1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 12
Текст из файла (страница 12)
заь А1=Л!, Пег= Л1 Лз УЬ1 Лг'2 . Уьь 113) матрицы Р = (Лу). Таким образом, ьь„= с1есг'. Для удобства положим еще ььо = 1. Роль главных миноров хорошо иллюстриру.ется одним специальным способом приведения квадратичной формы д к каноническому виду. Теорема 7 1метод Якоби). Пусть д квадратаичная форма на 1У с матриией 7г, все главные миноры 113) которой отличны от нуля. Тогда сущеснзвует базис 1е'1,...,е'„) ~ространства 1; в котором дух) принимает канонический вид д(х) = — (л')~ + — (т')~ + ...
+ " (л'„)'. (14) а и Доказательство. Пусть 1еь,...,е„) первоначальный базис пространства у'. Рассмотрим 1н — 1)-мерное подпространство Е = 1е1,...,е„1). Пусть д = д~ -- ограничение д на 7. Матрица У формы д получается из Г вычеркиванием наследной строки и последнего столбца, поэтому ее главными минорами будут б1 = .бы Ьг = злю ...,,Ьо 1 — — 11п 1. Все они по условию отличны от нуля. Рассуждая по индукции относительно нч выберем в б базис, в котором д1х), х Е Е, принимает вид 01х) = 01х) = — 1л,) +...
+ 1т„,) . ~1 и — 1 у' 4. Билинейные и квадратичные фармьс Отразим этот факт в терминах полярной билинейной форлсы у; Д(е',,е',) =, 1(езе') = О,. 1 < 1 ф 1 < и — 1. Система Д(х,ес) = О, ..., 1(х,ен 1) = О, х е 1; из и — 1 линейных уравнений с и неизвестными а',..., тп обязательно имеет ненулевое решение в 1', этому решению соответствует х = е'„. Легко видеть., что система (е'„е!з,..., е'„) составляет базис пространства 'е'. Так как вектор е'„определен с точностью до скалярного множителя, то мы нормируем его условием, чтобы матрица А перехода от базиса (ес) к (е';) имела определитель с1есА = (Ь„) ' = (с1есГ) матритьа формы З' в базисе (е',.).
Тогда С(ее е'.) = О ПУстс Г' при сну и Г ! ! 1 Л и г=1 = бег Е' = с1еС (1А Е . А) = (с1еС А)и с1е1 Р = —, Ь„' откуда Форма о, записанная в базисе (е',.), принимает искомый вид (14). П Легко убедиться в том, что матрица А будет треугольнои; ес — — а|се1, Ез = асиЕ1+ аииЕи, / Е„= а„с„+ а„иЕЗ +...
+ аь, Ен, но нам этот факт не понадобится. Следствие. Отрицательный индекс инерции, квидратичной формы д(х) = 1(х,.х) с матрицей Е, все главные миноры косиорой сь„1 < 1 < и,, отличны от нуля, совпадает с числом перемен знаков в последовательности 1 — 'лв Сл1 ° ° С и. Если. в частности Ь1>О,...., ~ь„>О, то квадраспичнил форма о полоакительно определена. Сейчас мы увидим, что утверждение следствия обратимо. 54 Пл.
К Прооторинотпва и 4ормьт Теорема 8 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма у на и-мерном веитестпвенном векпторном прот,тпранстпвв Г в том и только том случае яаляется положительно опуеделенной когда все главные миноры лзы ..., лло ее матттрииы Е = ф.) положительньт. Доказательство. Согласно следствию теоремы 7 неравенства Лт > О, т = 1, .2,..., .п, .обеспечивают положительную определенность формы д. Для доказательства обратного утверждения, как и в теореме 7, используем индукцию по и, рассматривая ограничение д = у~„ формы у на (п — 1)-мерное подпространство П = (еы..., е„т) Е Г = = (е„..., е„) ((ет) -- базис, в котором д имеет матрицу П).
Понятно, что главными минорами матрипы 7 формы тт будут тат = лы ..., тл„т = .Ь„т. Так как мы считаем у положительно определенной, то таковой будет и форма ф Стало быть, по предположению индукции тлт > О, ..., Ь„. т > О. Остается показать, что Пто > О. Но из теоремы 6 мы знаем, что П = 'А А, где .4 — не- вырожденная матрица. Позтому тл„ = с1ет Е = т1ет 'А т1еь А = (т1ет А)г > О. П 9. Канонический вид кососимметрнчной формы. Уделив основное внимание квадратичным (и заодно билинейным симметричным) формам, мы обратимся теперь, руководствуясь теоремой 2, к пространству П.„(1', й), т.е.
к билинейным кососимметричным формам. Итак, пусть ((х, у) = — ((у, х) ух, у Е Г Как и в случае симметричных форм, радикалом (или ядром) формы 7 назовем подпространство 1о=Кегт=(иЕГ~)~(их)=0 ЧхЕГ). Если Гт любое дополнительное к Го подпространство в 1т, то ь =Говоут, причем ограничение Дьй будет невырожденной кососимметричной фоРмой. Действите~ьно, если а Е 1'т, а ~ О и 7" (а, хт) = О дла всех хт Е 1'т, то для любого вектора х = хо + хт Е Г (хо Е Го) имеем 7(а,х) = т (а,хо + хт) = 1(а.,хо) + т (а,хт) = -7(хо,а) = О (здесь мы воспользовались кососимметричностью формы), что противоречит определению Го.
Тем самым изучение 1 сведено к случаю невырожденной формы. Будем с самого начала считать, что 7": Г х Г -~ .й - — невырожденная кососимметричная билинейная форма. Пусть Г = (еыег,.,.,еи), х = ~ттеб У = ~У;е . у' л. Билинейные и квадратичные формы 55 Тогда и ф(х,у) = ~ Д х;у = 'ХР'1; зэ=1 Д = ф(епе ), где Р = (1", ) кососимметричная матрица: 'Р'+Р = О. Стало быть, З(х,у) = ~ йм (х;у: — х:у,). (15) 1<~<о<и И л = (х Е 1' / й" (е'б х) = О, 1 = 1, 2).
Дополним е',, ез до (штрихованного) базиса пространства И. Пусть И = (е'„е~з,..., е'„), х = х~ е' +... + х'„е,'„. Тогда з(ез х) = ззззуз+ Лзхз+. + зь ф(ез, х) = фз,х', + Дзхз +... + плохо = Π— линейная система ранга 2,поскольку строки матрицы Б линейно независимы. Значит, пространство решений (е',е') этой системы имеет размерность п — 2.
Тек как (е~,е~ ) Г1 (еме~,) ~ С Кету = О, то мы получаем разложение И = (е'„е',) со (е» е',), Из (ВА 1, гл. 3, ~ 2) известно, что для определителя кососимметричной матрицы Б порядка и справедливо соотношение (1+ + ( — 1)" ') с1еь Г = О, так что неравенство бес г у'.
-О (условие невырожденности формы З ) возможно лишь при четных п. Мы получим этот результат другим способом, причем заодно приведем форму ф к каноническому виду. С этой целью введем понятие гиперболической (или симплсктаческой) плоскости И' в Г, понимая под РИ любое двумерное подпространство с условием ф ~ и у- .О.
Такое подпространство найдется хотя бы потому, что для всякого вектора е'~ у'. -О существует вектор е!з с 1(е', е' ) ф О. Умножая е', на подходящий ска тир, мы можем считать, что й" (е',, е!з) = 1; разумеется, ~(е'„е', ) = О = з'(е!з, е! ). Теорема 9. Пусть 1' —. векторное пространство с заданной на нем невырохсденной кососимметричной формой у. Тогда д1шИ = = 2т и И -.. прямая сумма т гиперболических плоскостей, попарно косоортогональных друг другу относительно 1.
Доказательство. Применяем индукцию по п = дйш1'. В силу сделанного выше замечания найдется гиперболическая плоскость И' = (езм е'з) С И. Если и ) 2, то рассматриваем косоортогональное дополнение 55 Гл. К Проопринстпеа и 4ормы причем ограничение 1 на (е'„е') является невырожденной косо- симметричной формой. В таком случае по предположению индукции (есме!~)" " четномерное пространство, являющееся прямой суммой попарно косоортогональных гиперболических плоскостей. Значит, и = дцп И = 2гп для некоторого целого числа га и 1л обладает базисом (е",) с е" ,= е',, е!~~ = е!з, таким, что Г = (е,,ез) 6'(ез,ел) Ю...
Сс (езю с,ез. ), 1(ое2 — 1 +це2 уев 1+ без.) = О, 1 х- у, У(е",, „е,",) = 1. П След с т в и е. Любил невырожденна кососиммегпринная магприца Е размера 2гп х 2т конлрузнгпна митрцце Π— 1 О О 1 О О О О О О О О 1 О кье. нийдегпся нееырожденния маьпрнци А такая, игпи 'АГА = д. Доказательство немедленно вытекает из теоремы 9, если вспомнить закон изменения матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Замечание. Теорема и ее следствие справедливы над любым полем характеристики ~ 2.
Часто за стандартную кососимметричную матрицу выбирают Π— Е„и Е О Переход от д к до достигается переупорлдочением базисных векторов. Если говорить о практическом приведении кососимметричной формы (15) к каноническому виду, то опять следует воспользоваться методом Лагранжа. Именно, считая у ф О (в противном случае делать нечего) и в случае необходимости переупорядочивая базисные векторы, мы придем к ситуации уы ~ О. Выдечим в (15) все слагаемые с переменными х1 или У1.. х (у1зуи+ "+ Б.ди) — (Л~хз+ "+ усохи)у1 С новыми переменными ! хз — З1аха +...
+ з\их„„,, уа — зьоуа + ° + зглуп (хы ум хз, дз,..., х„, у„остаются прежними) начинается процесс вы- У' Е'. Билинейные и неадратинне1е формы деления слагаемых, содержащих х!, Уе. 1(х, У) = = (21+ Лзхе+ + 1пзх )уя х2(У1+ Ьгуз+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
