1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Я. Векторные иростронстоо со скалярным произеедснием называемый определителем Грамс системы векторов е>,..., е, отличен от нуля. Определитель Грана, очевидно, равен нулю, если один из векторов е1 является линейной комбинацией остальных. Фактически нами доказана Теорема 1. Система еекторое 1е!,...,ет) линейно независима >погда и только тогда, когда ее определитель Грома отличен о!и нуля, Это утверждение не ново [ср. с теоремой 4 из 2 1). Возникший у нас в связи с проблемой аппроксимации метод наименьших квадратов позволяет выработать свежую точку зрения на, казалось бы, до конца исчерпанную задачу о решениях системы линейных уравнений.
Пусть дана линейная система а>>х>+ а>гхг + ., + о, „х„= Ь1, а2121 + а22х2 + ° ° + а~2х~ — Ь2; [7) 1>т111 + Оо>22'2+ ° + О>яяль — Ьт с большим числом т > и уравнений. Без ограничения общности можно считать, что тапи(а! ) = п. Такие переопределенные системы возникают на практике, например при обработке большого массива вычислений. В общем случае систеьиа [7) несовместна и не имеет решений. Однако можно попробовать найти такие значения неизвестных х, хз, ..., х„, чтобы средняя квадратичная ошибка Е о о о 2 (а>,.>х>+ а12хз+... + а>тх, — Ьь) ь=.! принимала наименьшее значение.
Будем интерпротировать столбцы е> — — (аы,,ат>), ..., ек = [а,„,...,а „1, 1'= (Ь>,...,Ь„,) как векторы т-мерного евклидова пространства со стандартным скалярным произведением т ([Х>~, Хт) ( [Р>; ., Уп1)) = ~Л' Х~ У! В таком случае 1я п 2 о+ + о Ь) ~~ о Ь=> 1=1 есть квадрат расстояния от ~,'," хее> до 1'. Если П = [е>,..., е„) линейная оболочка линейно независимых по условию векторов е,,... ...,е„, то задача о минимуме квадратичного уклонения свелась к известной задаче о перпендикуляре, т.е. к отыскании> проекции вектора Г на С.
Интересуюшие нас компоненты хо>,..., хе "приближенного решения" исходной линейной системы находятся из совместной у о. Орньогонольньье яногонленм 161 определенной "нормальной" системы (е1 ~ е1)хег + (еь ~ е1)хо+... + (ел ~ ег)х~ = (1 ~ е|), (е1 ~ ев)хг + (ев ~ ез)х, +... + (е„~ ез)х„= (1'~ ез), (ег )е„)х1+ (ег )е„)хз+... + (е„)ен)х = (1(е„) с определителем Грама с(еС()(е,(ег) )! ~ О. 4. Тригонометрические многочлены. Из легко проверяемых соо гношений совИ сов11Й = О, й ф1, сов И . в1п й Й = О, й ф 1, ь г вшИ вшПЙ= О, й у'.-1, — Х следуе'г, гто функции 1 1 1 1 1 г- сов ~ г- в1" ~: г- сов пг г- в1" "~ составляют ортонормированный базис (2п+1)-мерного пространства Игл.ьг так называемых тригонометрических многочленов ао в (1) = — +а1 совС+ 61вшй+...
+ а„совпв+ Ьнвшпв (8) 2 порядка п. Общие рассуждения об аппроксимации функций показывают, что тригонометрический многочлен ьн(1) с (чуть измененными) коэффициентами Фурье Г' к ао = — / У(1) Й, 1 ! йь = — / 1(г) вшИЙ, аь = — / 1(1) совИЙ, 1(й(д, Ы А.И. Кострикии дает наилучшее приближение в среднем (порядка п) к произвольной функции у Е Сз( — я, я).
Глубоко развитая теория рядов Фурье решает для различных классов функций, являются ли многочлены Фурье, дающие наилучшее прибяижение в среднем, также равномерно аппроксимирующими, т.е. сходится ли бесконечный ряд 1ппн.,в„(1) равномерно и представляет ли он функцию 1(1).
Ответ оказывается утвердительным, в частности, для любой непрерывной на отрезке [ — я, я) функции г"(г) 162 Гл. Я. Векторные нространстоа со скалярным нроизоедением с естественным усьювием у( — я) = у(я). Этот результат можно вывести из теоремы Вейерштрасса, формулируемой в п. 6. Доказательство не входит в наши планы.
Сделаем важное замечание технического порядка. При помощи уже встречавшейся нам формулы Эйлера сов ко + ь выл И = еьы тригонометрический многочлен (8), отвечающий комплексной функции у (ь), можно представить в более удобной форме (1) ~, ' ьи ь= — и (обратите внимание на необычное су.ммирование от — и до и), где г г аь = — / ((ь)е ' Ж = — (Де' ), 2х 2аь = оь — гбь, 1с ) О; 2аь = а ь+~,'Ь ь, Л < О. Показательные функции ( гаь~ пб~~ дают на отрезке ( — я, я) пример комплексной ортонормированной системы, как это непосредственно вытекает из соотношений ортогональности еь ьь — / е'" О'о11 = бас.
2х,/ „ 5. Замечание о самосопряженных операторах. Полнота ортонормированной системы тригонометрических (показательных) функций дает повод взглянуть на нее с несколько необычной стороны. Дело в том, что очень многио полные ортонормированные системы функций являются наборами собственных функций (собственных векторов) соответству.ющих самосопряженных операторов, действующих на Сз(а, о) или на некоторых подмножествах П с Са(а, а). Вообще говоря, теорема о диагонализируемости самосопряженного оператора А: Р' -ь Г, Оьш Г < со,не переносится на бесконечномерные пространства,как показывает хотя бы пример линейного оператора сь умножения на Ь. Оператор усь симметричен; сь сь (РьУ(1) ~ д(1)) = / ЬУ(Ь) д(1) дь = / Ы Ьд(1) с11 = фь) ~.Р д(1)).
а о Но Уье(ь) = Ле(ь) — ь е(1) = О, поэтому оператор сь совсем не имеет собственных векторов. Можно было бы упомянуть и другие трудности работы с линейными операторами на бесконечномерных (хотя бы и гильбертовых) пространствах, но зто только увело бы нас в сторону. д' 5.
Оргногонаолноге аноеонленм 163 Гораздо важнее отметить, что многие операторы на бесконечно- мерных метрических пространствах, имеющие первостепенное значение в математике и физике, при выполнении ряда условий являются самосопряженными, причелг для них справедлив естественный аналог спектральной теоремы в конечномерном случае. Именно, если А: И вЂ” > И самосопряженный оператор, то ортонормированнал система Яд его собственных векторов (функций) зачастую оказывается полной в 1г в смысле п. 2. Этот замечательный факт мы проиллюстрируем простейшим доступным примером.
В дальнейшем пусть С" 1а, 5) пространство дважды непрерывно дифференпируемых функций с обычным скалярным произведением л У ~д) = / 111) д11) 11. Рассматривается совокупность веществепнозначных функций Й = ( 1 с Сэ 'г-я, х) ~ 1'(-я) = 1'(х), 1 (-х) = 1 гя)) и линейный оператор ,12 А = —,: Сгг г— х,х) — л Сэгг — х,х) Йэ с областью определения Й. Правило интегрирования по частям дает (АУ® ~ д(1)) = / У" (1) д(1) а = Гл Гл = )" Яд(1)/ — / у'Я д1г) гй = — / 1'1'г) дф сЫ = гл гл = У(1)д'(1)~ .— / ГМд'Я 11 = / Юд"Юг11 = (У(1) ~Ад(1)). Это означает, что при сделанных предположениях оператор А является самосопряженным (симметричным).
Что можно сказать о его собственных функциях и собственных значениях'? Пусть ,гг лг1) = Л1(г), 111) Е Й. Решениями этого уравнения с учетом ограничений, сформулированных в определении Й, будут функции Мь соз й1 + Хь Ягп И, (О) отвечающие собственному значению Л = — Лд (й = О, 1,...). Если бы существовали какие-то еще собственные значения, то нашлась бы функция, ортогональная ко всем тригонометрическим функциям (свойство ортогональности собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям), а это 11* 164 Гл.
Я. Векторные пространства со скалярным произведением невозможно в силу полноты тригонометрической системы. 1!о тем же соображениям при Л = — йв все решения исчерпываются функциями (2). Таким образом, справедлива Теорема '2. Дифференциальное уравнение ~в — зУ(1) = ЛУ(1) в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций, определенньгх на отрезке [ — к,к[ и удовлетворяющих условиям 1( — л) = Г"(Я), 1'( — гг) = Г"'(к), имеет, решения гполько при Л = — 'пв (п = О, 1,...). Каждому п опгвсчает двумерное пространство рсигений (совп1, вшп1). Все решения 1, сов1, гйп1, сов 21, вш21,... образуют в Св( — гг, я) полную ортогональную систему функций.
Термин лдиг)>ференциавьноо уравнение" нужно воспринимать пока лишь как синоним "уравнение на собственныс значения и собственные функции" Р г"(1) = Л г"(1), где д" дт — 1 д Ю = а (г) +а г(1), +... +аг(г) — (я) --- линейный дифференциальный оператор, действующий на пространстве достаточно гладких вещественных фу.нкций на отрезке [а, Ь); предполагается,что если((г) - — функция изэтогокласса, то гг г(а) = = Гглг(Ь) для й = О, 1,..., т — 1. Исгюльзуя формулу интегрирования по частям несколько раз,получаем г И* = ~ (-1)' — аг(1)., др (лл) г=г дй где запись — ь аг(г) для оператора означает, что, применяя его к др функции Г(Ь), мы сначала умножаем ес на аг(1) и затем дифференцируем г' раз по б Формула (*я) определяет операцию (формального) сопряжения дифференциальных операторов: Р ьл ь *.
Оператор ь называется (формально) самосопряженным, если '0' = Х>. Слово "формальный" здесь напоминает о том, что в определении не указано явно пространство, на котором '0 реализуется как линейный оператор. 6. Многочлены Лежандра (сферические многочлены). Упомянутая в п. 4 теорема Всйерштрасса гласит: любунг функцию 1(г), непрерывную на отрезке а < 8 < Ь, можно равномерно аппроксимировать на этол огпреэке многочленами от б Другими словами, у' 5.
Ортогоноллнлле многочлены 165 для любого положительного е найдется многочлен по+ а11+... + ап1" достаточно высокой степени и такой, что ~ао + а11+... + апсп — ((1) ~ < е, а < 1 < Ь (функция ((1) задана). Из этой теоремы, доказываемой в курсе анализа, вытекает как полнота в смысле п. 2 бесконечной системы одночленов 111)о, так и сходимость в среднем (или по норме) к ((1) ряда Фурье, построенного по (ф и по соответствующей ортонормированной системе. Чтобы получить такую систему, нужно применить к одночленам зя процесс ортогонализации Грама Шмидта. Этот процесс даст последовательность ортогонадьных нормированных много шенов — — однозначно определенных, если зафиксировать отрезок, скажем, — 1 < 1 < 1, и условиться выбирать старший коэффициент в каждом многочлене положительным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
