1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 45
Текст из файла (страница 45)
5. Квадрихи аффинно-линейно, с линейной частью — линейной функцией Х>6 ! à †! й. Для простоты мы возьмем (1) за определение биав)>финной функции. мотивируя его обоснованность предыдущими замечаниями. Теперь легко проверяется, что симметричная биаффинная функция Ф имеет запись Ф(о+х,о-!-у) = У(х,у) -!-1(х) +1(у) + ро (2) с симметричной билинейной формой 1'! К х 1' -+ Я, линейной функ- цией 1: 1' — ! й(1' = 1) и скаляром ~рв = Ф(о, о) Е Я. Определение 2. Положим Я(р) = Ф(р,р), где Ф имеет вид (2), и назовем Я ! А — ! .а кв(идритичнвй функцией на А. Пусть д .
квадратичная форма на К! д(х) = 1(х,х). В соответ- ствии с (2) имеем !,)(О + х) = 4(х) + 21(х) + у!е (3) Взяв систему координат (о; е!,..., е„) в А с началом в точке о, мы получим координатную запись значения квадратичной функции в,!! в в Я(о+ х) = ~ ~!р„л,ж, +2~ ~р;л, +~до (4) с!'=! ~=1 в точке р = о+х, х = т!е!+... +я„е„. Здесь коэффициенты у!! со- ставляют симметричную матрицу Г = (!д,!). Сравнивая (3) и (4), мы замечаем, что в любой другой координатной системе Я(р) запишется аналогичным образом, т.е. в виде многочлена степени < 2, хотя и с какими-то другими коэффициентами. Пусть и!,.,,,т'„- координаты точки р = о'+ х' в системе ко- ординат (о', е!,..., е'„).
Как мы знаем (см. (3) из 3 1 гл. 4), старые координаты т!,, т„выражаются через новые по формулам в т! = ! пол, + б„! = 1,...,и, и=! с невырожденной матрицей А = (а! ). В новых координатах матри- цей квадратичной формы д будет А.
Р А (см. (5) из з 4 гл. 1). В частности, .ее ранг с является инвариантом относительно аффинных преобразований и имеет смысл положить сапа Я:= гап1с4 = г. 2. Центральные точки для квадратичной функции. Введем еще одно полезное понятие, для чего рассмотрим значение Я в точке д = р+ у = о+ х + у 6 А. Непосредственно из (3) получаем Я(!)) = вд(р+ у) = Я(о+ х+ у) = 4(х+ у) + 21(х+ у) + !да; т.е.
(б) Св(д) = Я(р) + 4(у) + 2(Дх, у) + 1(у)) 9 К Квиг)ритиинме функции 219 )р)у) х) — )р)э (9) 1=1 совместность которой проверяется при помощи теоремы Кронекера- — Капелли. В случае совместности системы (9) множество СЯ) будет либо точкой (случай г1ес Е ф О), либо, как это следует из упомянутой теоремы, аффинным подпространством размерности и — г. Направляющая плоскость Г этого подпространства совпадает с пространством решений линейной системы 'а Е )р,х =О, у=1,...)п, 1=1 1=1,...,п так что с)' = Кег)? = Кег 7 (напомним, что 7' .-симметричная билинейная форма, полярная к 9).
Определение 3. Точку р Е А назовем центром (или центральной )почкой) для квадратичной функции Я) если Яр+ у) = Я(р) + д(у) )гу Е 1'. (6) Множество всех центров квадратичной функции Я обозначается символом С(г,)). Про квадратичную функцию Я с С(Гв)) 7': )е) говорят, что она центрильнил. Сравнение (5) и (6) показывает, что условие р = о+ х е СЯ) записывается в виде 7(х,у) +1(у) = О Чу Е 1'. (7) В частности, точка о центральная, когда в формуле (3) линейная функция 1 нулевая. Другими словами, если начало координат о центральная точка, то выражение Ц(о+ х) не содержит членов первой степени относительно хг,..., хи. Для о Е СЯ) условие (7) центральности точки о' = о + Ь принимает вид 7(Ь,у) = О.
Значит, д(Ь) = 7(Ь,Ь) = О. Вспоминая, что )ри = Я(оУ), мы получаем из (3) равенство Ц(о') = ье(о). Таким образом, о о' е СЯ) ==у Я(о) = Я(о') (8) Как узнать, является ли квадратичная функцил ц)) заданная формулой (3) или (4), центральной? А если она центральна, то как найти множество СЯ)? Для решения этих вопросов нужно исходить из условия (7), эквивалентного, как легко понять, системе уравнений 7'(еох) +1(е ) = О, 1 = 1,2,...,п.
Для координат вектора х = х) ег +... + х„е„, определяющего центральную точку р = о+ х, получается, таким образом, система линейных уравнений 220 Гл. 5. Квадрики (напоьгниьц что Кету = 1х й Ц 11х, у) = 0 Чу Е 'е")). Нами доказана Теорема 1. Множество центров С(1д) квадратичной функции О, заданной в системе координатп 1о;ег,...,е„) соотногаением (4), состоит из точек р = о+ х, определяемых линейнон систсмоа (9). Если о' = о+ х' цснгггральная точка, то СЯ) = о'+ Н аффинное пространство с направляющей плоскостью Н = Кегф Далее, СЯ) = ю ~ г < и; С(ьг) — аффинно инвариантпное образование, зависящее только от функции Ц. 3.
Приведение квадратичной функции к каноническому виду. Две квадратичные функции 1„1 и бд' на А аффинно эквивалснгпньг, когда существует аффинный автоморфизм д е А1г (А) такой, что бд' = Я. д. Естественное желание иметь дла сгГ11) ваибгьгее простое выражение реализует Теорема 2. Пуспгь Ц квадрагпичная функция ранга г на и-мерном аффинном пространстве А над и. Если множество СЯ) пусто и, значипг, т < и, то путем надлежащего вгабора системы координат 1о;ег,...,еп) функция 1,) приводится к виду Я(о+ х) = огхг -~-...
+ о„х~ + 2х„чг (10) с ненулевыми скалярама егг,..., о„, :в эгггом случае Кегу сыпь надпространство решений системы хг —— ... — — х, = 0 (у --- квадратичная форма, связанная с ®. Если О центральна, то выбором надлежащей системы координапг с началом в центральной точке о сс можно привести к виду г,)(б+ х) = огх1 +... + о„х, + у>е,' (11) в этом случае бд(о') = уьв длл любой точки о' Е СЯ). Функции вида (10) а (1Ц аффинно нсэквиваленгпны. Доказательство теоремы проще, чем се формулировка.
Выберем сначала в К канонический базис для квадратичной форлгы у (снг. г 4 гл. 1). В соответствующей системе координат 1о', е',..., е'„) функция Я примет вид Ц(о'+ х) = огх'г +... + сг„х'„+ 23'х' +... + 2)1„'х'„+ у' с ог ~ О, ..., а„у= О. Перенос начальной точки в о", сводящийся к замене координат х; =х;, г=г+1,...,п, сделает равными нулю коэффициенты при х,",...,х'„' в линейной части, так что Я(ов) = огхг' +...
+ о„х'„' + 2е0п „х'„' „+... +Д,",х'„'+ у". у К Квадратичные функции 221 Есши не все ~3" равны нулю (До ф 0), то еще одна аффинная замена координат хыы = Я ь~х л + + >)ох'„'+ у",>2, о ь х>-~-г лье>» х>-~-ь хг->-膻 П хь-ьь-ь> = хе-,ь-,> приведет Я к виду (10). В противнога случае Я с точностью до обоз- начений будот иметь вид (11). Итак, мы можем считать ьг приведенной к виду (10) ияи (11).
Так как у(х) = о>х> +... + о„х~, то Кегд есть >,и — г)-мерное подпрост- ранство в Г, заданное уравнениями х> =... = х„= О. Предположим, что р = о+ х центральная точка, р+ у любая точка. Тогда 1)(р+у) = ()(о+к+ у) = ~о>(х>+ у ) + 2(х»+ усь>) = > = ФФ + ЧЬ) + 2 ',> <х ц, для вида (10) и Яр+ у) = ьг(р) + у(у) + 2 ~ о>х>у, >=1 для лг вида (11). Условие (6) ценгральности точки р, которое должно выполняться для произвольного у Е 1>, в последнем случае сводится к хы...., х„= О, т.е.
к х Е Кегд, а в первом случае из-за наличия свободного члена 2уь.ьл оно вообпле не может удовлетвориться,т.с. СЯ) = О. П Следствие. Над полем й веьцествснных чисел всякая квадратичная функция ьг путем надлезкащего выбора системы координат 1о;е>,...,е„) в А мозкет бь>п>ь приведена, тлричем единственным образом, к одному из каноническнх видов Я(о+к) = х" +...
+ х, — х,, —... — х~+ 2хьмы (12) („1(б -~- х) = х> +... + х, — х, > —... — х„+ 'ро (13) Доказательство. Так как положительный индекс инерции в квадратичной формы д, связанной с ьг, и ее ранг т инвариантны относительно невырожденных линейных преобразований (теорема 5 из ~ 4 гл. 1), то теорема 2 дает все, что нужно. П Следствию можно придать несколько иную формулировку: Две квадратичные функции ьг, ьг> на >>л аффинно эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры и когда они обе либо неиснтраяьнь>, либо 222 Гл. 5. Квадрики й(у) = ~~', ЛЕ; н Л;фО, у=гл уе;.
Этот выбор обеспечивается теоремой 7 из з 3 гл. 3. Если Я центральная функция, то, эалленив в случае необходимости о' на центр о (который отыскивается так же., как в аффинном случае), мы придем к выражению (14). В случае же непентральной функции имеем 'й С„г(о') + у = ~~ Л,у, + 2~~ д',.у, + Ьэо.
г=1 з=г Совершив преобразование координат (перенос качана) гг = у, + ~р,'.г'Лп гг — уо г = 1,2,...,г, 1=с+1,...,п, получим Я(о+ х) = г Лгг; + 2 ~~~ р,з, + 2ро; г=ь-~- ~ где из-за нецентральности Я не все р, л > г, равны нулю. Введем "норму" г + + г>О центральны с одинаковыми значениями на соответствующих центральных точках.
4. Квадратичные функции на евклидовом пространстве. В случае евклидова (точечного) пространства (Е, Ъ') естественно изучать эквивалентность квадратичных функций относительно действия группы изометрий 1во(Е). Определение 4. Две квадратичные функции Щ, Яа на Е называются 1во(Е) эквивалентнллми, если существует движение. д 6 е 1во(Е), для которого Яа = Яг д, т.е.
Ца(р) = Щ(у(р)). Теорема 3. Люб и квадратичн я функция Ц на и-мерном евклидовом пространстве. Е может быпль приведена пупгем надлежи- щего выбора прямоугольной системы координат (о;еы, ..,ен) в Е к одному из следующих видов: ч)(о+х) = Ллхг +... + Л,хг+ ~ро, ос СЯ), (14) О(б+х) = Ллх,'+... +Льх„'+2рх,эы р > О. (15) Все вещественные числа Л; отличны от нуля. Указанные виды определены однозначно с точностью до нумерации переменныт, х,.
Доказательство. Пусть Я(о' + х) = у(х) + 2Р(х) + СУ(о'). 11ачнелл с выбора в евклидовом векторном пространстве 1' ортонормированного базиса (е',...,.е'„), в котором у имеет канонический вид: у 1. Квааратинные фунниии 223 линейной формы 2„,", „, р;з; и сделаем преобразование координат х,= я„1=1,2,...,г, х Рл Ро тее-1 = ~ — яь +— и= -в1 ~ п ееояв в=~ -~-в используя матрицу А размера (и — г) х (и — г): г = с+2,...,п, Н«-,1~К р е-э(р . Н!р ое-' '2,еь1 о -~-2,вез .
ое-~-2,п он.е-е1 оп,~ еэ оеии Его матрица Г = йа8 (Лв, ., ., Л„, О,..., О) имеет один и тот же вид в базисе (е ) и в базисе (е',). Значит, 1шУ = (еы...,е„) = (е',,...,е'„), Так как мы хотим использовать только прямоугольные реперы, то матрицу А нужно брать ортогональной. Сумма квадратов элементов ее первой строки равна 1, как и положено, а элементы о, находятся в нашем распоряжении, поэтому ортогональная матрица А может быть построена (см. по этому поводу п.