Главная » Просмотр файлов » 1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93

1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 45

Файл №824980 1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (Кострикин 2000 Линейная алгебраu) 45 страница1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980) страница 452021-01-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

5. Квадрихи аффинно-линейно, с линейной частью — линейной функцией Х>6 ! à †! й. Для простоты мы возьмем (1) за определение биав)>финной функции. мотивируя его обоснованность предыдущими замечаниями. Теперь легко проверяется, что симметричная биаффинная функция Ф имеет запись Ф(о+х,о-!-у) = У(х,у) -!-1(х) +1(у) + ро (2) с симметричной билинейной формой 1'! К х 1' -+ Я, линейной функ- цией 1: 1' — ! й(1' = 1) и скаляром ~рв = Ф(о, о) Е Я. Определение 2. Положим Я(р) = Ф(р,р), где Ф имеет вид (2), и назовем Я ! А — ! .а кв(идритичнвй функцией на А. Пусть д .

квадратичная форма на К! д(х) = 1(х,х). В соответ- ствии с (2) имеем !,)(О + х) = 4(х) + 21(х) + у!е (3) Взяв систему координат (о; е!,..., е„) в А с началом в точке о, мы получим координатную запись значения квадратичной функции в,!! в в Я(о+ х) = ~ ~!р„л,ж, +2~ ~р;л, +~до (4) с!'=! ~=1 в точке р = о+х, х = т!е!+... +я„е„. Здесь коэффициенты у!! со- ставляют симметричную матрицу Г = (!д,!). Сравнивая (3) и (4), мы замечаем, что в любой другой координатной системе Я(р) запишется аналогичным образом, т.е. в виде многочлена степени < 2, хотя и с какими-то другими коэффициентами. Пусть и!,.,,,т'„- координаты точки р = о'+ х' в системе ко- ординат (о', е!,..., е'„).

Как мы знаем (см. (3) из 3 1 гл. 4), старые координаты т!,, т„выражаются через новые по формулам в т! = ! пол, + б„! = 1,...,и, и=! с невырожденной матрицей А = (а! ). В новых координатах матри- цей квадратичной формы д будет А.

Р А (см. (5) из з 4 гл. 1). В частности, .ее ранг с является инвариантом относительно аффинных преобразований и имеет смысл положить сапа Я:= гап1с4 = г. 2. Центральные точки для квадратичной функции. Введем еще одно полезное понятие, для чего рассмотрим значение Я в точке д = р+ у = о+ х + у 6 А. Непосредственно из (3) получаем Я(!)) = вд(р+ у) = Я(о+ х+ у) = 4(х+ у) + 21(х+ у) + !да; т.е.

(б) Св(д) = Я(р) + 4(у) + 2(Дх, у) + 1(у)) 9 К Квиг)ритиинме функции 219 )р)у) х) — )р)э (9) 1=1 совместность которой проверяется при помощи теоремы Кронекера- — Капелли. В случае совместности системы (9) множество СЯ) будет либо точкой (случай г1ес Е ф О), либо, как это следует из упомянутой теоремы, аффинным подпространством размерности и — г. Направляющая плоскость Г этого подпространства совпадает с пространством решений линейной системы 'а Е )р,х =О, у=1,...)п, 1=1 1=1,...,п так что с)' = Кег)? = Кег 7 (напомним, что 7' .-симметричная билинейная форма, полярная к 9).

Определение 3. Точку р Е А назовем центром (или центральной )почкой) для квадратичной функции Я) если Яр+ у) = Я(р) + д(у) )гу Е 1'. (6) Множество всех центров квадратичной функции Я обозначается символом С(г,)). Про квадратичную функцию Я с С(Гв)) 7': )е) говорят, что она центрильнил. Сравнение (5) и (6) показывает, что условие р = о+ х е СЯ) записывается в виде 7(х,у) +1(у) = О Чу Е 1'. (7) В частности, точка о центральная, когда в формуле (3) линейная функция 1 нулевая. Другими словами, если начало координат о центральная точка, то выражение Ц(о+ х) не содержит членов первой степени относительно хг,..., хи. Для о Е СЯ) условие (7) центральности точки о' = о + Ь принимает вид 7(Ь,у) = О.

Значит, д(Ь) = 7(Ь,Ь) = О. Вспоминая, что )ри = Я(оУ), мы получаем из (3) равенство Ц(о') = ье(о). Таким образом, о о' е СЯ) ==у Я(о) = Я(о') (8) Как узнать, является ли квадратичная функцил ц)) заданная формулой (3) или (4), центральной? А если она центральна, то как найти множество СЯ)? Для решения этих вопросов нужно исходить из условия (7), эквивалентного, как легко понять, системе уравнений 7'(еох) +1(е ) = О, 1 = 1,2,...,п.

Для координат вектора х = х) ег +... + х„е„, определяющего центральную точку р = о+ х, получается, таким образом, система линейных уравнений 220 Гл. 5. Квадрики (напоьгниьц что Кету = 1х й Ц 11х, у) = 0 Чу Е 'е")). Нами доказана Теорема 1. Множество центров С(1д) квадратичной функции О, заданной в системе координатп 1о;ег,...,е„) соотногаением (4), состоит из точек р = о+ х, определяемых линейнон систсмоа (9). Если о' = о+ х' цснгггральная точка, то СЯ) = о'+ Н аффинное пространство с направляющей плоскостью Н = Кегф Далее, СЯ) = ю ~ г < и; С(ьг) — аффинно инвариантпное образование, зависящее только от функции Ц. 3.

Приведение квадратичной функции к каноническому виду. Две квадратичные функции 1„1 и бд' на А аффинно эквивалснгпньг, когда существует аффинный автоморфизм д е А1г (А) такой, что бд' = Я. д. Естественное желание иметь дла сгГ11) ваибгьгее простое выражение реализует Теорема 2. Пуспгь Ц квадрагпичная функция ранга г на и-мерном аффинном пространстве А над и. Если множество СЯ) пусто и, значипг, т < и, то путем надлежащего вгабора системы координат 1о;ег,...,еп) функция 1,) приводится к виду Я(о+ х) = огхг -~-...

+ о„х~ + 2х„чг (10) с ненулевыми скалярама егг,..., о„, :в эгггом случае Кегу сыпь надпространство решений системы хг —— ... — — х, = 0 (у --- квадратичная форма, связанная с ®. Если О центральна, то выбором надлежащей системы координапг с началом в центральной точке о сс можно привести к виду г,)(б+ х) = огх1 +... + о„х, + у>е,' (11) в этом случае бд(о') = уьв длл любой точки о' Е СЯ). Функции вида (10) а (1Ц аффинно нсэквиваленгпны. Доказательство теоремы проще, чем се формулировка.

Выберем сначала в К канонический базис для квадратичной форлгы у (снг. г 4 гл. 1). В соответствующей системе координат 1о', е',..., е'„) функция Я примет вид Ц(о'+ х) = огх'г +... + сг„х'„+ 23'х' +... + 2)1„'х'„+ у' с ог ~ О, ..., а„у= О. Перенос начальной точки в о", сводящийся к замене координат х; =х;, г=г+1,...,п, сделает равными нулю коэффициенты при х,",...,х'„' в линейной части, так что Я(ов) = огхг' +...

+ о„х'„' + 2е0п „х'„' „+... +Д,",х'„'+ у". у К Квадратичные функции 221 Есши не все ~3" равны нулю (До ф 0), то еще одна аффинная замена координат хыы = Я ь~х л + + >)ох'„'+ у",>2, о ь х>-~-г лье>» х>-~-ь хг->-膻 П хь-ьь-ь> = хе-,ь-,> приведет Я к виду (10). В противнога случае Я с точностью до обоз- начений будот иметь вид (11). Итак, мы можем считать ьг приведенной к виду (10) ияи (11).

Так как у(х) = о>х> +... + о„х~, то Кегд есть >,и — г)-мерное подпрост- ранство в Г, заданное уравнениями х> =... = х„= О. Предположим, что р = о+ х центральная точка, р+ у любая точка. Тогда 1)(р+у) = ()(о+к+ у) = ~о>(х>+ у ) + 2(х»+ усь>) = > = ФФ + ЧЬ) + 2 ',> <х ц, для вида (10) и Яр+ у) = ьг(р) + у(у) + 2 ~ о>х>у, >=1 для лг вида (11). Условие (6) ценгральности точки р, которое должно выполняться для произвольного у Е 1>, в последнем случае сводится к хы...., х„= О, т.е.

к х Е Кегд, а в первом случае из-за наличия свободного члена 2уь.ьл оно вообпле не может удовлетвориться,т.с. СЯ) = О. П Следствие. Над полем й веьцествснных чисел всякая квадратичная функция ьг путем надлезкащего выбора системы координат 1о;е>,...,е„) в А мозкет бь>п>ь приведена, тлричем единственным образом, к одному из каноническнх видов Я(о+к) = х" +...

+ х, — х,, —... — х~+ 2хьмы (12) („1(б -~- х) = х> +... + х, — х, > —... — х„+ 'ро (13) Доказательство. Так как положительный индекс инерции в квадратичной формы д, связанной с ьг, и ее ранг т инвариантны относительно невырожденных линейных преобразований (теорема 5 из ~ 4 гл. 1), то теорема 2 дает все, что нужно. П Следствию можно придать несколько иную формулировку: Две квадратичные функции ьг, ьг> на >>л аффинно эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры и когда они обе либо неиснтраяьнь>, либо 222 Гл. 5. Квадрики й(у) = ~~', ЛЕ; н Л;фО, у=гл уе;.

Этот выбор обеспечивается теоремой 7 из з 3 гл. 3. Если Я центральная функция, то, эалленив в случае необходимости о' на центр о (который отыскивается так же., как в аффинном случае), мы придем к выражению (14). В случае же непентральной функции имеем 'й С„г(о') + у = ~~ Л,у, + 2~~ д',.у, + Ьэо.

г=1 з=г Совершив преобразование координат (перенос качана) гг = у, + ~р,'.г'Лп гг — уо г = 1,2,...,г, 1=с+1,...,п, получим Я(о+ х) = г Лгг; + 2 ~~~ р,з, + 2ро; г=ь-~- ~ где из-за нецентральности Я не все р, л > г, равны нулю. Введем "норму" г + + г>О центральны с одинаковыми значениями на соответствующих центральных точках.

4. Квадратичные функции на евклидовом пространстве. В случае евклидова (точечного) пространства (Е, Ъ') естественно изучать эквивалентность квадратичных функций относительно действия группы изометрий 1во(Е). Определение 4. Две квадратичные функции Щ, Яа на Е называются 1во(Е) эквивалентнллми, если существует движение. д 6 е 1во(Е), для которого Яа = Яг д, т.е.

Ца(р) = Щ(у(р)). Теорема 3. Люб и квадратичн я функция Ц на и-мерном евклидовом пространстве. Е может быпль приведена пупгем надлежи- щего выбора прямоугольной системы координат (о;еы, ..,ен) в Е к одному из следующих видов: ч)(о+х) = Ллхг +... + Л,хг+ ~ро, ос СЯ), (14) О(б+х) = Ллх,'+... +Льх„'+2рх,эы р > О. (15) Все вещественные числа Л; отличны от нуля. Указанные виды определены однозначно с точностью до нумерации переменныт, х,.

Доказательство. Пусть Я(о' + х) = у(х) + 2Р(х) + СУ(о'). 11ачнелл с выбора в евклидовом векторном пространстве 1' ортонормированного базиса (е',...,.е'„), в котором у имеет канонический вид: у 1. Квааратинные фунниии 223 линейной формы 2„,", „, р;з; и сделаем преобразование координат х,= я„1=1,2,...,г, х Рл Ро тее-1 = ~ — яь +— и= -в1 ~ п ееояв в=~ -~-в используя матрицу А размера (и — г) х (и — г): г = с+2,...,п, Н«-,1~К р е-э(р . Н!р ое-' '2,еь1 о -~-2,вез .

ое-~-2,п он.е-е1 оп,~ еэ оеии Его матрица Г = йа8 (Лв, ., ., Л„, О,..., О) имеет один и тот же вид в базисе (е ) и в базисе (е',). Значит, 1шУ = (еы...,е„) = (е',,...,е'„), Так как мы хотим использовать только прямоугольные реперы, то матрицу А нужно брать ортогональной. Сумма квадратов элементов ее первой строки равна 1, как и положено, а элементы о, находятся в нашем распоряжении, поэтому ортогональная матрица А может быть построена (см. по этому поводу п.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6499
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее