1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть (Е, 'гу р) евклидова (точечное) пространство размерности и. По умолчания~ предполагается,что Й = К. Определение 1. Движением(или иэвметривй) пространстваЕ называется любое отображение 1: Е -+ Е, сохраняющее расстояние, т.е. д э. Группы и ееоматрпа 197 точка, р' = До),а = од' и 1 . сдвиг на вектор а.
Тогда д = 1 также есть движение. Так как д(о) 1а У(о)) 1а (о ) то 1 = 1ьд, где д(о) = о, т.е. любое движение является произведением сдвига (параллельного переноса) и движения д, оставляющего неподвижной точку о. Нам достаточно показать, что д - аффинное преобразование с ортогональной линейной частью. 2. Итак, д . движение и д(о) = о. Определим отображение 6; à — ~ Г, полагая нх = од(о + х), т.е. д(б+ х) = о+ 6х. (8) Отображение 9 обладает свойствами 60 = О, 96х — йу() = ))х — у)!. Ф) Действительно, д(о) = о ==~ 60 = О.
Положим теперь р = о+ х, д = о+ у. 'Тогда р(р д) = ~~у — х~~, поскольку д = р+ у — х и рд = у — х. Так как д движение, то р(д(р),д(д)) = р(р,д) = ~~у — х~~. Но из (8) следует, что д(р) = о + 6х, дед) = о + ну, и поэтому р~д(р), д(д)) = = 96у — 6х~~. Вместе это и дает (9). Полагая у = О, получаем, в частности, с учетом (3) '99х!) = ((х)(. (10) 3. Отображение Ц сохраняет скалярное произведение, т.е. 19х~6У) = (х~У). Действительно, согласно (9) (11) !)х!)з — 2(х ( у) + ))у!)з = (х — у ) х — у) = )(х — у((~ = )фх — 6у!)з = = (6 — й'! 6 — Ю = 1~ ~!' — 2(6 ~6у) + 1~й'~~з Равенство ЯЛх) = Л йх доказывается аналогично.
Это соотношение с учетом (10) дает (11). 4. Отображение 9 линейно. В самом деле, положим и = х + у, так что 9в — х — у~~э = О. Расписав это равенство более подробно, получим )(г)(з -ь ()х)(~ + )(у)(з — 2(и (х) — 2(и (у) + 2(х!у) = О. Отсюда с учетом (10) и (11) находим !/9е!/ + //6х//' + //0у!/ — 2(ми / рх) — 2(мв / у) + 2фх / 6у) = О, что эквивалентно равенству /!6в — 6х — Цу!( = О, т.е. 6в — 6х — 6у = = О.
Стало быть, Ц(х + у) = 9х + 9у. 198 Гл. 4. Аффннные и евклидовы точечные прослпранства 5. Копен доказательства. Из (8) и из пп. 3,4 следует, что д —. аффинное преобразование с линейной частью ортогональным линейным оператором Ц. П Уточнением рассуждений, проведенных в п. 1 доказательства теоремы 2, служит Теорема 4. Пусть ( .-- движение евклидова пространства (Е, 1', р) с линейной частью ортогонильным линейным оператором У.
Суисествует разложение. \' в прямую сумму ортогональных подпространшпв, инвариантных относительно У: К=7,ЮТ', (12) итак я точкаойЕ, чепоУх=х для всехх й 1,, причем 1=1 д, ае1, ид(о) =о. Д о к а з а т ел ь с т в о. Обозначим через Т совокупность всех векторов из И, остающихся неподвижными при действии У. Очевидно, это будет векторное подпространство,инвариантное относительно У. Как мы знаем (тсорема 7 из з 1 гл. 3), 1 х также У-инвариантно и имеет место разложение (12). Возьмем любую точку о' Е Е и представим 1 в виде 1 = 1 д', д'(о') = о'.
При замене точки о' на точку о = о'+ х вектор а' перейдет в а = а' + (У' — с')х (тсорема 2), а д' в д с д(о) = о. Пусть а' = Ь+ с, х = у+в, где Ь, у й Т, с, х й 1 ~. Подберем надлежащим образом вектор х. Линейный оператор У вЂ” б, ограниченный на 1,~, не имеет ядра, поскольку 1 О 1~ = 0 . Поэтому (У вЂ” Е)~с.ь невырожден. Это значит, в частности, что существует такой вектор х е Т~, для которого (У' — 8)х = — с. Но тогда а=Ъ+с — с=Ье1,.
П 3. Группа нзометрий. Так как аффинные преобразования образуют группу (теорема 1) и ортогональные линейные операторы образуют группу (теорема 2 из ~ 2 гл. 3), то согласно теореме 1 совокупность всех движений евклидова пространства Е будет также группой. Назовем ее группой изометрий пространства Е и обозначим символом 1во(Е). Поскольку два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (теорема 1 из ~ 2), имеется с точностью до изоморфизма лишь одна группа изометрий для каждой размерности. Ясно, что 1яо (Е) . подгруппа аффинной группы АП(Е).
В 1во (Е) содержится подгруппа Т сдвигов, изоморфная аддитивной группе векторного пространства 1'. Подгруппа движений, оставляющих на месте фиксированную точку о Е Е, изоморфна ортогональной группе 0(п), и = 81шЕ. Если (о;еы...,еп) . прямоутольная система координат в Е, то движение 7 запишется в виде 1 = ГХ+А, (13) где Х = (хм...,х„), Г = [ум...,уп) столбцы координат точек р 9 У. Грувам и ееомотрио 199 и у(р) соответственно, А = (а1...,а„) . столбец координат вектора а Е 11, отвечающего сдвигу 1, Е ортогональная матрица. Если Е е ЯО(п), т.е. 1)е1 Е = 1, то 1' называется собственным движением. Группу всех собственных движений пространства 1яо(Е) обозначим 1вот(Е) (это, впрочем, нами использоваться не будет). Элементы группы изометрий, т.е. движения постоянно встречаются в геометрии и механике, поэтому имеет смысл остановиться на их интерпретации в случае небольших п.
Случай и = 1. Согласно общей формуле (13) (14) у = ох+а, где е = х1 (ортогональность одномерного линейного оператора) и а некоторая постоянная, соответствующая сдвигу. Если е = 1,то получаем сдвиг прямой. Если е = — 1,то формула (14),переписанная в виде у — а/2 = — (х — а/2), наводит на мысль выбрать новое начало координат; х = х' + а/2, у = у' + а/2.
Теперь формула у' = — х' показывает, что мы имеем дело с отражением (симмстрией) прямой относительно некоторой точки О'. Случай п = 2. Выбрав прямоугольную систему координат (о;е1,ех), в которой линейная часть У движения у приводится к каноническому виду (теорема 10 из з 3 гл. 3), мы видим, что координатная запись 1 сводится к одной из следующих: 1) х' = х+а, 2) х' = х+а, 3) х' = хсоо1р — уяшр+а, у' = у+ Ь; у' = — у+ б; у' = хошоо+ усов р+ 6. В олучае 1) мы имеем сдвиг на вектор а е1+Ь еш В слу чае 2) нужно перенести начало координат в точку о' = (о, — 6/2), т.е.
ввести новые КООРДИНаТЫ ь, гд х = с (х = с'), Пош1е этого формулы 2) примут вид ~' = ~+ а, 11' = — 11. В случао 3) при р у: О перенесем начало координат в точку о' = = (хо Уо) где хо Уо ОИРеделнютсн из системы хо соо 1Р— Уо ьйп 1Р + а = хо, хо ош1Р+ Уо соя Р+ Ь = Уо. Геометри.1ески это означает, что Д(1У) = о'. Существование точки о' вытекает и из теоремы 3, в обозначениях которой Т = О (отсутствие неподвижных векторов при действии У) и 1 = е, так что 1 = д 200 Гл.
4. Аффинные и евклидовы точечные пространства х' = хсов~р — ув1п~р+а, у' = х в1п р + у сов р + Ь, г' = — э+ с. 3) х' = х+а, 4) = у+ Ь, г' = — э+с; В случае Ц имеем сдвиг на вектор ае1 + Ьег + сез. В случае 2) при ~р ~ О, проводя аналогию с плоскостью, мы придем (после перенесения начала координат в точку о' = (хо, уо, 0)) к формулам ~' = с север — увшеэ, у = ~в|о|~с+ усовф, р' = у+с.
Стало быть, .1 есть сдвиг на вектор (0,0,с) вдоль прямой о'р, соединенный с вращением вокруг этой же прямой на угол у. Полу- чается то, что в механике называют винтовым движением (навер- тывание гайки на болт). чистое вращение. Если рассуждать формально, то нужно ввести но- вые координаты ~, пр х=ч+хо (х =ч +хо), у=6+ус (у =ч +ус) после чего формулы 3) примут вид ~' = (сову — пв1пеэ, и' = ( в1п еэ + и сов р.
Таким образом, доказана Теорема 5. Любое собственное движение плоскости есть либо сдвиг, либо вращение вокруг некогпорой пшчки. Стало бьппь, собст- венное движение, оставляющее неподвижной кокую-то точку, есть вращение вокруг эгпой точки. Несобственное движение плоскости сводитгм к отражению относительно некоторой прямюй, (у пос-- оси абсцисс Д) и сдвига плоскости вдоль этой прямой. Из суще- ствования хотя бы одной неподвижной точки относительно несоб- ственного движен я вытекает сусцествование целой прямой, со- стоящей из неподвижных точек.
Случай и = 3. Снова опираясь на теорему 10 из ц 3 гл. 3, мы постараемся выбрать в трехмерном евклидовом пространстве Е такУю пРЯмоУгольнУю систомУ кооРдинат 1о, еы ег, ез), чтобы ли- нейная часть У движения ф приняла канонический вид. Тогда в ко- ординатной записи для ф получается всего несколько возможностей: 1) х' = х+ а, 2) х' = х сов се — увш~р+ а, у' = у+ Ь, у' = х в1п,р+ усову+ Ь, г' = э+с; +с; ~ Х Группы и геометрии 201 В случае 3),перейдя к новым координатам (,у,р: ! у =в~ г' = р'+ с/2, у=у г = р+с/2; мы придем к формулам с' = с+а, показывающил~, что 7 сводится к отражению относительно плоскости П = об у и к сдвигу на вектор (а, Ь,О), комняанарный этой плоскости. В случае 4), являющемся комбинацией 2) и 3), формулы приводятся к виду с' = 6совр — увшр, у' = (в1п~р+ усов р, Р = Р откуда следует, что 7 есть отражение относительно плоскости о С у, соединенное с вращением вокруг оси ор на угол р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
