1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 31
Текст из файла (страница 31)
то а = Р 'АА'(Р ')* = 'Р 'РгР ' = б. Если теперь РО = А = Р~ Ц< — два представления в виде (15), то имеем Я*Р = Я*Р<. Поэтому РО Я*Р = Р<Я< Я~Р<, откуда Рг = Рг ==ь Р = Р, (единственность квадратного корня) и, стало быть, СУ = Ял, т.е. единственность поллрного разложения также установлена. П Замечание 5. Очевидно, А=Р0=00 'РЯ, и ллы видим, что где Я изол<етрия, а Рл — — Я*РО положительно определенный линейный оператор. Полярное разложение (15) (но не единственность ф справедливо и в случае вырожденного оператора.
Однако мы обратимся к другому свойству. разложения. Для комплексного числа г безразличен порядок множителей в его тригонолветрической записи: феле = еся ф. Если теперь А = РЯ = ОР,то АА* = РО О'Р* = Р" = Ро'ОР = ~аР)*ОР = А'А, что означает нормальность оператора А. Обратно, О*Р*РО О-<Рг л Но из перестановочности Я с Рг следует перестановочность Я с Р, поскольку Р = л<сРг гмногочлен от Рг (как это вытекает из теоремы о спектральном разложении).
Таким образом, А = РЯ. нормальный оператор е==ь РО = ЯР. <О А.И. Кострикии 146 Гл. о. Векторные пространства со скалярным произведением 6 ПРДЖНБНИЯ 1. Когда унитарная п х и-матрица Л записынается в виде (мультип.ликативного) коммутатора Л = ХУХ У с унитарными матрицами Х, У? Условие де?, А = 1, очевидно, необходимо. Доказать, что оно и достаточно. Другими словами, в группе ВЬ'1п) каждый элемент является коммутатором. 2. Под мапьрииеи Якоби понимается вещественная матрица вида ол — Ьл 0 — сл аз — 6з 0 — сэ оз 0 О 0 Ь сл > О, 1 < л < и — 1. он л — Ьо 0 0 0 ...
— с„л ао ю = )Л, с Мч(С) ~ А,Л = Л .46 л,? Б д) -. любое множество коммутирующих )попарно перестановочных) матриц порядка и, то найдется лакая невырождевнвя матрица С, что соиряженное множество С 'юС=)С 'ЛлС~)6.1) Доказать, что Врес?э') всегда вещественный и простой. 3. Справедлив ли аналог теоремы 13, когда один из операторов А, В эрмитов, а второй является изометрией? 4. Пусть А, В - произвольные коммутирующие линеиные операторы на векторном пространстве 1' над полем Я. Доказать, что если каждый из операторов А, Н диагонализируем,то они одновременно диагонализируемы.т.е. существует базис в К, состоящий из собственных векторов как для А,так и для В.
5. Доказать, что если А.  — положительно определенные линейные операторы и АВ = ВА, то АВ тоже положительно определенный оператор. 6. Доказать, что если 64 = — А. то Аз симметричная неположительно определенная матрица. В частности, отличные от нуля собственные значения кососимметричной магрицы являются чисто мнимыми. 7. Пусть А и В эрмитовы (симметричные) операторы, из которых один, скажем, А, положительно определенный. Доказать, что тогда ВрегДАВ) вещественный. 8. Пусть у(х) — квадратичная форма в евклидовом пространстве В со скалярным произведением (ь ~ ь). В каких точках единичной сферы (х ~ х) = 1 форь~а д достигает максимума или миниллума? Более общо: в каких точках единичной сферы форма д принимает стационарное значение, т.е.
все ее производные в этих точках по любому направлению равны нулю? Доказать, что справедливо следующее утверждение. Кводрагпичная форма 41х) принимиет стаиионирнме значения ровно в гаех точках единичной сферы, которые отвечаюпл собственным векторам симле тричнозо оператора с, определяемоео формой 41х) = (.сх ~ х). В частности, максимум формы 41х) на единичной сфере равен наиболииему иэ ее канонических коэффициентов, а микимум наименьшему ?экстремалькые значения квадраткчпой формы). 9. Доказать следующее обобпление леммы 6. Теорема 16. Любое семейство коммутирующих линейных операторов на нонечномерном комплексном векторном пространстве обладает общим собственным вектором.
10. Доказать, что если у 4. Комплексификоция и овеществление 147 будет состоять из коммутирующих верхнеч реугольных матриц. 11. Пусть, как обычно, Š— едини шан матрица порядка и; Е,, 1 < г,у < и, — матричные единицы. Проверить, что семейство С .=. (Ей 1 < г < ]пз/2], ]пзгг2] -~-1 < 1 < и] Гг (Е] имеет мощность ]пз/4] + 1 и состоит из линейно независимых коммутирующих верхнетреугольных матриц, Под ]р,гд] понимается делая часть дроби р,гд. 12. Теорема ]И. П!ур, 1905].
Максимальнал размерность коммутатиеной подалгебры в ЛХ ГС) равна ]пз]4] Щ 1. Другими словами, нужно доказать, что максимальное число попарно комлгутирующих линейно независимых матриц порядка и наз С есть ]пэгг4] Е 1. Па самом деле С можно залгенить на любое поле Я. 13. Доказать следующее утверждение. Пусть (1 де]*)) --- евклидова еекгпорное пространство четной раэмсрноспги и = йггг, и пусть Пх,у) — нсвырожденная кососиммгллри пгая форма на 1:. Тоеда найдугпся разложение И в прлмую сумму 1' =. 1'г Гз 1г двух т;мерных подпространснгв и невырождснюяй симметричный (относигпельно (ь] ь)) линейный оператор А: М вЂ” г М такие, что Пх,у) =- (хг]Ауг) — (х ]Ауг). Здесь х = хг -1- хг, У = Уг Ъ Уз, х„У, б 1;, г =- 1, 2. ~ 4.
Комплексификация и овеществление Как мы не раз имели возможность убедиться, вопрос о приведении к каноническому виду матрицы линейного оператора А: 1' — 1 Ъ решается по-разному в зависимости от того, является основное поле Я алгебраически замкнутым 1эг = С) или нет (41 = К). Это относится, в частности, к изометриям — — унитарным и ортогональным операторам.
Так как в комплексном случае алгебраическая картина (при некоторой потере геометрической интуиции) становится проще, то часто применяют операцию (или, как еще говорят, функтор) комплексификации к вещественным пространствам и операторам, а при помощи обратной операции 1функтора овеществления) возвращаются к первоначальным объектам. Остановимся на этом подробнее. 1. Комплексная структура. Пусть Г векторное пространство над Б'.конечной размерности и. Определение 1.
Говорят, что на 1д определена комплексная стпрггкгвури, если задан линейныи оператор,7: 1г -4 ]г с квадратом уз Пример 1. Пусть и = 2т, т —. оператор с матрицей Π— 1 1 ΠΠ— 1 1 О 10* 148 Гл. Я. Векторные пространства со скалярным произведением (сн. следствие теоремы 9 нз 1 4 гл. 1). Очевидно, что,у будет определять на 'г' комплексную структуру, поскольку Уе = — В. Словосочетание нкомпяексная структура" оправдано тем обстоятельством, что пару (уг, 3) можно превратить в векторное пространство г' над С,полагал (а+1В)ч =а»+,у3», а,де К, ч Е Р. Аксиомы дистрибутивности о(п+») =ам+а», (а+Ь)»=а»+Ьч., а,ЬЕС, и» Е1; (а+я)у)[( ~+16)ч) = (а+гя~ ~»+63») = а(у»+63»)+(13(2»+63») = = аз»+ а63» + бч3» — д6» = (ат — Д6)ч + (ад+ 5»)3» = = [ау — 86+1(а6+ ~37))ч = [(а+ыд)(1+16)]ч. Все остальные аксиомы векторного пространства, выполнены, поскольку )г и 1' совпадают как множества.
Определение 2. Говорят, что Р -- комплексноевекторноепространство, связанное с вещественным пространством 1'. Докажем, что пример 1 не случаен. Предложение 1. Пространсгпво Г с комплексной шпррктурой ,7 всегда чегпномерно над К, а матрица оператора 3 в некотором бовисе. имеепе вид (1). Далее, 1 дйшс Ъ' = — с1шга 1У. 2 (2) Доказательство. Пусть мы уже нашли векторы еы..., еь Е Е ч' такие, что 2Й векторов еы,7ее, ..., еь, .7еь оказались линейно независимы. Либо линейная оболочка 'чь = (еы,7еы ..., ею,7ее) совпадает с ч', и тогда все доказано, либо найдется вектор еетг ф 1ы Допустив на минуту, что 7еьы = аеь„.г+ че., а Е К, чь Е Ъы мы применим к обеим частям этого равенства оператор,7: — еед г = а,7еь з + 3»ю Заметим, что надпространство 1'е инвариантно относительно .7, по- зтомУ,7чь Е 1гы Умножив пеРвое из имеющихсЯ У нас соотношений на а и сложив со вторым, получим (а~ + 1)едчг = — ачд — 3»е Е 1Уы будут выполнены, поскольку,7 — линейный оператор.
Далее, из .7з = -6 следует, что у 4. Комплекеификпиия и оееи4еетеление 149 Это, однако, противоречит выбору ее4.1, поскольку всегда ог+ 1 ф О. Продолжая процесс присоединения к 1'е линейно независимых векторов, мы, наконец, получим при некотором т все пространство Ъ' = Ъ;и = (еы,7ем ..., еп„.Хе,п) . Такиле образом, йпгн Р = 2пг, причем в базисе (ем,Тем..., е,,7е,„) матрица оператора,7 имеет как раз вид 11). Равенство 12) отражает просто тот факт, что векторы еь и,7еь пропорциональны над С: .Уее = атее.
П 11роведенное рассуждение по существу повторяет п1юцедуру приведения кососимметричпой формы к каноническому виду 1сяс тя. 1, 1 4). 2. Овеществление. Пусть теперь Г произвольное векторное пространство над С размерности и. Определение 3. Оееидествлеиием Г называется вещественное векторное пространство Пн, которое совпадает с Г как множество и как пддитивнан группа, но в котором об умножении нн комплексные числа "забыто", а умножение векторов на вещественные числа производится так же, как и в Г, Овеществлля Г, мы обедняем Г и из и-мерного пространства П=1ем ...,е„)с получаем 2п-кеерное пространство Сн = (ем гем ..., е„, ге,)и. Определенное с самого начала умножение на г = д/ — Т в П превращается в комплексную структуру .7 на С'и — линейный оператор, задаваемый соотношениями .атее = геь, .г1геь) = — ею 1 ( й ( п. 13) Применяя к паре 1с1н,.Х) соображения и.
1, получаем в качестве комплексного пространства, связанного с Ги, исходное пространство, т.е. Гн=П. Введем теперь следующее Определение 4. Овсшестелением оператора А: П вЂ” > Г называется линейный оператор Ан: Пр 4 Ги, действие которого поточсчно совпадает с действием А. Различие между А и Ан заключается в интерпретации результата действия: Пр = (ем..., е„) + 1гем...,1е„), В соответствии с этим разложонием С-линейный оператор А: Г -4 Г мы запишем в виде А = А1+ гАг, где Аг и Аг - К-линейные операторы на (ем...,е„) с вещественными п х ьмматрицами А1 и Аг соответственно. Так как А1геь) = 1Аеь = г1Агеь + гАгеь) = — Агее + гАгеь, 150 Гл.
Я. Векторные пространстава со скалярным произведением то в базисе (еы.,,, ен; тем, .,, тен) для Гн матрицей овеществленного оператора Аи будет А-= А А (4) Мы видим, что далеко не каждый линейный оператор на Гр может рассматриваться как овеществление некоторого оператора на Г. Пусть ь(Г)и совоку.пность всех овеществленных операторов, а ь(Ге) - пространство всех И-линейных операторов на Гн. Из определения или из матричной интерпретапии (4) овеществленных операторов видно,что (А+В)н= Аи+Вн, (АВ)л =Аи Ви, (оА)н =оАи, ой И Другими словами, Е(Г)н --- подалгебра в Е(Гн).
Очевидно, дини Е(Г)„= 2п," = — (2п) = — дйп1 Е(Гп). 1 х 1 2 2 Матрипей линейного оператора,7 (комплексной структуры) в нашем базисе служит ŠΠΠ— Е (5) По смыслу Ан,Т =,Т Аи, что соответствует легко проверяемому матричному соотношению Ан. дв = до Аи. Более того, из условия Ат Аз О -Е О -Е Ат Аз .4х .4л Е О Е О .4а Ал переписанного (послс перемножения блочных матрип) в виде -'13 '11 42 -14 Ал -Аа Ат Аз мы видим, что Ав = — Ая, Ал =:1ы т.е. всякал 2п х 2п;матрица над 14, перестановочпая с дв, имеет вид (4). Итак, справедливо Предложение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
