1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Полученное противоречие доказывает теорему. П Утверждение тооремы 4 будет использовано при фактическом построении ортогонального базиса, но его существование устанавливается немедленно. Теорема 5. Во всяком и-мерном евклидовом пространстве Ъ' существуют ортонормированные базисы. Доказательство. Квадратичная форма д; й(х) = (х ! х) = ЦхЦ, на 1с положительно определена. Поэтому для нее, как для всякой другой положительно определенной формы (см.
гл. 1, ~ 4, п. 8) существует базис (ел....., еи) пространства 1с, в котором она записывается в нормальном виде й(х) тл + тз + + л (х = тлел + ... + х„еи), Скалярным произведением векторов х и у будет (1). Но это и значит, что (е, ~ е.) = бм, т.е. (ел,..., е„) ортонормированный (а в данном случае даже лучпле ортонормальный) базис. 0 Заметим, что в ортонормированном базисе координаты вектора х равны скалярным произведениям х на соответствующие базисные векторы: (10) (х~е,) =ио Определение 5. Скалярное произведение (х ~ е), где е --- вектор длины 1, называется проекцией вектора х на прямую (е)и.
Таким образом, мы можем сказать, что координаты вектора х в ортонормированном базисе (ел,..., е„) совпадают с проекциями х на носи координат" (ел)и. Фактическое построение ортонормированного базиса осуществляется при помощи так называемого процесса ортозонализации Грома Шмидта, ветре шющегося в самых разных у' Е Евклидовьс векторныв пространства 1ОО вопросах анализа и геометрии.
Предварительно заметим, что множество всех векторов, ортогональных данному вектору ч, есть подпространство, называемое ортогональным дополнением к ч. Действительно, если х 1 ч, у 1. ч, т.е. (х ~ ч) = (у ~ ч) = О, то и (ох+ Ду ~ч) = сцх ~ч) + фу ~ч) = О гы,,З е й. Говорят также, что вектор ч ортогонален надпространству Гс с Ъ', если ч 1 и 'ч'и Е сс. Очевидно, что ч Л бс с::Ф ч 1 е,, 1 = 1,...,т, где ес,..., е,„- —.
базисные векторы в Гс. Наконец введем Определение 6. Множество всех векторов х е 1с, ортогональных подпространству Гс с 1с, есть подпространство Гс . (ввиду линейности условия х 1. П), которое называется ортогональным дополнением к Н. Теорема 6 (процесс ортогонализации).
Пусть ес,...,е„, сиспсема из т линейно независимых векторов евклидова векспорного пространслпва Ъ'. Тогда существует ортонормированная система ветпоров е',,..., еь, такал, что линейные оболочки Ьс = (ем...,е,) и Ь', = = (е',..., е',) совпадаютс, при 1 = 1,2,..., пс; сп < п. Доказательство. Возьмем в качестве е' вектор Лем где Л = = ()ес)( с. Так как Ес = (ес) = (е') = ь', то это дает утверждение теоремы при 1 = 1. Пусть уже построена нужная система е',..., е'; 1 < й < т (Е, = А';; с, = 1,..., Й). Покажем, как найти вектор е' Вектор еьес не моэкет содержаться в ь' = Еь (иначе еьлс выражался бы линейно через ем..., еь), поэтому Ьь.сс = (ем..., еь, ч), где ь о = еяес — ~гЛ;е, с=.с с произвольными скалярами Лс,..., Ль.
Постараемся подобрать Л; так, чтобы вектор ч был ортогонален к Е'„. Для этого, как мы знаем, необходимо и достаточно выполнения условий ,, я о=с ~,">=С „,~ ',~ — ~~ср,'1.,') = = (ея.сс ) е~) — ~ Лс(е', ) е ) = (еьсс ) е~) — Ль 1 = 1,..., Й. Таким образом, при Лэ = (еьес ! е') получаем вектор ч ф О., ортогональный к Ц. Полагая ея, = ссч с сс = ЙчЙ ', мы придем к ортонормированной системе ес,...,есь... причем пьес = Еь~,„ь .
В конце концов получим искомую систему е',..., е'„,. П 110 Гл. Я. Векторные пространства со скалярным произведением Следствие. Всякая ортонормированная система векторов евклидова векторного просепранства 1г дополняема до ортонормированного базиса в И. Доказательство. Согласно теореме 3 из Ц2 гл. 1, имеющуюся по условию ортонормированную систему еы..., е„можно дополнить до базиса еы ..,, е„„е„,лы..., ен. К этому базису применим процесс ортогонализации, описанный в теореме 6, не затрагивая при этом первые т векторов. П Воспользуемся приемом, близким к процессу ортогонализапии в предыдущей теореме, для доказательства следующего утверждения. Теорема 7.
Пусть В -- подаространство конечномерного евклидова векторного пространства 1; ьл — его ортогональное дополнение. '1огда 1'= Вс1уАз., В".з- = В. (11) Доказательство. Возьмем в В какой-нибудь ортонормированный базис (ес,..., ен,). Пусть лч Е И. Рассмотрим вектор н! ч = лч — ~ ~(яч(е,)е,. з=1 Так как (ч~е;) = (исае ) — 2 ~ (изчез)(е,~е ) = (лч~е ) — (через)- -(чч ~ ез) . 1 = О; з = 1,2,..., т, то вектор ч ортогонален подпространству В. Это значит, что и = п+ ч, где п = 2,'~'л(и ~ е,)е, б А и ч е 1,з-.
Итак, Ъ' = Х + А — '. Пусть х Е АСЬ~. Так как х б А, то (х ~ А~) = О. Но, в частности, 1,ь Э х, так что (х ~ х) = О, откуда получаем х = О. Следовательно, Г = А 61 Аь прямая сумма. Из разложения ъч = п + ч (п е Ь, ч е Тсс) имеем (яч ! п) = (п+ + ч / п) = (п / п) -~- (ч / п) = ЦпЦг и, аналоги зно, (ъч ! ч) = ЦчЦз . Если теперь лч Е ь~~, то (чч !~) = О и Цч/~а = О, откуда лч = п Е В. Стало быть, Ал." С В.
Так как, далее, 1,". = (Тсс)". — — надпространство, ортогональное к 1,з-, а (В ~ Вл) = О, то В С ь~-~. Следовательно, В =В.П 4. Изоморфизмы евклндовых векторных пространств. Мы видаяи, что выбор ортонормированного базиса в евклидовом векторном пространстве 1с дает возможность записать скалярное произведение (х ~ у) в стандартном виде (1).
Этот факт означает по существу, что по своим метрическим свойствам пространства И и К" неразличимы. Более точное утверждение выражает Теорема 8. Любые евклидовы векторные пространства 1; 1" одинаковой конечной размерности изоморфны.
Эпзо значат, чпю существует изоморфное отпобрансение 1: И вЂ” ~ Уо векторных пространств (см. определение в п. 3 из Ц 2 гл. 1), сохраняющее ска- У Е Евклидовм векторные пространства лярное произведение, т.е. (х ~ у) = ®х) ~ 1(у)) (12) скалярное произведение на Г). Д о к аз а т ел ь с т во.
Рассмотрим ортонормированный базис (ег,...,еп) в 1с и какой-то ортонормированный базис (е~),...,е'„в Г. Соответствие 1; Х = тГЕГ -Ь... + Я„Е„ЬЭ Х = и ~Е +... + алЕ„, очевидно, бисктивно. Как и в случае теоремы 5 из п. 3 3 2 гл. 1, непосредственно проверлется, что 1 — изоморфизм векторных пространств. Так как в К и в 1п скалярные произведения (х ~ у), (х' ~ у')' вычисляя~тон по одной и той же формуле (1) (в силу выбора базисов), то условие (12) изоморфизма евклидовых векторных пространств также выполнено. П Доказанная теорема позволяет перевести на язык элементарной геометрии любое утверждение, сформулированное в терминах действий с векторами из»' и скалярного произведения на»'.
Обратно; метрическая теорема, относлщаясл к объектам пространства 11з или В-, должна оставаться справедливой в любом евклидовом векторном пространстве 1' размерности < 3. Раз уж речь зашла об изоморфизмах, рассмотрим пространство 1"*, сопряженное (двойственное) к свклидову векторному пространству 1' в смысле ~ 3 из гл. 1. Очевидно, что отображение х ~-~ ~ч ~ х) при любом фиксированном векторе ч й 1г определяет линейную форму Ф =(ч~*):1'ь11, т.е.
(ч ~ *) е 1". Теорема 9. Отображение Ф; ч ьэ (ч ~ ь) = Ф» есть естественный иэоморфизм векторных пространств Г и 1''. При этом изоморгризме ортонормированный базис ед,...,е„евклидова векторного просп~ранстпва 1' огпождесгпвляегпся с дуальнэлм к нему базасом 1м..., )„пуостРанства» *. Доказательство. Так как скаллрное произведение (ч ~ х) линейно по ч,то отображение Ф линейно; Ф~„„тв ~ — — (оп + Зч ~ *) = о(п ~ ь) + Д(ч ~ ь) = оФ„+ ДФ», Далее, Кег Ф = О, поскольку ч Е Кег Ф =~ (ч ~ х) = О Чх Е '»' и, в частности, (ч ~ ч) = О ~ — > ч = О. Как всякий элемент пространства»'", линейная форма (ч ~ я) линейно выражается через двойственные к (е,) базисные векторы ег,...,еп е '»''. В частности, и Ф,, = (е, ~ ») = ~ абез, 1 = 1,..., и.
з=1 112 Гл. Я. Векторные пространства со скалярным произведением Так как (ем.,,, е„) .. ортонормированный базис, то а и й а, = ~~~ оойдгй = ~~а;йс'(ео) = (ес(ег) = бо, й=1 й=1 откуда (13) (е, )*) = с'. Это дает нам сюръективность, а следовательно, и биективность Ф. Вместе с тем соотношением (13) устанавливается справедливость заключительного у.тверждения теоремы. П Итак, в свклидовом векторном пространстве И каждый вектор и Е Г можно рассматривать также. как линейную форму и: И вЂ” й Ж. При таком отождествлении ортонормированный базис в И является своим собственным дуальным (взаимным) базисом. Естественным изоморфизмом (сравнить его с изоморфизмом И = Р** для обычного векторного пространства) мы воспользуемся при изучении линейных операторов.
Изоьюрфизм Ф можно считать метрическим в смысле теоремы (8), если определить на И* скалярное произведение по правилу ((и ~ э) ~ (и ~ *)):= (и ( и~). Все аксиомы скалярного произведения выполняются (проверьте). 5. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы. В евклидовом векторном пространстве 1' ортонормированные базисы играют особую роль, поэтому естественно посмотреть на формулы перехода от одного ортонормированного базиса (ем..., ен) к другому ортонормированному базису (е',,..., ен).
Как всегда, записав е' = ай ей + аг ег + ... + а„ е„, 1 < 1 < н, (14) мы получаем матрицу перехода .4 = (а,.), в й-ы столбце которой стоят координаты вектора е'„относительно базиса (ем, .,, ен), Пока мы лишь переписали формулы (3) из г 2 гл. 1 и на А имеем единственное ограничение бес А ф О. Воспользуемся теперь ортонормированностью базисов: Ьо — — (е; ! е ) = (~ай,ей ~ ~обе ~ ~= ~ ай аб(ей ! еР) = ~ аыайг й ! йо й Итак, О при 7 с=г, апаю + сггйагг +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
