1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Отсюда сяедует, что (Ах ( у) = О Чх, у е 1г, а это, как мы уже знаем, эквивалентно равенству А = О. 2) Поляризапионное тождество (7), выполняющееся в любом случае, и условие симметричности (Ау(х) = (у ~А'х) = (у ~Ах) = (Ах~у) дают в итоге то же самое тождество (Ах~у) = О Чх,у е 1г, из которого следует,что А = О. сг Замечание 1. Симметричность оператора А в усювии 2) теоремы 4 существенна. Например, для кососимметричного оператора на евклидовом пространстве И выполняется тождество (Ах ~ х) = О Чх Е Ъ', но А не обязательно нулевой оператор. О п р е д е л е н и е 3. Линейный оператор А на векторном пространстве со скалярным произведением называется унитарным (в евклидовом случае . ортогональным), если А* А = Е = А А*. При п = 1 имеем е е = 1, т.е.
унитарные операторы аналогичны комплексным числам, по модулю равным единице. В матричной форме (по отношению к ортонормированному базису) увшвие унитарности выражается равенством (7) из 3 2. Именно такие матрицы мы и называли унитарными (в вещественном случае ортогональными). Они возникли естественным образом как матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Этому факту отвечает более содержательная геометрическая интерпретация унитарных операторов. Определение 4.
Линейный оператор А: И вЂ” > 1с, сохраняющий расстояние (метрику), т.е, такой, что ((Ах — Ау(! = ))х — у(! Чх, у ~ Р', называется изомепсривй. Так как Ах — Ау = А(х — у), то, очевидно, А изометрия на Ъ' у у. Опервхпоры на пространствах со скалярнь>м произведением 131 в точности тогда, когда ))Ах(! = ()х)( для всех х е 1:". Далее, !/Ах/) = !!хО с=~. (Ах/Ах) = (х ! х) е=ь с-.=-.-.; (А*Ах!х) = (х/х) е=ь ((А*А — Е)х/х) = О (9) для любого вектора х Е Г. Оператор А*А — Е самосопряжен, поэтому согласно теореме 4 как в эрмитовом, так и в евклидовом случае из (9) вытекает тождество А*А — Е = О, т.е.
изометричный оператор А должен быть унитарным. С другой стороны, всякий унитарный оператор изометричен; (Ах ~ Ах) = (х ~ А*Ах) = (х ~ Ех) = (х ~ х). Следовательно, верна Теорема 5. Уни>парне>е линейнь>е операторы на векторном пространен>ве Г с меп>рико>1, и только онп, являю>пся нзометрпями на Г. Унитарные, а стало быть, и изометричные операторы на 1х образуют группу --- унитарную О(п) при Я = С и орн>огональную 0(п) при Я = И. На языке матриц мы с этим фактом уже знакомы (теорема 2 из ~ 2). Положение здесь такое же, как с группой СхЦп, Я): можно говорить о группе матриц, а можно говорить о группе Лпь(Г) автоморфизмов пространства Г. Изоь>етрии это автоморфизмы, сохраняющие метрику.
3. Канонический вид эрмитовых операторов. Существование собственного базиса для любого эрмитова оператора, на первый взгляд, не очевидное свойство. В самом деле, матрицы А, А' данного симметричного оператора А: à — ь Г' (при >х = Щ в разных ортонормированных базисах (е;), (е',) связаны соотношением 4' = В >АВ, где В ортогональная матрица.
Мы знаем, что симметричнук> вещественную матрицу можно привести к диагональному виду., но за счет произвольного выбора невырожденной матрицы В. Как оказывается, свойствол> самосопряженности А можно распорядиться более "экономно" . Лемма 1. Собственные значения зрмитова оператора вещественны. Доказательство.
В самом деме, пусть А: à — > Г эрмитов оператор, Л вЂ” его собственное значение, отвечающее собственному вектору е Е Г. По определению Л(е!е) = (Ле/е) = (Ае/е) = (е!А*е) = (е/Ае) = (е!Ле) = Л(е/е). Так как (е ! е) ф О, то Л = Л. П В случае симметричного (т.е, вещественного самосопряженного) оператора утверждение леммы 1 пусто, ибо всякое его собственное значение по определению принадлежит Ь. Напротив, следующая лемма очевидна в комплексном случае. 132 Гл. 3.
Векторные пространства ео скалярным произведением Лемма 2. У каждого симметричного линейного оператора А сущеспнует собственный вектор. Доказательство. Как и всякий вещественный оператор, А обладает одномерным или двумерным собственным подпространством (теорема 7 из ~ 3 гл. 2). Существование одномерного инвариантного подпространства совпадает с утверждением леммы. Рассмотрим случай, когда Ь --- двумерное инвариантное подпространство.
Оператор А индуцирует на Т, симметричный линейный оператор Ащ поскольку условие симметричности (Ах ~ у) = (х ~ Ау), будучи ограниченным на х,у Е Л, продолжает оставаться справедливым: Ах Е А, Ау Е Д. Выберем в Т ортонормированный базис (ес,ея). Матрицей оператора Ап в этом базисе будет симметричная 2 х 2-матрица с характеристическим многочленом К(1) =,' = 1г — (а+ д)1+ (од — бь). Дискриминант этого многочлена 1Э.„= (а -е д)я — 4(ай — о ) = (а — д)~ + 4ог ) О, так что Л(1) имеет вещественный корень Л, а оператор А собственный вектор с собственным значением Л.
П Дальнейшие рассуждения ведутся одновременно для Я = С и Я = 14. Лемма 3. Пусть А - самосопряженный линейный оператор на ветпорном проспсранстве 1' со скалярным произведением (ч ~ *), -. надпространство, инвариантное относительно А. Тогда ортсогональное дополнение 1,~ к Т, тикже инвариантно относительно А. Доказательство. В самом деле, если х Е В, у Е Ь~, то Ах Е Т, и (Ах ~ у) = О. Условие самосопряженности А дает также соотношение (х ~ Ау) = О.
Стало быть, вектор Ау ортогонален любому вектору хЕ Ь,т.е. АЬ~ СВ~. П Теперь мы готовы доказать основную теорему. Теорема 6. Суисествует ортонормированный базис пространства ус со ока ярным произведением, в котором митрича еамосопряженного оператора А диагональна, причем Ярос(А) веиСественньсй. Доказательство. По леммам 1 и 2 у линейного оператора А имеется собственный вектор ес с собственныы значением Лс Е В. Без ограничения общности считаем (~ес(~ = 1. Ортогональное дополнение Ъ' к одномерному надпространству (ес) имеет размерность у 3.
Операторы на пространствах со скалярнв~м произведением 133 61щ 1х — 1 и по лемме 3 инвариантно относительно А. Рассматривая ограничение А на Г' и повторяя все рассу.ждения, находим собственный вектор ев, Аеэ — — Лэеэ,[[от[[ = 1, Лэ Е 2. Линейная оболочка (еы ех) инвариантна относительно А, поэтому инвариантно ортогональное к нему дополнение размерности с11щ à — 2 и т.д. Рассуждая по индукции относительно 61ш Г или просто повторяя нужное число раз описанную процедуру, мы найдем требуемые и = 61ш Г взаимно ортогональных нормированных векторов еы..., еп.
П Замечание 2. Характеристическое уравнение произвольной симметричной матрицы А Е М„(Щ имеет по доказанному только вещественные корни. К изучению их взаимного расположения применимы, следовательно, теоремы Декарта, Бюдана Фурье, Штурма из [ВА 1). Геометрическая и алгебраическая кратности каждого корня Л уравнения гл(в) = О совпадают, как это прямо вытекает из теоремы 6 и теоремы 6 из ч 3 гл. 2. Замечание 3. Согласно теореме 6 для каждого самосопряженного оператора А: Г -~ Г имеется и = Йцп Г попарно ортогональных собственных направлений.
Действие оператора А сводится к растяжению пространства по й-му направлению в [Лл[ раз, где Ль соответствуюшее собственное значение, и, возможно, при Ль ( О к отражению относительно плоскости, ортогональной к к-му направлению. 4. Приведение квадратичной формы к главным осям. Мы знаем (см. п. 1), что всякой эрмитовой форме 7"(х,у) на векторном пространстве Г со скалярным произведением (в [в) соответствует линейный самосопряженный оператор А = А7, определяемый условием 7'(х,у) = (Ах[у).
По теореме 6 существует ортонормированный базис (еы...,е ) пространства Г, состоящий из собственных векторов оператора А: Ае, = Л,,е,. Если записать векторы х, у в этой координатной системе: х = х1е1-~-... + хпе„, у = у1е1+... + у„е„, то получим ((х,у) = ~ ~((еее )х,у = ~~ Л,х,у„ пЭ ~=1 поскольку 7(ео е ) = (Ае; [ев) = (Л, [ев) = (Ле, [е.) = Лд, . Полагая х = у, мы приходим к следующему утверждению. Т соре ма 7 (приведение к главным осям).
Для всякой квадратичной эрмитовой формы д(х) на тымерном векторном пространстве со скалярным произведением существует такой ортонор- 134 Гл. Я. Векторные пространство со скалярным произведением мированный базис., в котором о(х) принимает вид и о(х) = ~~~ Л; )х,/з. (О) П ример 3. При Я = Ж н п=з квадратичная форма Е определяет центральное коническое сечение, состоящее из тех векторов х, для которых д(х) = !. используя ортонормированный базис (ем ее), в котором е(х) принимает вид (9), имеем Лзззз т Лззз = !.
Векторы еы ез определяют направления главных осей эллипса (ЛзЛз > О) или гиперболы (Л!Лз < О), а через Лз, Лг выражаются данны полуосей. Теоремы 6 и 7 на матричном языке звучат одинаково. Для любой эрмипи!вой (или вешеспзвенной си мезпричной) матрицы А сушествуегн унитарная (соответственно ортогональная) матрица В такал, ппо матрица В !АВ диагональна. По диагонали стоят собственные значения матприцы А, каждое со своей кратностью. Практические рекомендации. Матричная интерпретация геометрических фактов подсказывает возможный порядок действий для приведения квадратичной формы и ц(х) = ~ ~а„.х;х, (ограничимся вещественным случаем) к каноническому виду.
Именно, примем хз,..., х„за координаты вектора х в евклидовом пространстве 1' со скалярным произведением а (х~у) = ~~~ х;уь так что е! = (1, О,..., О), ..., е„= (О,..., О, 1) — ортонормированный базис в 1г. Вычислим характеристический многочлен Лл(!) = = с1ес(!Š— А) с А = (а,.) и найдем его корни (наиболее трудная часть процесса). Длн каждого корня Л! решим линейную однородную систему уравнений (ам — Л,)х! + аззхг +... + аз„х„= О, ашх! + (азз — Л )ха +... + аз,х, = О, а„зх! + аояха +... + (аоо — Лз)хп = О. Пространство решений этой системы имеет размерность, равную алгебраической кратности корня Л, (следствие симметричности матрипы А). Применяя к фундаментатьной системе решений процесс ортогонализации Грама Шмидта, а затем объединяя системы, ут У.
Операторы на пространствах со скалярным произведением 135 соответствующие различным Ло получим ортонормированный базис пространства 1' е' =ЬОе, +Ьэ ее-Ь...+Ь)ето 1() (ть В этом месте мы опираемся по существу на известное свойство симметричного (более общо: самосопряженного) оператора А с матрицей А = 1ат ) в ортонормированном базисе 1ет,...,е„): собственные векторы п, ч, отвечающие различнылт собственным значениям Л, р, ортогональны друг другу.
В самом деле, (Ап ~ ъ) = 1п ~ Аъ) ~ ==ь 1Лп/ч) = (п! рч) .==ь (Л вЂ” )т)(п!тт) ==ь (п/ ъ) = О (вещественность Л, р существенна). Матрица 1Ь, ), связывающая две ортонормированные системы, будет ортогональной 1у нас й = К), поэтому новые координаты х',...., х'„вектора х, для которых ь д(х) = ~ Лт(хт')з, т=1 выражаются через старые координаты по формулам, выписанным в конце е 1. 5. Приведение пары квадратичных форм к каноническому виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
