1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 13
Текст из файла (страница 13)
+ Яау ) + 1 ! Р ! 11'1 У2 '32У1 + где х1 + лззхз + ' .. + леахп~ У1 У1 + л32У3 + . ' + 3нзуп а точками обозначены слагаемые, содержащие лишь хз, уз,... ..., х„, уп. С ними, если они отличны от нуля, поступаем аналогичным образом. В конечном счете форма 1 окажется приведенной к каноническому виду: ((к~у) (31У2 х2У1) + '+ (х2т — 1У2т хееаупт — 1)' (1б) 10. Пфаффиаи. Согласно следствию теоремы 9 для любой новырожденной кососимметричной матрицы Е найдется матрипа А такая,что 'АГА = = до. Е О Отсюда (с1есА)2с)етая = 1, т.е.
с1есР квадрат в основном поле Я. Это обстоятельство наводит на мысль рассмотреть поле отношений (поле частных) втЖ) тЯ(312,3111,.,3 — 1, ) кольца многочленов что легко получить, вычисляя определители матриц О 312 3ш е14 -йьо -313 Π— 31 3 О 324 пел — 1„ — Ум е34 ΠΠ— 3 К О т [3] = т [312, 313 ., 3 — 1,п] от н(п — 1) /2 независимых переменных и кососимметричную матрицу Т = (31 ) с 311 = — 31 при 1 ( 11 Мы знаем, что с1ееТ квадрат в поле Я(е).
С друтой стороны, Нес Т - многочлен из К[с]. Значит (здесь мы неявно пользуемся однозначностью разложения на множители в е' [е]; см. [ВА 1] и [ВЛ 1Н]), с)ес Т квадрат некоторого многочлена из е,[1]1 с1есТ = Р„(е)~. Нормируем Р„(3) = Р„(312, 313,...
) так, чтобы Р„(11„113,... ) = 1 для тех значений еоц = О, т1 переменных 111, для которых То = (3, ) т,7о. 11рн такой нормировке получается однозначно определенный много- член Р1п(3), называемый общим нфоффиином размера н. Например,. 1 12(е) = 3, 1 е4(е) = е12 134 е13 е24 + е14 ~23~ 58 Гл. 1. Простронсгпеа и 4ормьс с1е1 Е = РГ (Е)2. Р1(7АГА) = с(есА РГ(Е) Далее, с)лл любой и х и-магарииы А. Доказательство. Соотношение с(е1Г = Р1(Г)~ выражает известные нам свойства кососимметричной матрицы и пфаффиана. Пусть, далее, 57 = (иб) — произвольная п х и-матрица с ъчгебраически независимьгми коэффициентами ин, Т -- рассмотренная выше кососимметричная матрица. Тогда Р1 (71)ТГ~2 = с1е1 (7ПТс)) = (с)ес Г)2 бес Т = (с1е1 Г)2 Р1(Т)2, отку.да РГ (~ 17ТГ~ = +(с)ес Г) РГ (Т).
Если подставить теперь вместо иц и бы такие значения, что Г станет единичной матрицей, а Т стандартной кососимметричной матрицей, то слева будет стоять Рс" (го) = 1, а справа ж1 РГ(1о), т.е. следует взять знак +. Это значит, что и для специальных матриц 1/ = .4, Т = Е справедливо доказываемое равенство. П Остается заметить, что пфаффиан Р1 (Т) для Т = (10)2, 7Т = = — Т универсальный многочлен, являющийся однородной формой степени т, коэффициенты которой целочисленны или лежат в простом поле. УПРАЖНЕНИЯ 1.
Пусть 717, ..., .Ьв = Р' главные миноры вещесгвенной квадрагичной формы д с матрицей р. доказать, что Ч и р отрицательно определены в точности тогда, когда ( — 1)ЬЬь > О для й = 1,2,..., и. 2. Привести пример: а) положительно определенной матрицы А = (а, ) с ое < О для некоторых пар (7,1); б) матрицы А = (ач ) с о, > О для всех индексов 7, З. которая не была бы положительно опредеяенной. 3. Указать Л, р Е Ж, для которых матрины л л Л 1 Л Л Л 1 р р р 1 1 являются положитвльно опрвдвлвнными.
Под РГ(Е) будем понимать результат подстановки в РГ„(17 ) коэффициентов 11 кососимметРичной матРицы Г вместо 1ы (заменив всюду Я на простое поле лр, мы распространим наши рассуждения на поля произвольной характеристики). Имеет место Теорема 10. Если Е кососижжеггсричная жатргсиа размера ПХП, 7ПО у 4. Билинейные и квадратичные грормы 59 4. Пусть х = [х1,хз,хз) б и, СЗ(х) = хг+ хе +хз — Зх1х2хз, е примитивный корень степени 3 из 1. Используя выражение ЧЗГХ) = ГХ1 -~- Х2 -~- ХЗ)ГХ1 + ЕХ2 -~- Е ХЗ)(Х1 -~- Е Х2 + ЕХЗ) убедиться в том, что Сд(х)О(у) = СЕ(и), где х = )21,22,ез), ег = е,(х,у) ь а.' хзрг билинейные симме"гричные формы.
Найти их явный вид. Н1 й ЗЬ 1 б. Пусть А -- произвольная вещественная симметричная матрица, е = е(А) достаточно малое вещественное число. Доказать, что матрица В = Я ф ЗА положич сльно определена. ГЛАВА 2 ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Как правило, изучают не векторныс пространства сами по себе, а линейные отображения векторных пространств. Примерами могут служить вращения, отражения, гомотетии в М~~, операции дифференцирования и интегрирования в анализе.
Для начала сосредоточимся на наиболее общих свойствах линейных отображений. 2 1. Линейные отображения векторных пространств 1. Язык линейных отображений. Как мы знаем (см. (ВА 1, гл. 2, з 3]), каждой ьч х и-матрице А отвечает линейное отображение еол: К" -у К"'. Аксиоматизируя его свойства, мы вводим следующее общее Определение 1. Пусть Г;И" векторные пространства размерностей п, т над одним и тем же полем и. Отображение у: à — > Иг называется линейным. если ((х+ у) = 1(х) + ((у), 1(Лх) = Л((х).
Другими словами, ((ох + Ву) = оу(х) + йу (у). с1астным типом линейного отображения служит понятие линейной функции )': à — + Я, подробно рассмотренное нами в гл. 1. Совокупность всех линейных отображений à — > И', обозначаемая символом ь(1', И') (или Нот(1", И")), -- векторное пространство с естественными операциями сложения отображений и их умножония на скзляры: если 1, д е Е(1', Ие) и и, р е Е, то по определению (му + рд)(х) = иу(х) + рд(х).
Непосредственно проверяется, что всо аксиомы векторного пространства (см. гл. 1, 8 1) применительно к б(1Г, И') выполняются. С любым линейным отображением у; à — ~ И' ассоциируются два подпространства его ядро Кету = (ч е! ! 1(ч) = 0) и образ 1п1 ~ = (чя е И'/ и = Яч) для некоторого ч е Г). Ядро и образ как понятия для нас не новы, но теперь важно подчеркнуть, что они являются векторными подпространствами в Г и И' соответственно (легкая проверка, очевидная для Кег (, а для 1т у приводимая ниже). Для любого подпространства Ге С Г условимся писать коротко ((П) = (у" (и) ~ и е П). Если цм па Е П: гы ия е Е, то и1 ((п1) + изумя) = ~(о1и1 + иаи ) 6 ((Ц, у Е Пинестные отоброженвл векторных пространств 61 поскольку игп1+игпе е П. Поэтому 1(Г) ".
векторное подпространство в И'. В частности, это относится к 1'(Г) = 1пс 1. Заметим, что инъективность 1 равносильна равенству Кету = = (О). Действительно, в случае 1 (х) = 1 (у),. х ~ у, имеем О ф х — у Е Е Кег 1'. Обратно: если О ф х е Кета, то 1(х) = О = 1 (О) Теорема 1. Пусть 1": И -+ И' линейное отображение. Если Г = (е1,...,е,) С Г, то 1(П) = (1(ег),..., 1(е,)) С И'. В частности., с)1ш Г" (Г) < с11ш П.
Доказательство. По условию любой вектор и е П записывается в виде и = осе1 +... + о,е„поэтому 1 (и) = о12 (ег) +... ... + о,)(е,), а это и означает, что 1(Г) = (1(е1),..., 1(е,)). В том слу.чае, когда система (ег,...,ев) была базисной для Г, система (с" (ег),..., 1(е,)), вообще говоря, не обязана быть базисной для 1(П), поэтому 111ш 1(Г) < в = с1ппГ. Вполне может случиться, что Г С Кег1" и 1'(Г) = (О). П 2. Задание линейных отображений матрицами. Пусть нам ЗадаНЫ баЗИСЫ (Чг,..., Чп), (ЪЧ1,..., И т) ВЕКтОрНЫХ ПрОСтраНСтВ 1' и И' соответственно. Любой вектор из образа 1ш 1" С И' является линейной комбинацией векторов ,((Ч1) = аггв 1 + а21ЪЧ2 +...
+ ап,1ЪЧт, Я(Чп) = а1оЪЧ1 + агпЪЧ2+ . + атпЪЧт. Обратно, задание набора векторов чч1, = 1(чг), ..., ъч„' = 1(ч„) пространства И' полностью определяет линейное отображение 1; произ- ВОЛЬНОМУ ВЕКТОРУ Ч = О1Ч1+...+ОпЧп ДОСтатОЧНО ПОСтаВИтЬ В СООтветствие вектор ъч = осъч~1 +... + сгпъч'„. Если ч' = сссь 1 +... + о' ч, то 1(ич+ и ч ) = 1((иог+ ио1)ч1 -~-...
+ (ион + ио„)чп) = = (иаг + О,)ЪЧ', +... + (иап + и'О'„)ЪЧ„'= = и(аснсг +... + ОпЪЧ'„) + и'(О1 ЪЧ1 +... + О',, Ис,',) = и,С'(Ч) + и'((Ч'), Матрица а11 а12 ... агп 1121 1122 ° а2 (2) ат1 ат2 ° отп называется лсатриией линейного отображения 1": 11 — 1 И' относительно базисов (чг,...,ч„), (ччг,...,ъчп,) ( или в базисах (ч ), (ъч,)) пространств 1х и 1И. Различным матрицам отвечают различные линейные отображения. 62 Гл.
г. Линейные операторы Заметим, что координаты вектора Х(»х) составляют Х-и столбец матрицы ЛХХ. Поэтому гап1с(Х(»с),..., Х(»п)) = гагйЛХХ, в так как всегда гагй( Х(»,),..., Х(»п)) = Йт(Х(»с),..., Х(»„))яс = Йгп1тХ, то сампо 1пс Х = гап1сЛХХ. Определение 2. Размерность подпространства 1пс Х называется также рингом (гап1с Х) линейного отображения Х. Понятно, .что от выбора базиса величина гап1с Х не зависит. Нами доказана ТеоРема 2. 1) Пусть 1с ( . дви пространства с фиксированными базисами. Тогда суисествует взаимно однозначное соопсветствие между линейными отображениями из 1' в И~ и т х и-матрицами с коэффициентами в основном поле Я. й) Произвольной системе векторов ч»',,....,ч»'„е И' отвечает.
единственное линейное отображение Х: И -э Й', для которого Х(»с) = и ',, 1 < 1 < и. 111) Ранги линейного отображения Х: И -+ Ис и опсвечающсй ему матрицы ЛХХ (при любом выборе базисов в И и И') совпадают. Как мы знаем, все т х п-матрицы с коэффициентами в поле Я образуют векторное пространство над Гс размерности тп с базис- ными векторами Е,. матрицами, в которых на пересечении с-й строки и г-го столбца стоит 1, а на остальных местах --- нули. Стало быть, имеет место равенство с1ппь(», И') = (с1ппИ) (с1пп И').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
