц е,) Но тот же самый оператор А в ином базисе (е'~,..., е„') пространства 1' бУдет иметь какУю-то дРУтУю матРицУ А' = (аьу): 70 Гл. й. Линейно>е операторы откуда ввиду обратимости Б и ввиду выражения (9) для А' получаем В 'АВе =А'е, 1(1(п. [10) Рассматривая все операторы А, В и А' в одном и том же базисе (е>,..., ео), мы переходим от [10) к матричному соотношению А' = В 'АВ.
(11) К соотношению (11) можно прийти более прямым, координатным пУтем. ПУсть, как обычно, 2 'е л,е, = х = 2 ',, г',е', запись пРоизвольного вектора х Е 1' в исходном и новом (штрихованием) базисе, Х = [х>,...,лп], Х' = [л',...,г'„] соответствующие столбцы координат. Далее, пусть 1' = .4Х, У' = А'Х', где .4., А' -- матрицы, определенные соотношениями (7) и (7'). Так как Х = ВХ', У = ВУ' (см. (4') из 3 2 гл. 1), то АВХ' = АХ = 1' = ВУ' = ВА Х'. Ввиду произвола в выборе столбца Х' (вектора х е 1г) имеем АВ = = ВА', откуда А' = В 'АВ. Итак, мы дважды убедились в том, что справедлива Теорема 3.
Матрица А' линейного оператора А в базисе [е>,...,е'„) получается из матрицы А того нее опера>пора А в базисе [е>,..., еп) по формуле [11), где В -- матрица перетода от [е>) н [е]). Определение 4. Говорят, что матрица А' >юдобна матрице А и пишут Х А, если существует невырожденная матрица В, связывающая А и А' соотношением [11). Предполагается, что все матрицы квадратные одинакового порядка, с коэффициентами из одного и того же поля Ге.
Ясно, что всегда А А [взять В = Е). Далее., соотношение [11), переписанное в виде А = В 'ХВ> с В> — — В '., показывает, что отношение подобия симметрично; А' А => А Х. Оно также транзитивно: если А' = В >АВ, А" = С >А'С, то А" = [ВС) А[ВС), т.е. А" Х, А' .4 ==> Х' А. Таким образом, отношение подобия является отношением эквивалентности, и все квадратные матрицы порядка и разбиваются на непересекающиеся классы подобных матриц [сравнить с классами эквивалентности матриц нз [ВА 1, гл. 2, г 3, п. 6]).
Согласно теореме 3 каждому линейному оператору соответствует ровно один класс подобных матриц, а подобные матрицы служат матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах. Язык яинейных операторов удобен в теоретических исследованиях, однако конкретные вычисяения чаще всего реаяизуются в матричной форме. Поэтому классификация матриц с точностьк> до подобия является весьма важной с практической точки зрения. Если, скажем. нам требу.ется вычислить степень Аь матрицы А порядка у 2. Алгебра лавейнмх операторов и > 1 (или даже п > 100) для большого показателя в > 1000 (а та- кие задачи встречаются на практике), то естественно попытаться найти матрицу А' А с легко вычислимой степенью (Х)". Проще всего это сделать с Х = Йа31Лс,..., Л„), коль скоро такая матрица в классе подобия с представителем А существует.
Тогда А = ВА'В и Аь = В 01ад (Лю..., Ль) В . В этом отношении достаточно ти- гО 1л пична матрица А = ~ ), имеющая прямое отношение к числам — 1) Фибоначчи и являюшаяся главным "героем" в 1ВА 1, гл. 2, ~ 3, п. 5, пример 3). Добавим еще, что умение вычислять степени А" дает воз- можность находить значения ) (А) = аоХ" -ь а с А"в " ч-... -ь а„, с А + ав,В для произвольного многочлена Г'(с) = аоро +... + аое 4.
Определитель и след линейного оператора. Пусть А линейный оператор на ух. Его определителем называется определи- тель с)ес А матрицы А, соответствующей А в каком-нибудь базисе пространства 1'. Так как с1е1 (В '.4В) = с1е1 А, то с1е1 А -- инвари- ант оператора А. Обратимым матрицам отвечают обратимые опе- раторы, поэтому с1егА ~ 0 --. необходимое и достаточное условие обратимости оператора А. В случае с1ег А = 0 мы имеем дело с вы- рожденным линейным оператором А.
Назовем теперь следом линейного оператора А выражение П 1гА = 1гА = ~ап, с=1 где А = (ае) — матрица, отвечающая А (бг — сокращение от ан- глийского стасе). Как известно и как легко проверяется, сгАВ = ггВА (12) для любых матриц А, В одинакового порядка. Применяя это соотношение к матрицам В '.4 и В, где В невырождена, получим ег(В 'АВ) = Гг(В В 'А) = ГгА. Значит., определение следа оператора корректно, т.е. не зависит от выбора базиса в Ъ'. Аналогом (12) является соотношение сгАВ = сгВА. (12') Обе введенные функции с1ес и гг: С(1х) — + Я играют важную роль. Функция с1е1 мультипликативна (с1е1АВ = (с1е1 А)(суе1 В)), и с ее помощью выделяется группа Апс Г автоморфизмов пространства 1', или, что эквивалентно, группа всех невырожденных линейных операторов на Ъ'.
Нетрудно сообразить, что при любом выборе базиса в 1' группа йпь 1' превращается в известнукв из [ВА 1] полную линейную группу СВ„(.н) матриц порядка и = с11шя 1'. Более точно: имоет место изоморфизм групп Лпс г = Сс в(ус). 72 Гл. 2. Лпкейные операторы Функция (г линейна: уг(оА+()В) = оугА+,31гв (легко проверить), и этот факт широко используется в математике; так, содержательнал теория характеров групп (см. [ВА 111]) целиком основывается на понятии следа. Рассмотрим более 'скромные" применения. Пример 6 (алгебры У!и).
Алгебры, как и кольца, не обязательно должны быть ассоциативными. Очень важным примером неассоциативной алгебры яввяется так называемая алгебра Лв Ь (или лвеаа алгебра -- в честь Софуса Ли (1842 — 18УУ)), в которой операция умножения (х,у) ! х ь у удовлетворяет двум аксиомам: !) (х * х) = О; тогда (х -!- у) е (х е у) = О ==о х * у = — у з х (свойство антикоммутатинности); й) (х ь у) ь х -ь (у е х) е х ь (и з х) * у = О (тождество Якоби). Операцию хе у чаще обозначают символом (х, у) и называют операцией коммутираеашы.
Векторное пространство Ь =- Из = (е,) есть трехмерная алгеара Ли с операцией умножения векторным (или внешним) произведением векторов: если х = хзе! -!-хзез -!- хзез, у = узе! -!- узел -~- увез, то (х,у! =- (хгуз — хауз)е! 4- (хзу! — х,Ыез ф (х!уз — хзу!)ез. Легко проверить, далее (а такую проверку каждый математик должен провести хотя бы раз в жизни), что, задав на множестве ь = б(Р) новую операцию умножения по правилу (А,Б! =- АБ — БА, (18) мы удовлетворим обеим аксиомам !), й) и можем смотреть на Б(1') как на алгебру Ли. Ее принято обозначать символом 81„(Я). Имеется глубокая теорема, согласно которой всякая коиечномернзя глюебра Ли иад Я являетсн подалгеброй алгебры Ли (С(1г)! (, ':), где И некоторое векторное пространство конечной размерности пад и (напомним, что водалаебра - надпространство в б(1г), замкнутое относительно операции (,)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
