1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Если координатони точек р, ») в этой системе являются соогпвстатвснно хм....,х и уы,.,,ун, то вектор рс) имеет координаты д» вЂ” хм ..., у„— хн в базисе (е„...,е„). Для любого вектора а = а,е, +... + анен тоска р+ а имеет координаты х» + аы ..., .т„+ а„. Пусть хсы хотим перейти от системы координат (о; е»,..., ен) к системе (о', е',, ..., е'„). Тогда нужно задать координаты Ьм ..., Ь„ е. Рнс. В у' К Аффинные пространства точки о' в старой системе (т.е. координаты вектора до') и матрицу перехода А = (а, ) от базиса (еы...,е„) к базису (е',...,ен) в пространстве 1х (рис. 5). Пусть хы..,,хн и х(,,..,х'„-- старые и новые координаты точки р 6 А. Из равенства ор = оо — ро = ~~ Ьеее+ ~х е' = ~~Ь,е; + ~х, ~ а, е, = =2 (2 „*',) .е2 е..; е о е следует,что л х,=~ а;,.х, +Ьб 1 = 1,..., п.
Короче, Х вЂ” АХ'+ В, где Х=:, Х'=:, В= Так как с1е1 А ~ О, то Ь, Х' = А 1Х+ В', В' =: = А 1В. Ь'„ е) + ~(и — п) = р+ п+ (и — п) = р+ ъ = г. Отсюда цР = и — п, а так как и — п е се, то йР е сс. Стаю быть, е), г Е П ==ь е(г Е с'.
(4) гз Айб Кострикин 4. Аффинные подпространства. Для дальнейшего введем Определение 4. Пусть р - фиксированнан точка и-мерного аффинного пространства (А, И) и Ьс - векторное подпространство в К. Тогда множество П = р+ Гс = (р+ п! п е Ц называется плоскостью (или афсринньем подпространством) в А размерности т, = дйшсе. Считается, что П проходит через точку р в направлении векторного подпространства 11.
При т = О плоскость П называется, естественно, точкой,при т = 1 прямой,при т = = п — 1 . — гиперплоскостью (в полном соответствии с терминологией,принятой для векторных пространств). Говорят еще,что П напуавляюисее подпространство плоскости П. Заметим, что если о = р+ п, г = р+ ъ, пхи Е о', то 178 Гл. 4. Аффчнные и евклидовы точемныс прослпранства Далее., в, у, г ч П ==г в + Г7г ч П,. (5) поскольку в = р + тч, ча ч 77 и Г7Г ч П,так что й + уГ = р + (и + Г7т), где тк + уг Е 77. Обратно, подмножество П с А, обладающее свойствами (4), (5), очевидно, является плоскостью в смысле данного нами определения. Итак, направляющее надпространство П С 1' однозначно определяется плоскостьиь П как совоку.пность всех векторов 77г с д, г Е П.
Точку р, входящую в определение П, можно заменить любой другой точкой ц Е П. Действительно, д = р+ и, и Е П, поэтому о+ П = (р+ и) + П = р+ (и+ П) = рч- 7Д Из отмеченных свойств П непосредственно вытекает Теорема 3. Всякая плоскость П = р+ 77 в а7рфинном пространстве сама является аффинным пространством, ассоиипрованным с векторным пространстпвом 77. Доказательство. В самом деле, аксиомы Ц, й) аффинного пространства с заменой 1' на 77, выполняющиеся в А, выполняются и в П. Далее, как мы знаем, для любых двух точек д, Р Е П вектор и = уг принадлежит П и г = д+ и, причем вектор чч определен однозначно в 1', а значит, и в 77.
П Получим еще несколько полезных фактов о подпространствах аффинного пространства (А,1г). В дальнейшем предполагается, что основное поле Й, которое пока находилось в тени, имеет характеристику ~ 2. В соответствии с общим определением на плоскости П размерности г > 0 лежат по крайней мере две различные точки р, ц. При г = 1 (П прямая) имеем П = (р+ Лрд ~ Л ~ Я).
(6) Теорема 4. Подмножество П С А тогда и только тогда является подпространством (плоскостью), когда оно целиком содержит прямую, прокодяиеую через любые две его различные точки (сйаг.ч ф 2). Доказательство. Пусть сначала П плоскость. Тогда П = = р+ 77, р е А, П с 1г. Если уы уа е П, то согласно (6) точки прямой, проходящей через ды ум имеют вид о~ + Ло д$ = р+ рб) + Ло~ о3. Если у1 = р+ иы да = р+ иа, то иы и е 77, д) Ча = иг — иь, ру( = и1 и, значит, ц1 + ЛдЯь = р + и, + Л(иа — и1 ) е р + 77 = П. Обратно, пусть р Е П, П = (ру ! д Е П). Надо доказать, что 77 — векторное подпространство в 1Г. По условию, если цы цг Е П, рд( = иы рд3 = иа, то точка р+ и1 + Л(иа — иь), лежащая на прямой Х' К Аффинные пространства 179 1>)> + ру>уз ~ р 6 й) в А, содержится в П при любом Л Е й.
Другими словами, и>, и> к Г> .=> и> + Л(пя — и>) с Г>. Кроме того, О Е П, поскольку р Е П. При и> — — О получаем импликацию и> с Г> ==.в Лп> с П. При Л = 1>>2 из и>, цз с Г> следует —,'и> + —.'пз с П, а тогда и и> + ца = 2(-'и> + —.пя) с Г>.Стало быть, Г> --. векторное подпространство в ь'.
П Следствие. Если П' и По - плоскости аффиннозо пространства А, то ия пересвчсние П = П' О П" либо пусто, либо является плоскостью. Если Г, Г' и Г> -- векторные надпространства в 1; соответствующив плоскостям П', П" и П, >по П = Г О Г". Доказательство. Если П содержит лишь одну точку, то утверждение верно (1> - нулевое подпространство). Пусть в П имеются хотя бы две рвзличныс точки фм дя. Тогда по теореме 4 прямая, проходящая через д>, >)~., целиком содержится как в П', так и в П". Следовательно, зта прямая целиком содержится и в П = П' О П". Опять согласно теореме 4 приходим к заключению, что П --- плоскость.
Впрочсм, зто видно и непосредственно: если р Е П' О П", то П' = = р+Г, По = р+Г'. В таком случае д с П'ОПо — > >) = р+и' = р+и", где и' = по е с> О Г>. Мы видим, что П состоит из точек вида р+ п, и б Г О Г' и, стало быть, является плоскостью, ассоциированной с П = Г О 7>'".
'ьз Определение 5. Любые две плоскости в направлении одного и того же подпространства Г> называются параллельными. Совпадение двух параллельных плоскостей р+ Г>, д+ Г>, очевидно, имеет место в точности тогда, когда ру Е П, В любом случае т.е.
параллельные плоскости получая>тся друг из друта сдвигом. Уточним теперь замечанис перед теорсмой 2. Определение 6. Говорят, что точки ро,р>,р„, аФФ>п>- ного пространства А находятся в общем положении >или являются аффинно независимыми), если они не лежат в какой-нибудь (т — 1)-мерной плоскости. Свойство точек ро, р>,..., ры находиться в общен> положении, выполнимое лишь при т ( п = 6>шА, равносильно условию линейной независиъ>ости векторов рор),р~р~,..., рОор или системы векторов Р~РЬ ° Р>рг:) ° КРь4 р~Р~п длЯ любого дРУгого индекса г, посколькУ РГР> = РоР> — Рвфр ВзЯв за П линейнук> оболочку (рсрр>,..., рвр, >), мы придем к выводу, что через точки ро,р,, ..,,рло находящиеся в общем положении, проходит, и притом единственная, и>;мерная плоскость ро + П. 180 Гл. 4.
Аффинные и ееклггдоеы щочежныс прослпранстеа 'и р= (1 — ~ ~ж,)ро+~ игр„ г=! г=! гдег очевидно, отдельные слагаемые не имеют смысла. Более точно, для любых точек г), й Е А и скаляра Л Е Я, вообще говоря, бессмысленно как-то геометрически интерпретировать сулему б + с или выражение Лг), за исключением того случая, когда А = К. Тем не менее имеет смысл Определение 8. Пусть ро,рг,...,р произвольные точки аффинного пространства А.
Любым скалярам оо,о1,...,оы Е .гд с условием ~, о о; = 1 сопоставим формальную сумму ~,".'о сире, полагая гв ы гггрг Р ! ~ ог1рг Р) г г=о г=о где р любая точка из А. Говорят, что ~" о,р, является барииентрической колгбинггг!ггей точек ро, рг,..., р,„с коэффициентами ыо, ог,... , °...оы, Данное определение корректно, поскольку справедливо Предложение 1. Выралсение гя, гл ~;р;:= +~ Ъ-р), г=о г=о о! = 1, г=о не зависит от выбора точки р. В случае произвольного множества М точек из А линейная оболочка П векторов рф с фиксированным началом ро 6 М и концами р, также лежащими в М, имеет размерность, равную рангу множества (Ро11~ Р Е М), и не зависит от выбоРа точки Ро.
Плоскость П эи А(М);= ро + б можно рассматривать как пересечение всех плоскостей, содержащих М. Определение 7. Плоскость П = А(М) называется аффинной оболочкой множества М. В частности, при М = 1П',По) можно говорить об аффинной оболочке А(П',По) любых двух плоскостей П', По С А. Легко видеть, что аффинная оболочка А(М) определена множеством М однозначно: А(М) минилсальная плоскость, содержащая П' и П".
Пример 2. и' = (р) нульмерная п.лоскость, содержащая одну точку р двумерной плоскости (А, Из), П" = !д -!- ЛдР ( Л Е Е) — прямая в 1А, Нз). Если р Е П", то, разумеется, АП!г, По) = П". Если же р й П", то А(пг, По) = (А, Из). 5. Барицентрические координаты. Заллечание в п. 3 наводит на мысль заменить в определении 3 векторы ег,..., ео точками ро, рг,..., рп, находящимися в общем положении.
Координаты произвольной точки р Е А определяются из записи р = ро + ~,"" ! лг!рг— — ро). Формально это выражение можно переписать в виде у' К Афялллнные проетранетеа 181 Доказательство. Действительно, заменив р на точку Л) = р+ + и, и 6 Г, мы получим т р + и + ~~ он (р, — р — и) = л.=о = р+ и+ ~о,(р, — р) — (~ел)зе = р+ ~о,(р, — р), л=о л=о л=о поскольку (1 — 2 ",'о сн)и = О. П Например, можно говорить о "полусумме точек" — ял) + —.г = л)+ 1 1 +.л (г — л)), но никак не об "одной трети" — 'л) + л г. Определение 8. Если любая точка р Е А однозначно предста- вима в виде барицентрической комбинации р=~ ~хр„ л=о хлЕЯ, ~~~ х,=1, то система точек (ро,р,,...,рн) называется барииентрической системой координат в А, а числа хо,..., х, барииеналрическами координатами точки р.
ПеРеписав выРажсние дла Р в видо Р = Ро + 2, л х (Рл — Ро), мы видим, что однозначность барицентрической комбинации равносильна тому, что система (ро., рл — ро,..., р„— ро) является аффинной системой координат в А, т.е. точки ро,рл,...,р находятся в общем положении, а набор векторов (рл — ро,...,р„— ро) является базисом в 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
