1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Остановимся на этом более подробно. Рассмотрим отображение (л:Гхà — >й ф=йилий=С), определенное по правилу (л(х, у):= (Ах ~ у). Из свойств скалярного произведения непосредственно вытекает, что О-линейная форма на Г, т.е. билинейная форма в вещественном случае и полуторалинейная —. в комплексном. Аналогичную проверку мы не раз проводили. Соответствие А > (л, задающее отображение Е(Г) — > Си(Ъ',.й), инъективно. Действительно, если (Ах~ у) = (л(х,у) = (Вх~ у), то ((А — В)х~у) = (Ах — Вх~у) = (Ах~у) — (Вх~у) = 0 Чу Е Г, откуда (А — В)х = 0 Чх е Г, или А = В.
Отсюда, а также из равенства бэпэ Е(Г) = сйпг Ее(Г, Я) вытекает биективность нашего отображения. Это, впрочем, можно усмотреть и из явной конструкпии по заданной 0-линейной форме ('(х, у) линейного оператора Ау, для которого 1(х, у) = (Аух ~ у). (2) у О. Операторы на пространствах со скалярным произведением 127 Вот как это нужно делать. Пусть (еы,.,,е„) .
ортонормированный базис в К, а Р матрица 0-линейной формы 1(х,у) в этом базисе. Кзк всегда, обозначим через Х = (хы.,., х„) столбец координат вектора х = 2 ', х,е;. Ввиду ортонормированности базиса скалЯРное пРоизведение вектоРа х и вектоРа У = 2 У,ев записываетсЯ в виде произведения строки лХ и столбца У; (х ~ у) = 'Х У. Возьмем в качестве Ал линейный оператор с матрицсй 'Р. Ему соответствует линейное преобразование Х л-л 'РХ столбцов координат в базисе (ел).
Определяющее соотношение (2) теперь является просто интерпретацией введенных обозначений: 1(х,у) = 'ХРУ = (~РХ)К = (Асх~у). Но мы могли бы взять некий линейный оператор А' с матрипей Р. Тогда У(х, у) = 'Х(РК) = (х ~ А~у). Если положить Л = лУ'", .4' = 'Л = Р, то Л будет матрицей нашего оператора Ал, а Л" = лЛ --. матрицей оператора А~. Все сказанное позволяет утверждать, что справедлива Теорема 1. Пусть К векторное просплрапсхпво со скалярным произведением (* ~ *). Тогда любая из формул (л(х,у) = (Ах ~у), ~л(х,у) = (х ~ А'у) (3) устанавливает биективное соотвелпствие между 0-линейными формами и линейными операторами на Г.
Взятые вместе формулы (3) однозначно определлют линейный оператор А*: К вЂ” ~ 1; сопряженный к А. В орлпонормированном базисе матрица оператора А* получается из мптрицы оперохпора А путем транспонпрования и комплексного сопряжения ( в случае Й = С) .
Определение (Ах ~ у) = (х ~ А*у) при Й = Н полностью согласуется с определением сопряженного оператора в и. 6 из 3 3 гл. 2, поскольку каждая линейная функция на 1' имеет вид у ь-л (х ~ у) при некотором фиксированном х. Вспомним в этои связи выражение е' = (е, ~ *) для векторов дуального базиса (см. (13) из ~ 1). Стоит отметить, что в векторном пространстве, не снабженном евклидовой или эрмитовой структурой, сопоставление 0-линейной форме 1" с матрицей Р в некотором базисе линейного оператора с матрицей Л = 'Р носило бы случайный характер. Действительно, при переходе к новому базису при помощи матрицы перехода В матрицей 0-линсйной формы становится Р' = 'ВРВ, так что Л' 'Р' = В''РВ. Но в то же время по теореме 3 из 3 2 гл.
2 мы 128 Гл. Я. Векторные пространства ео скалярным произведением должны иметь А' = В '.4В = В мЕ'В. 51ежду двумя выражениями для А' нет ничего общего. Однако в случае эрмитова (евклидова) пространства матрипа В должна сохранять ортонормированность базисов, что влечет ее унитарность (соответственно ортогональность). Для унитарной матрицы В* = В ',так что имеется полная согласованность.
Перепишем еще раз известные свойства отображения А ~-о А*; А+ В* = А*+ В', (оА)* = ВА*, .(АВ)' = В"А*, А** = А. (5) 11ебольшое отличие от формул (15) из З 3 гл. 2 наличие знака комплексного сопряжения над о, обусловленное полутораяинейностью формы (*~ *) и типом соответствия Ф„: 1 е-> е» ~*) (см. п.4из ~ 1). 2. Типы линейных операторов. Все линейные операторы, действующие на векторном пространстве К со скалярным произведением (* ~ *), разбиваются на классы в зависимости от их поведения по отношению к операпии *, введенной в п. 1. Выделим наиболее важные классы.
Определение 1. Линейный оператор А называется эрмитовым (или самосопрянеенным), если А' = А. В случае евклидова пространства (Й = К) оператор А = А* называют еще симметричным. Самосопряженность оператора А эквивалентна усювию эрмитовости О-линейной формы (Ах ~ у), как это вытекает из теоремы 1. Действительно, условие самосопряженности записывается в виде (Ах~у) = (х~Ау), а условие эрмитовости формы 1д в виде (Ах ~ у) = ~д(х, у) = ~д(у, х) = (Лу ~ х). Так как (а ~ е) эрмитова форма, то (Ау ~ х) = (х ~ Ау). Это и устанавливает эквивалентность упомянутых условий. В матричной форме, если использовать ортонормированный базис пространства 1~, условие самосопряженности (эрмитовости) оператора А выражается равенством 'А — .4 = О. Раньше именно такие матрицы мы называли эрмитовыми, а в вещественном случае симметричными.
Каждая вещественная матрица А является суммой симметричной и кососимметричной (см. гл. 1, з 4, п. 4). Чтобы иметь аналог этого свойства в комплексном случае, введем Определение 2. Линейный оператор А называется косоэрмитовым (или кососиммыпричным при Й = К), если А* = — А. Так как А*' = А для лк>бого А Е ь(К), то оператор А+ А* зрмитов, а А — А* косоэрмитов. Аналогично, эрмитовость А эквивалентна косоэрмитовости оператора 1 Л. Поэтому.
справедлива уг 8. Операторы на пространствах со скалярным произведением 129 Теорема 2. Каждый линейный оператор Я на эрлситовом пространства записывается в виде. Я=А+В, где А зрмитов, а В косоэржитов оператор. Кроме того, Я = Х+1У, где Х и 32 —. эржитовы линейные операторы. Доказательство. Положить А = (Я+ Я')/2, В = (Я вЂ” Я*)/2, Х = А, 31 = — 1В. Далее — непосредственная проверка при помощи формул 15). П Запись 16), очевидно, яаняется прямым обобщением записи комплексного числа г в виде г = х + 1у, т.е.
эрмитовы операторы далекие аналоги вещественных чисел. В свонз очередь косоэрмитов оператор прямой "потомок" чисто мнимого числа я = 1у, для которого у = -г. Но если произведение двух вещественных чисел всегда есть вещественное число, то произведение двух эрмитовых операторов не обязательно эрмитово. Имеет место Теорема 3. Произведение АВ зрмитовых операторов является эрлситовым тогда и только тогда, когда АВ = ВА. Доказательство. Используя снова формулы (5), получаем АВ = ВА е=> (АН)* = (ВА)* = А*В* = АВ.
П Многочисленные приложения в физике и математике вызывают потребность в рассмотрении л1ножества всех эрлситовых или косоэрмитовых операторов как алгебр в слсысле определения 1 из 2 2 гл. 2. Пример 1. Как видно из георемы 6, зрмитовы магрипы нли операторы, вообще говорл,не замкнуты относительно ассоциативного произведвнил. В попытке найти алгвбраическив рамки для квантовой механики физик П. Йордан нвбл в 1930-х годах алгебры над И, носящие теперь вго имя.
В основу положено йорданово произведение А о Б = — 1АБ й БА), 1 2 удовлетворяющее закону коммутативности (очевидно) и тождеству Йордана (Аз о Б) о А = А о (Б о А) (проввритьО. К настоящему времени развита содержательная теория йордановых алгебр.не обязательно конечномерных. П р и ив р 2. Косозрмитовы операторы образуют над и алгебру Ли (сьь пример 6 из 6 2 гл. 2) огноситольно обычной операции коммутирования. Именно, если А и Б косозрмитовы операторы, то косозрмитовым будет также их коммутатор 1А,Б) = АБ — БА. Предположим, что 1Ах~ у) = О ьсх,у Е 1'. Тогда, в частности, (Ах ~ Ах) = О, аэто может быть только при Ах = О Чх Е И, т.е.
А = = О. Этот критерий тривиальности А можно существенно усилить. Теорема 4. Пусть (Ах ~х) = О чх Е 1г, и пусть выполнено одно из двуз: условий: 1) 1' эржитово пространство: 9 Л.И.Кострикин 130 Гл. Я. Векторные пространства со скалярным произведением 2) 1с "" евклидова пространство и А ". симметричный оператор. Тогда А = О.
Доказательство. 1) Из двух легко проверяемых поляризационных тождеств (Ах/у) + (Ау!х) = (А(х+у) !к+ у) — (Ах!х) — (Ау/у), (7) (Ах ) у) — (Ау ! х) = — 1 (А(1х + у) (1х -~- у) + 1(А(1х) (1х) + с(Ау ) у), (8) правые части которых по предположению равны нулю, мы приходим к системе двух линейных однородных уравнений (Ах~у) +(Ау~к) = О, (Ах)у) — (Ау~х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
