1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Матрица прямой суммы операторов имеет клеточно-диагональный вид: А= А О О Аиг = Ап+Аи. (5') Нами фактически доказана Теорема 2. Пространство И является прямой суммой двух надпространств бл,. И', инвариантных относитлсльно линейного оператора А: И вЂ” > 1; тогда и только гглогда, когда матрица этого оператора в каком-либо базисе принимает клеточно-диагональный вид (5'). где Аг т х т-матрица, .42 (п — т) х (и — т)-матрица и Ао т х (и — т)-матрица. На Аг можно смотреть как на матрицу линейного оператора Ац оператора А, ограниченного на Г (удобно положить Ал = Ап). Представим на минуту, что .4о - нулевая матрица. Тогда, очевидно,.
Ир' = (ею рю..., еп) тоже будет инвариантным подпространством в р', а Аз .— матрипей оператора Ащ. В этом спучае говорят о прлмой сумме операторов А = Ао 4- Аи; у в. Инвприантные надпространства и собственные векторы 77 Это утверждение очевиднылв образол1 переносится на любое число т, инвариантных подпространств, прямая сумма которых совпадает с 1'. При т = п = йщ 1: мы приходим к условиям, когда матрица линейного оператора в подходящем базисе становится диагональной. Вернемся к тому случаю, когда в равенстве (4) матрицу Ав нельзя сделать нулевой, как бы мы ни выбирали векторы е„,, ы..., еп, дополняющие базис (еы...,е ) инвариантного подпространства 77 С С 1С Это значит, что хотя по теореме 9 из З 2 гл.
1 пространство 1Г разлагается в прямую сумму 1' = РВИ' многими способами, ни одно из дополнительных подпространств И' не инвариантно относительно А. Такую ситуацию лучше всего иллюстрирует оператор дифференцирования Рл. .если 1; одно из инвариантных подпространств 1; в цепочке (3) и 1' = 1; еб И'и то заведомо (ее(И',)) О 1', ~ О.
Заметим в заключение, что если А(Г) С П и В(77) С У', т.е. Г- общее для А и В инвариантное подпространство, то Г инвариантно относительно линейных комбинаций оА + ИВ и произведений АБ, НА. В частности, А77 С 17 =Л,у(А) 77 С 17 для любого многочлсна 7" Е Й [е]. 3. Собственные векторы. Характеристический много- член. Одномерные инвариантные надпространства заслуживают специального рассмотрения.
Определение 2. Любой ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно А, называется собственным вектором оператора А. Ксли х — - собственный вектор; Ах = Лх, то сквляр Л е й называется собственным значением оператора А, отвечающим собственному вектору х. Иногда говорят также: характеристический вектор, характеристическое значение. Заметим,что Ах = Лх .==в Аьх = Ллх, откуда (б) ДА)х = 7(Л)х, каков бы ни был многочлен 7 Е Я [1].
В частности, ДА) = 0 .==в Д(Л) = О (7) для всякого собственного значения Л оператора А. Пусть 1' =(ъ Е1'] Ач=Лч) — подпространство, состоящее из О и всех собственных векторов, ассоциированных с собственным значением Л. Гп. 2. Панейньее операторы Определение 3. Очевидная импликация Ах = Лх, Ау = Лу =~ А(ах + 13у) = Л(ох + лзу) дает основание называть 1ел собстеенньем иодпроетранством оператора А, ассоциированным с Л.
Его размерность е11ш 'и'л называется геометрической кратностью собственного значения Л. Условие существования собственного вектора записывается, очевидно, в виде (А — ЛЕ)х = О, х ~ О, (8) т.е. Кег 1А — Лс) ф О. Это значит, что оператор А — ЛЕ вырожден; с1ее (А — Лс) = О. (9) Если в каком-нибудь базисе (е;) пространства 1х леатрицей оператора А является А = (и, ), то матрипей оператора А — ЛЕ будет А — ЛЕ, так что условие (9) переписывается в виде аы — Л алг .. алп аэл иэз — Л ... аэп = О.
(9') е1ес (А — ЛЕ) = Ееп1 ап ... апп — Л Пусть х = хлел -1-... + хпеп собственный вектор оператора А с собственнылл значением Л. В матричной записи равенство (8) принимает вид (алл — Л)хл + ашхэ +... + а,пхп = О, амхл + (ахэ — Л)хэ +... + ахпхп = О,. аплхл + аптхэ +... + (апп — Л)хп = О. Полученная система линейных однородных уравнений с определителем (9'), равным нулю, имеет нетривиальные решения. Как леы знаем из 1ВЛ 1), линейное пространство всех решений этой системы совпадает с собственным подпространством е'л оператора А. Размерность е11ш 1'~ (или геометрическая кратность Л) равна п — г, где г -- ранг матрицы А — ЛЕ. Развернув определитель е1ей (1Š— А) = ( — 1)пе1е1 (А — 1Е) по формуле (3) из [ВА 1, гл. 3, 3 1): <1е1(1Š— А) = ~ е (бкпл1 — ал, 1)(еукпэ1 — ах„х) .
(д и»й — и „ пеЯ,. мы получим нормализованный многочлен Лиф = (1ет (1Š— А) = йп+ Лл1" +. + Ол-ле+;гм (10) ~ й. Инвприпнтньье надпространства и еобеьпвенньье векторы 79 степени и относительно независимой переменной 1 с коэффициентами Хь й Й.
Определение 4. Многочлен (10) называется характеристиьеским .иногочленом матрицы А. Уравнение ХА(ь) = 0 называется также характеристическим (иногда говорят о вековом уравнении матрицы .4). На самом деле можно говорить о характеристическом много мене (или уравнении) линейного оператора А, а не какой-то ассоциированной с ним матрицы А, поскольку наряду с теоремой 3 из з 2 имеет место несложная Т е ор е и а 3. Характеристические,многочлены подобных матриц совпадают.
Доказательство. Пусть А' = С 'АС. Тогда бее (1Š— А ) = ь1ей (1С 'ЕС вЂ” С 'АС) = (С '(1Š— А)С) = ь1е1 С ' де1(1Е— †.4) с1еСС = с1е1 (Ы вЂ” А). П Итак, полагаем ХАЮ = ХА(й). Определяя>шее равенство (10) показывает, что скаляр Л Е Я является собственным значением оператора А тогда и только тогда,когда ХА(Л) = О, т.е. Л вЂ” корень характеристического многочлена. Если многочлен ХА(Е) не имеет корней в Я, то у оператора А нет собственных векторов. Всякий линейный оператор, действующий на комплексном векпьорном проспьранстве, обладает собспьвет*ыии векторами.
О п р е д е л е н и е 5. Кратность Л как корня характеристического многочлена Х ~(ь) называется алгебраической крапьпостью собственного значения Л оператора А. Теорема 4. Геометрическая кратность собственного значения Л не превосходит его алгебраической крапгности. Доказательство. По определению геометрическая кратность есть размерность т пространства Из решений уравнения Ах = Лх. Очевидно, что 1'ь инвариантно относительно А, и если А' --. ограничение А на 1ьь, то де1 (ЕВ' — А') = (1 — Л), причем ХА(1) = (Š— Л)юдЯ, где д(1) . некоторый многочлен из Уь'ф.
Пусть Л вЂ”. корень кратности Л ) 0 многочлена д(1). В таком случае алгебраической кратностью Л будет т+ lь. П 4. Критерий диагонализируемости. Корни характеристического многочлена ХА(1) (говорят также: характеристические корни) составляют множество, несущее важную информацию о линейном операторе А. По понятным причинам, однако, не все характеристические корни равноправны. Определение 6. Множество всех собственньпс значений линейного оператора А называют спектром этого оператора и обозначают символом прес А (собственные значения считаются с их геометри- 80 Гл. 2. Лянейнвее операторы ческими кратностями). Аналогично говорят о спектре прес А матрицы А.
Точка спектра называется прошлой, осли ей отвечает геометрическая кратность 1. Если все точки спектра простые, то и спектр называется простым. В случае алгебраически залекнутого поля, например, й = С, характеристические корни совпадают с точками спектра, но в общем случае спектр может быть пуст, как, наприлеер, для оператора поворота на вещественной плоскости.
Лемма 1. Собственные векторы, прянадлезктцие к различным собственным значениям, линейно независимы. Сумма ~ леер,„л Г л прямая (вообиее заваря, ~ 'е'л не совппдает с е'). До к аз а,тельство. Пусть Лы..., Л„-- какие-то различные собственные значения, Ъ'л',...,1"л- .— соответствующие собственные подпространства. Выберем в каждом е'л' по одному собственному вектору еь Нужно доказать их линейную независимость. Для т = 1 утверждение верно. Рассуждая по индукции относительно т н предполагая существование нетривиальной линейной зависимости о~е~ + озез +...
+ о„ет = О, где, скажем, елл ф О, мы применим к обеим частям этого равенства оператор А. Так как Ае, = Л,е„то о1Л1е1 + озЛзез +... + ныл,„е = О. Умножал первое соотношение на Лп, и вычитая из него второе, при- ходим к линейной зависимости первых т — 1 векторов: о1(ла, — Л1)ее +...
+ о„а л(леа — Л„, л)е„а 1 — — О. По предположению индукции ое(лы — Л;,) = О, 1 = 1,..., т — 1. Но О,~О, Л„~Л„'< =Л О (Лы — Л)~О. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. По определению лнебой отличный от нуля вектор е, Е Гл' является собственным. Поэтому по доказанному е'л* П~ 1,'е'л = О. Это и значит, что сумма ~, Р и прямая. П О п р е д е л е н и е 7.
Линейный оператор А на п;мерном пространстве $' называется диазон лизируемым, если существует базис (ее), относительно которого матрица оператора принимает диагональный Вид л о ... о о лз ... о 0 0 ... Л„ Теорома 5. Линейный оператор А с простым спектром диаеонализируем. у' Х Инвариантныс подпространсгава и собстпвснные векторы 81 Доказательство.
Формулировка теоремы предполагает, что многочлен Ллф имеет в основном поле Я п = дйшИ различных корней Л1,..., Л„, которым отвечают собственные векторы е„1 = 1,...,п. По лемме 1 эти векторы линейно независимы. Значит, 1' = (е1,..., ен), и так как Ае, = Л,е„то А = дйа8 (Л1,..., Ль). П Простота спектра оператора является всего лишь достаточным условием его диагонализируемости. Например, идемпотентный оператор диагонализируем (см. (2)), хотя его спектр при п ) 2 не будет простым.
Внутреннюю причину этого факта отчасти объясняет Теорема 6. Пушнь А -- линею1ый оператор на консчномерном векторном пространстве 1с над полем А. Для диагонализируемости А необходимо и достаточно выполнения следуюи1их двух условий: 1) все корни характеристического многочлена Лл(1) лежат в Я; й) геометрическая кратность каждого собственного значения Л совпадает с его агебраической кратностью. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
