1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пример форм дух) = ~хт~э — ~хз~з, г(х) = ~хт~ ~хт~ показывает, что не всегда можно в векторном пространстве выбрать такой базис, чтобы две квадратичные формы одновременно приняли канонический вид. Тем не менее в одном практически важном случае существование указанного базиса гарантировано. Теорема 8. Пусть на векторном пространстве 1' размерности и над тт = К илп, й = С заденет две зрмиттщвы кват)ратплгчные формы 1т.е. квадратичные формы с вещественными значениями) д(х) и т (х), причем форма г(х) положительно определена. Тогда в Ъ' существует б зис, в котором обе формы записьтваютпся в каноническом виде.
Доказательство. Пусть д(х,у) эрмитова О-линейная форма, отвечающая квадратичной форме г(х). Определим на т' скалярное произведение, полагая 1х ~ у):= д(х,у). Положительная определенность формы г(х) позволяет это сделать. Согласно теореме 7 в 1т с указанной эрмитовой метрикой найдется ортонормированный базис 1ет,...,еп), в котором фх) принимает канонический вид 19). В свою очередь в том же базисе скалярный квадрат вычисляется по формуле и 1х ~ х) = д(х,х) = г(х) = ~ ~х,~ . 136 Гл. Я. Векторные пространства со скалярным произведением Итак, в базисе (е;) обе квадратичные формы приняли канонический вид. П 6.
Канонический вид изометрий. Согласно теореме 5 изометрии на 1' -- это в точности унитарные операторы (ортогональные операторы в случае Я = Й). Мы рассмотрим по отдельности комплексный и вещественный случаи, но вначале докажем некоторые общие факты. Лен м а 4. Собственные значения унитарного 1ортогонального) оператора по модулю равны 1 (соответственно равны х1). Доказательство. Пусть А; 1' — ь Г --. унитарный (в частности, ортогональный) оператор и е Е 1' собственный вектор с собственным значением Л. Тогда (Ае !Ае) = (Ле/Ле) = ЛЛ.
С другой стороны, (Ае!Ае) = (А* Ае!е) = (се!е) = (е!е). Поэтому ЛЛ = 1, т.е. !Л/ = 1. Понятно, что в вещественном случае (ортогональных операторов) имеются лишь две возможности Л = х1. П Лемма 5. Пусть Г С» инвариантное подпросгпранство унитарного (ортогонального) оператора А: 1г — ь 1с, Тогда ортогональное дополнение Г.с к Г в Г также инвариантно относительно А. Доказательство. По определению Г = '1» ~ 1'~ (и(») = 0»п ~ Г).
Ограничение Аг оператора А на Г является, очевидно, унитарным оператором (изометрией на Г). Так как с1е1Ац Р'= О, то вектор и можно записать в виде и = Ап' с и' Е И. Имеем (и~ А») = (Ап' ~А») = (и' ~») = О. Другими словами, А» Е Гх вместе с» Е П ь. П А) Унитарные операторы. В терминах матриц мы хотим доказать следукяпее: для каждой унитарной матрицы А суиьествует такая унитарная матрица В, что С = В ~ 4В = с11ая)Лы..., Л„) --- диагональная матрица с (Л,! = 1. На самом деле удобнее действовать, опираясь на геолсетрический смысл унитарных операторов. Теорема 9. Каждый унитарный оператор )й = С) диагонализируем. Другими словами. для каждого унитарного оператора А: '»' -ь 1г, с1ппр = и, найдется ортонормированный базис, в котором матрицей оператора будет (10) А=с11ая(Лы...,Лв), 1Л,,~ =1. 4 8.
Операторы яа ароетраяетоах ео екаллриеаа ароизееденаея 137 Доказательство. Возьмем любой нормированный собственный вектор е1 оператора А. Он существует, поскольку основное поле Я = С алгебраически замкнуто. По лемме 5 подпространство (е1) ~ = Г размерности и — 1 инвариантно относительно А. Индукция по размерности И дает требуемый результат. Утверждение о Л,, доказано в лемме 4. П Заметим, что оператор с матрицей Л вида (10), конечно, является унитарным, поскольку 'А Л = Жал(Л~,..., Л„,~ йа51Лм..., Л„1 = Г.
Обычно диагональную унитарную матрицу Л записывают в виде его1 е'"" ее используя формулу' Эйлера есл = сову -~-1сйп ее. Б) Ортогональные операторы. Как отмечалось, леммы 4 и 5 справедливы для ортогонального оператора А: К -~ И с тем уточнением, что собственные значения в данном случае равны х1. Однако дальнейшие рассуждения нуждаются в небольшом изменении. Дело в том, что ортогональный оператор может и не обладать собственными векторами. Разумеется, как и всякий вещественный линейный оператор, А имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Поэтому при помощи леммы 5 мы можем разложить 1х в прямую сумму одномерных и двумерных инвариантных попарно ортогональных подпространств: 1г=1' ЕИ Е...О1х (1Ц на каждом из которьсс А индуцирует ортогональный линейный оператор.
Объединение ортонормированных базисов в 1;, 1 = 1,..., т,, даст нам ортонормированный базис в 1х. Мы получим так называемый канонический базис для ортогонального линейного оператора А,. предположив, что в разложении (1Ц ни одно из двумерных подпространств не разложимо в прямую сумму одномерных инвариантных подпространств. Этого всегда можно добиться, и мы будем предполагать, что разложение (1Ц является таковым.
Посмотрим теперь, какова матрица оператора А в каноническом базисе. Если Л,:= 4ц — матрица ограничения оператора А на К, то Л~ Ла Л = Л,+... +Л„, = .4о, 138 Гь. Я. Векторные пространства ео столярным произведением Достаточно поэтому ограничиться случаем, когда Г не имеет инвариантных подпространств и дйш1' = 1 или е11ш1' = 2. Если е11ш 1л = 1 и 1л = (е), !/е!! = 1, то Ае = Ле, Л = т1 (лемма 4). Если дйш1' = 2 и Г = (еы ег), (е; ! е, ) = би, то в этом ортонормированном базисе А = , а, Ь, с, а е К. а Ь с А '= С другой стороны,в силу ортогональности — с а с Ь д Сравнивая два выражения для А 1, полу. чаем а — с А= с а а +с =1. Таким образом, при и = сов ее, с = в1п р будет сов р — ейп ео А= в|п ье сов ~р т.е. линейный оператор А осуществляет вращение в плоскости 1л.
Проведенный анализ показывает, что если в разложении (1Ц первые г слагаемых 1'ы..., .1'е отвечают двумерным неразложимым инвариантным подпространствам, а остальные одномерным (чего всегда можно добиться подходящей перенумерацией базисных векторов), и если ры..., р„соответствующие углы поворотов, то матрица А примет вид, указанный в следующей теореме. Теорема 10. Для всякого ортогонального линейного оператора А на Г существует ортонормированный базпс проспуранстпва 1; в котором матриией оператора будет сов ьо1 — в! и рв вш ьо1 сов р~ Ь+1+ 2г = и,.
сов р, — вш р„ вш ео„сов ье„ Предположим, что с(е1А = ад — Ьс = — 1. Тогда характеристический многочлен;~л(1) = е~ — (а + а)1 — 1 имеет два вещественных корня и, стало быть, у оператора А существует собственный вектор. Это, однако, противоречит условию, наложенному на 1х. Мы приходим к выводу, что е1с1 А = 1. Вычисляя по известным правилам обратную матрицу А ', находим Н вЂ” Ь ~ 8.
Операторы на пространстваа со скалярным произведением 139 7. Нормальные операторы. В доказательствах спектральных теорем 6 и 9 много общего, и зто не случайно, поскольку эрмитовы и унитарные операторы входят в естественный, более широкий класс диагонализируемых операторов. Определение 5. Пусть И эрмитово пространство. Линей- ный оператор А; И вЂ” ь И, обладающий свойством А А'=А* А, (12) называется нормальным. Его матрица в любом базисе также назы- вается нормальной.
Напомним, что в силу (5) имеют место соотношения (Лб)' = Лб, (А — Лб)' = А' — Лб, поэтому оператор А нормален вместе с А — Лб. Из нормальности А вытекает, что 'уАх(! = (Ах)Ах) = (х)А*Ах) = (х)АА*х) = (А х!А*х) = ()А*ху'. Заменяя А на А — ЛГ, получаем 'уАх — Лх)( = )(А*х — Лх)(, а о~сюда следует, зто Ах = Лх с=о А'х = Лх. (13) Понятно, что любое из условий А' = А или А* = А ~ влечет (12). Совсем нетрудно, однако, привести примеры нормальных операторов, не являющихся ни эрмитовыми (или косозрмитовыми), ни унитарными (скажем, с матрицей А = дйад(21, 2, 1,..., Ц).
Вместе с тем определение нормального оператора переносится на бесконечно- мерные гильбертовы пространства и находит там многочисленные применения. Нашей непосредственной целью является точное описание класса диагонализируемых линейных операторов на эрмитовом пространстве. Теорема 11. Эквивалентны следующие условия: а) А: И вЂ” ь 1' оператор, диагонализируемый в ортонормированном базисе пространства 1'; б) А нормальнсай операпюрь Доказательство.
а).==ьб), Если (еы...,еь) -- ортонормированный базис с Ае, = Л;ео то в силу (13) А'е, = Л,е„так что )А, А'] = О, и из а) следует б). Для доказательства обратной импликации б) ==ь а) выберем собственное значение Л оператора А и, как обычно, положим И = ~х б И ! Ах = Лх).
Снова из (13) следует, что А*(1гл) С 1г" 140 Гл. Я. Векторные пространства со скалярным произведением а в таком случае А(Ил) ~. с (Ил ) т Действитечьно, у Е (ь ) с=у 1у~х)»ухб Г~. Стало быть, »»Ау (х) = (у ~ А'х) = (у ~ х') = О, поскольку х' с ~'", Так как (А*)* = А, то по симметрии подпространство (И ) также А*-инвариантно. Ограничения операторов А и А" на (усл)~, очевидно, коммутируют, т.е. являются нормальныл»и. Применяя индукпию по размерности и = Йш И, мы можем считать, что на ( у'~) оператор А диагонализируется.
Для И" зто верно по определению, а поскольку И = 1 "л б» (Ил), доказательство завершено. П Так как зрмитовы и унитарные операторы нормальны, то, диагонализировав их по теореме 11, мы легко получим спектральные свойства, о которых говорится в теоремах 6 и 9. Вспомним теперь о полной ортогональной системе идемпотентных операторов (проекторов) из теоремы 1 из у 3 гл. 2. Общая спектральная теорема для нормальных операторов может быть сформулирована в следующем виде. Теорел»а 12. Каждому нормальному оператору А на конечно- мерном пространстве 1' отвечают попарно различные числа Л»,... ...,Лсп 1 (»и < и = »1пп Ъ; и взаимно ортогональные проекторы Р»,...,Р „отличные от О и такие, что: а) 2,'1Р, =Е.; б) ~ ЛдР» = А спектральное разложение оператора А, так з что Л Е прес(А); в) разложение из и. б) единственно; г) сршестврют комплексные многочлены 1»(»),...,1ы(»), обладающие свойствами Л(Л») й бб, Л(А) = Р, (в случае самосопрлженного оператора все числа Л, и многочлены 1»»1) вещественные).
Доказательство. Пусть Лы, ..,Ли, -- все попарно различные собственные значения оператора А и Р» проектор на И м = 1,..., т) параллельно ~„дтн ус~ . По теореме 11 (сь». также ее доказательство) все Р. взаимно ортогональны (т.е. Р»Р1 = Р»Р, = бмР,) и отличны от О. Далее, И = е»»1;л, так что 2» Р; = Е свидетельство полноты системы Р;,..., Р (утверждение а)). Для любого вектора и Е И имеем Ач = Л.ч, где ч, = Р ч. Таким образом, Аи = А»Ы) = А(~" Р ч) = ~1Аи = ~ Л»» ЛЯР и) = (~ Л.Р )и, а зто и есть основное утверждение б). Что касается утверждения в) о единственности спектрального разложения оператора А, то рассуждаем так.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
