1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Другими словами,. (7) где А':= 'А -- матрица, эрмитово сопряженная с А (напомним, что А = (ам)). Определение 4. Матрица А, удовлетворяющая условию (7), называется унитирной. Понятно, что в вещественном случае унитарная матрица является ортогональной. Далее, с1е1 А = с1е1 А, поэтому с1е1 А* = с1есА и, принимая во внимание (7), получаем, что ~ с)е1 А) = 1, т.е. бес А = е'" для любой унитарной матрицы .4. В частности, унитарные матрицы невырожденны.
Из определения А* непосредственно вытекает., что (8) (.4. В)* = В' . А*. Поэтому в случае унитарных матриц А, В мы приходим к заключению об унитарности их произведения: (АВ)(АВ)* = А(ВВ*)А* = АЕА* = АА' = Е. Далее, А 1А = Е = .4 А ь ==~ А*(А 1)* = = Е = (А ') "А* .=ь А '(А ')* = Е = (А ')*.4 ', т.е.
вместе с .4 унитарной является и матрица А с. Разумеется, те же соображения относятся и к ортогональным матрицам. Принимая во внимание общее определение группы, мы видим, что имеет место Теорема 2. Справедливы следующие утверждения: 1) все унитарные митрицы порядка и являются элемента и (унитарной) группы Г(п); й) унитарная группа Г(п) содержит в качестве подгруппы (ортогональную) группу 0(п), состоящую из веиьественных ортогональных матриц порядка иц ш) орпьогональньье (соответственно унщпарные) матрицы с определителем 1 составляют специальную орпюгональную группу ЯО(п) (соответственно специальную унитарную группу Бо'(и)). Таким образом, ЯО(п) = О(п) О БЦп) С ЯГ(п) = Г(п) О ЯЕ(С).
у 2. Эрмпгпоеьь еснпьорньге просгпрансгпеп Вообще говоря, можно было бы без особого труда определить ортогонапьную группу 01п,лс) над произвольным полем Я, равно как и унитарную группу ьь1гь, ль) над полем Я, допускающем аналог комплексного сопряжения о ьь о. 5.
Нормированные векторные пространства. Неравенство (10) из д 1 (длина стороны треугольника не превышает суммы длин двух друтих его сторон) и его унитарный аналог (5) позволяют счи- тать векторные пространства со скалярным произведением метри- ческими пространствами в смысле следующего общего определения. Определение 5.
Пусть Š—. множество точек и д: Е х Š— ь — ь К отображение, сопоставляюшое любым двум точкам и, п Н Е неотрицательное вещественное число г11и, о) (расстояние между и и п) и обладающее следующими свойствами: 1) д1и,с) = д1п,и) )симметрия); й) д(и, п) = 0 д=ь и = п, ш) д1и, го) < И(и, о) + д(п, и~) (неравенство треугольника). Функция д с такими свойствами называется метрикой, а пара (Е, д) метрическим простпрансгпоом. И ример 3.
Н векториом пространстве Р со скалярным произведением и тем самым с определенной нормой ~х ~ за расстояние ьгежду векторами х, у при- нимается д1х, у):= ~х — у~ . так, например, для Ь =. Сз1о, Ь) метрикой служит гь аУ,д) = 1 ,'ПЬ) — д1Ь)~здЬ. Но условиям О-ш) определения б удовлетворяют также функции дпЦОд) = - ~Пь)-д1ь), д-Ц,д) = / ~Пь)-д«иль, <ь<ь в чем нетрудно убедиться непосредс"геенной проверкой. Наличие метрики сразу же приводит к простейпгим понятиям из топологии и анализа, включая понятие предельного перехода. Подмножества В(ао, г ) = 1х Н Е ) д(ао, х) < г), В1ао,г') = 1х б Е!Й1ао,х) < г), Я(ао, т) = 1х н Е ) сь(ао, х) = г) метрического пространства (Е, д) называются соответственно открьппым шаром, замкнутым сааром, сферой с центром в точке ао и радиусом г.
Подмножество Е С Е ограниченное, если оно содержится в некотором шаре радиуса г < со. Последовательность точек сг,ея,...,е„... в (Е,с)) сходится к точке е Н Е, если )пп„, а(е„,е) = О. Последовательнос:ть называется фундамент тьгной или последоеа пельноспьью Коггги, если для 124 Гл. Я. Векторные иространстоа со скалярным ироизеедением всякого е > О существует 11' = Х(е) такое, что с1(е„,е ) < е при т, п > Х. Метрическое пространство Е называется полным, если любая последовательность Коши в нем сходится. Из полноты В и С, доказываемой в анализе, следует, что пространства Б'.и и С" с любой из метрик ецх,у) = (~ ~х, — у;( ) е=1 П Й1(х,у) = 1пах(~и; — у,(), с1з(х,у) = ~ ~и, — у,~ полны (проверить, что д1 и да метрики; для д это следует из примера 2).
Итак, пусть 1' вещественное или комплексное векторное пространство с метрикой д. Особо важным является случай, когда с1 удовлетворяет двум дополнительным условиям: а) ецх у) = а(х+ в у+ я) для любых х у, я Е й' (инвариантность относительно сдвига): б) е1(Лх, Лу) = (Л( д(х, у) (умножение на скаляр Л увеличивает расстояние в ) Л) раз) . Определение 6. Назовем нормой векторах Е И относительно метрики д с условиями а), б) и будем обозначать через ~~хЙ число е1(х, 0).
В пространстве со скалярным произведением (* ~ л) метрика д вводилась нами специальным образом (пример 3), так что старое и новое определения нормы вектора х согласованы. Поэтому используется прежнее обозначение (~хЙ. Возвращаясь к общему случило,. мы должны убедиться, что выполнены следующие свойства нормы: )(0)( = О; ()х)( > О, если х ф 0; ()Лх)( = )Л! )(х(! для всех Л Е С, х Е 11; !)х+ у)! < ()х(! + )(у)( для всех х, у б Е.
Первые два свойства непосредственно вытекают из аксиом метрики и условий а), б); третье проверяется так: )~х+у~~ = д(х+у, 0) = = д(х, — у) < а(х, 0) + с1(0, — у) = )/х(! + )/у)/. О п р е д ел е н и е 7. Векторное пространство И, снабженное функцией нормы ~~ * ~~: И вЂ” > В, удовлетворяющей персчислонным трем условиям, называетсл нормированным.
Полное нормированное векторное пространство называется банааооым. Пространства К" и С" с любыми нормами, отвечающими рассмотренным выше метрикам, банаховы. Заметим еще, что по норме восстанавливается метрика; положив д(х, у):= (~х — у)~, легко проверить аксиомы метрики. Для нее с1(х, 0) = ((хб. у 2. Эрмитоеы воктортяе пространсгпва 125 Понятие сходимости последовательности в метрическом пространстве, данное нами выше, специализируется на случай нормированных векторных пространств и называется стодимостью по норме. Справедлива несложная Т е ор е м а 3.
Пусть à — векторное пространство размерности и над )а или С со ока рным произведением. Тогда эквивалентны следуюи!ие два понятия сходимости последовательности векторов хь й Ъ; а = 1,2,..., к вектору х й И: Ц 'йхь — х)! — ь О при и — у со; й) (хе — х(у) — ь О при )с -+ со для каждого фиксированного уб1'. Доказательство. !) ==уй), поскольку в силу неравенства (4) имеем )(хй — х ( у) ( ( 'йхя — х(! . 'йу(! -+ О. й) ==~1). Чтобы увидеть это, возьмем в 1г ортонормнрованный базис (еы...еп). Если верно й), то (хь — х~е!) — > О для каждого 1 = 1, 2,..., и. Поэтому, используя равенство и, 'йхь — х'й = ~((хь — х(ее) ( е=! (теорелса 1, ш)), приходим к выводу, что и йхь — хй — ! О. П Линейная структура позволяет определить понятие сходимости ряда, более сильное, чем сходимость по норме его частичных сумм.
Именно, ряд 2, ! х, называется абсолютно сходяи!имея, есчи сходится ряд 2т, ! ~~х,~~ УПРАЖНВНИЯ 1. СО1п) = !А Е ЛХь(С) сА А =. Н) — опРеделевие комплексной оРгогональной группы. Понятно, что Осп) С СО1п) и ЯОсп) С БСО)п) (подгруппы в О(п) и СО(п) элементов с определителем Ц. Можно ли по аналогии с теоремой 2 говорить о включениях СО)п) С счп) и ЯСО(п) С 1цп)? 2. Показать, что метрики и! и 4 из п. б не индуцируются каким-.либо скаллрным произведением на И" (аналогично на С" ). 3.
Используя функпиональные средства, проверитгч что формулой )х )р — (2 )т,(г) для любого р > ! на пространстве Нч задается норма !так называемая ?е-норма). Проверить, что т Нг 1« Тогда формально можно считать Л!(х,у) = йх — у ~ (очевидно, что Лз(х,у) = = 1~к — уй 4х у) = ~х — Ыз). 126 Гя. 3. Векторные пространство со скалярным произведением На векторном просгранстве С(О, Ц непрерывных функций г': ,'О, Ц вЂ” г Е существуют аналоги указанных норм: ~д = тах ~1(с)~, Од, = / 11(с)~дь полее общо: ~ В(р —— (~ /Дс)/гж) " (это упражнение носит необязательный характер). 3 3.
Линейные операторы на пространствах со скалярным произведением 1. Связь между линейными операторами и 0-лннейными формами. Под 0-линейной формой на векторном пространстве Г понимается билинейная форма (О = 2), когда Г вещественное векторное пространство, и полуторапинейная форма (О = Згг2), когда комплексное векторное пространство. Будем считать теперь Г евклидовым (соответственно эрмитовым) пространством над К (соответственно над С) со скалярным произведением (* ~ а). Пусть, далее, А произвольный линейный оператор на Г. В п. 6 из О 3 гл. 2 было введено понятие линейного оператора А*, сопряженного к А и действующего на Г'. В случае пространства со скалярным произведением имеется далекая аналогия между линейными операторами и О-линейными формами, что отражает наличие (по крайней мере в вещественном случае) естественного изоморфизма между Г и Г* и что найдет отражение в действии А" непосредственно на Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
