1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 49
Текст из файла (страница 49)
20). На Рис. 20 фиксированной окружности 5~, проходящей через точку о, каждой прямой пучка соответствует ровно одна точка (ее пересечение с 5'). Точке о соответствует касательная к Я' в о. Итак, окружность модель проективной прямой. у 3. Провктивныв иространства 239 2. Проективное пространство произвольной размерности. Создав себе наглядное представление о проективной прямой и просктивной плоскости, нетрудно ввести понятие проективного пространства более высокой размерности и над любылв полем. Его можно мыслить как множество точек вместе с некоторыми выделенными подмножествами, называемыми цросктивными подпростран; ствами и подчиняющимися естественным аксиомам или отношениям инцидентности.
Аксиоматический путь (его называют еще синтетическим) имеет свои преимушества, но является чересчур окольным и более приспособленным для изложения в отдельном курсе. Поэтому мы изберем непосредственный подход, по-су.ществу эквивалентный рассмотрению связки в аффинном пространстве. Определение 1. Проективным пространством Р" = ЯР" = = Р(Г) размерности п над полем Я называется совокупность (однородных или векторных) пряьиых (и + 1)-мерного векторного пространства 1' над Я. Прямые пространства Г называютсл тачками пространства ЯР".
Если Г С Г (т + 1)-мерное векторное подпространство в Г, то подмножество Р(П) С Р(Г), состоящее из всех прямых пространства 1', содержащихся в П, называется просктивным подпроыпранством (а также нроектавным линейным многообразием или плоскостью) размерности т пространства Р". В случае т = п — 1 говорят о проективной гиперплоскости. Считается, что Р((о)) = Я пустое множество.
Можно несколько иначе выразить то же самое определение, сказав, что просктивным пространством, порожденным векторным пространством Г над Я, называется фактормножество Р(Г) дополнения Г* к (х) в Г по отношению эквивалентности между х и у в 1г*: х у с==э ЛЛеЯ', х=Лу. Класс эквивалентности х, определенный элементом х Е Г* (ненулевым вектором х Е 1'), и есть точка просктивного пространства Р(1с). Итак, по определению Лх=х ЧЛЕЯ.
(1) Отображение П: х ~ — > х называется каноническим отображением 1'* на фактормножество Р(Г). Следует подчеркну.ть, что на Р(Г) не определены линейные операции, и мы не можем, например, положить х З у = х + у. Двумерное векторное подпространство П С Г определяет проективную прямую Р(П), а трехмерное векторное подпространство †. проективную плоскость. Если П С И', т.е. если П векторное подпространство другого подпространства 1Г С 1',то Р(П) С Р(1Г), поскольку каждая прямая из Г, содержащаяся в П, содержится и в И'.
Если Р(П) С Р(1Г), то говорят, что проективное подпространство Р(Ц лежит на или инцидентно с Р(1ЯГ). Имеет 240 Гл. 5. Квадрики смысл положить Р(Г) О Р(Г) = Р(Г П Г). Для каждого множества Я С Р(1') существует наименьшее содержащее его проективнос подпространство Р(Г): если 5 = (хы хз,, .. ), то Г = (хм хе,... )я. Говорят, что Я есть сисшелва образующих длл Р(Г). Наименьшим проективным подпространством, содержащим Р(Г) н Р(Г), очевидно, следует считать Р(Г+Г'). Каждое подпространство Р(И' ) можно рассматривать как самостоятельное проективное пространство с выделенными подмножествами Р(Г) для Г С И~.
3. Однородные координаты. Пусть (ео,ем...,ео) --- базис векторного пространства И. Если х = боев + с1е1 +... + с„е„е 'с'*, то (а, ~ы..., („ принято называть однородными координаопами точки х относительно базиса (е;) пространства И. Каждая система (св) нз и + 1 элементов поля Я, одновременно не равных нулю, есть однородная (или проективиая) система координат некоторой точки из Р(И) относительно (е,). Две такие системы (с,), (р,) будут системами однородных координат одной и той же точки из Р(1л) относительно одного и того же базиса (е;) тогда и только тогда, когда р; = Л~п 1 = О, 1,..., п, для некоторого Л ф 0 из Я. Этот факт мы будем выражать записью -=Ъ:~1: означающей, что имеется взаимно однозначное соответствие можду точкой х е Р(1г) и классом пропорпиональных друг другу систем ее однородных координат в данном базисе.
Если (еа,е'„ ....,е',) -- какой-то другой базис пространства И, причем е = лл аахен 0<1 <п, Л~, =,'~. а„б', и=а (2) 0 < 1 < и. Действительно, Ыа 11 ".1)=й=ЫО.(1 " с), и достаточно вспомнить из гл. 1 правило перехода от новых коорди- нат к старым. Отметим еще, что, как следует из теоремы 4 Я 3 гл. 1), всякое подпространство Р(Г) С Р(\') задаетсл в данном базисе (е ) систе- то (Я, ~(,..., с' ) будет системой однородных координат точки х относительно базиса (е',) тогда и только тогда, когда найдется Л Е Я*, для которого у Я.
Лровктпвныв пров«пронос»вв 241 мой линейных однородных уравнений о»а(а+ о11~1 + . +о«««~о = О, о аСа + о«1С1 +... + о„„С„= О. 4. Аффинные карты. Выделим в векторном пространстве 1' с базисом (ев) векторное надпространство 1'а = (е1, е2,., ., ео), а в аффинном пространстве (К = Ъ",1') гиперплоскость Ео = еа+ ра = (еа+ х! х Е 1а). Как мы уже знаем, пара (К2, 1'а) есть аффинное пространство, если для о:= а = еа + а', а = еа + Ь' положить а~~ = Ь' — а'.
Прямая (х) С 1', не содержащаяся в 1«а, перосекается с Уа в един- ственной точке. Действительно, х ф '«о = †» х = саеа + . + с„е„, са Ф О. Значит, Лх = Лсаеа + .. + Лс„е„ = еа + у с у й Ъо тогда и только тогда.,когда Л~а = 1. Поставим в соответствие прямой (х) эту точку пересечения (х) су К». Мы получим биективное соответствие Ф: (х) «-» (х) Г~ К2 между прямыми (х) ~ 1(» и точками аффинного пространства Ц». Другими словами, Ф индуцирует биективное отображение Фа: Р(» ) '»Р(оа) -» К» (4) Под Р(12)»»Р(1а) понимается проективнос пространство Р(1') с удаленной (выброшенной) гиперп»щекастые Р(1а). Определение 2.
Аффинное пространство К» вместе с отображением Фа (а иногда и просто Р(Р)«»Р(Ц)), отождествляемое с Ка, называется а«1»у»инной картой проективного пространства Р(Г). При этом Р(уа) называется бесконечно удаленной гнперплоскостою относительно карты Жа. Бесконечно удаленными считаются также точки и плоскости, содержащиеся в Р(««а). Выразим то же самое в координатах. По своему смыслу Р(1«')«»Р(ра) состоит из точек х = (са: с1: .: со) с са Ф О.
ВыбеРем в Ка аффиннУю системУ кооРДинат (еа,е1,...,е„), пониМаа ПОД Еа — — Еа ТОЧКУ В К», а ПОД Е1«,,,,Ео - баЗИСНЫЕ ВЕКТОРЫ пространства 1«а. с которым ассоциировано К». 21тобы найти аффинные координаты точки х, надо найти точку пересечения прямой (Х) = (Сава+С»Е1+... + С„Ео) С Ка. МЫ ВИДЕЛИ, Чта Эта тОЧКа ИМЕЕТ 1а А.И. Кострикии 242 Гж 5. Квадрики вид б ео + — е~ +...
+ — е„. ьо ьо Значит, в системе координат (есбем...,е„) карты Ко аффинными координатами точки х будут ~6До, -., ~вас Итак, приписывая точке х е Р(1') 1Р(1о) координаты точки Фе(х) Е Уо, мы получаем аффинную (или неоднородную) систему ко- ординат в Р(1г), определенную, правда, лишь на множестве Р(Г)1РЯ). Между точками зтого множества н их неоднородными координатами (в фиксированном базисе) имеется биективное соот- ветствие. Если Г -- векторное подпространство в 1' размерности ш + 1, то т-мерная проектнвная плоскость Р(Г) либо будет бесконечно уда- ленной относительно Уе (в случае Г С 1о), либо се образом Фо (Р(Г)) = Г й Же = ео + 11о будет пммерная аффинная плоскость на карте Жо.
С другой стороны, любой т-мерной аффннной плоскости еа + Го С Ко соответствует пммерная проективная плоскость Р(Г), где Г = (ее, Гв). Проведен- ное рассуждение показывает, что Фо есть не только биективное точечное соответствие между Р(Ъ')~,Р(14с) и Жо, но н соответствие между плоскостями одинаковых размерностей. В атом смысле Р(1г) получается из Ке добавлением бесконечно удаленной гиперплоскости. Взяв вместо ее вектор е,, а вместо 1е гиперплоскость 1;. = (ес,...,е; „е,ъ„...,е„), мы получим другую аффинную карту (К;, Ф,). Она состоит из точек (Со . ~~..... С„) с С; У- .О. В К; с системой кооРДинат (еб ес,..., е; е,ы,..., е„) аффинными координатами точки (се .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
